ریاضیات

تعریف یافتن جهت ضربدری با قانون دست راستحاصل ضرب خارجی دو بردار a و b فقط در فضای سه بعدی تعریف می شود و با a × b نشان داده می شود . در فیزیک و ریاضیات کاربردی ، نماد گوه ای a ∧ b اغلب استفاده می شود (همراه با نام حاصلضرب بردار )، [5] [6] [7] اگرچه در ریاضیات محض این نماد معمولاً فقط برای ضرب بیرونی محفوظ است. انتزاع حاصلضرب برداری به n بعد.حاصل ضرب خارجی a × b به عنوان بردار c که بر هر دو a و b عمود (متعامد) است ، با جهتی که توسط قانون دست راست [1] داده می شود و قدر آن برابر با مساحت متوازی الاضلاع بردارها است، تعریف می شود. [2]ضرب خارجی با فرمول [8] [9] تعریف می شود.جایی کهθ زاویه بین a و b در صفحه حاوی آنها است (بنابراین بین 0 تا 180 درجه است).‖ a ‖ و ‖ b اندازه بردارهای a و b هستند ،n یک بردار واحد عمود بر صفحه حاوی a و b با جهتی است که مجموعه مرتب شده ( a , b , n ) جهت مثبت دارد .اگر بردارهای a و b موازی باشند (یعنی زاویه θ بین آنها 0 درجه یا 180 درجه است)، با فرمول بالا، حاصل ضرب خارجی a و b بردار صفر 0 است .جهتضرب ضربدر a × b (عمودی، به رنگ بنفش) با تغییر زاویه بین بردارهای a (آبی) و b (قرمز) تغییر می کند. حاصل ضرب خارجی همیشه نسبت به هر دو بردار متعامد است و زمانی که بردارها موازی باشند قدر صفر و زمانی که متعامد هستند قدر ‖a‖‖b‖ دارد.جهت بردار n به جهت انتخابی فضا بستگی دارد. به طور متعارف، با قانون دست راست ارائه می شود، که در آن شخص به سادگی انگشت سبابه دست راست را در جهت a و انگشت وسط را در جهت b نشان می دهد . سپس، بردار n از انگشت شست خارج می شود (تصویر مجاور را ببینید). استفاده از این قانون به این معنی است که ضرب خارجی ضد تعویض است . یعنی b × a = −( a × b ) . با ریاضیات...ادامه مطلب

بردارهای پایه استاندارد ( i , j , k که با e 1 , e 2 , e 3 نیز مشخص می شود ) و مولفه های برداری a ( a x , a y , a z , a 1 , a 2 , a 3 نیز نشان داده می شود )اگر ( i ، j ، k ) یک مبنای متعارف مثبت گرا باشد، بردارهای پایه برابری های زیر را برآورده می کنند که با ضد جابجایی حاصلضرب خارجی نشان می دهد کهضد جابجایی ضرب خارجی (و فقدان آشکار استقلال خطی) نیز دلالت بر آن دارد( بردار صفر ).این برابری ها، همراه با توزیع و خطی بودن حاصل ضرب خارجی (اگرچه هیچ کدام به راحتی از تعریف ارائه شده در بالا پیروی نمی کنند)، برای تعیین ضرب خارجی هر دو بردار a و b کافی است . هر بردار را می توان به عنوان مجموع سه جزء متعامد موازی با بردارهای پایه استاندارد تعریف کرد:ضرب خارجی آنها a × b را می توان با استفاده از توزیع گسترش داد:این را می توان به عنوان تجزیه a × b به مجموع نه ضرب خارجی ساده تر که شامل بردارهای هم تراز با i ، j یا k می باشد، تفسیر کرد . هر یک از این نه ضرب خارجی بر روی دو بردار عمل می کند که به راحتی قابل کنترل هستند زیرا موازی یا متعامد با یکدیگر هستند. از این تجزیه با استفاده از برابری های فوق و جمع آوری عبارت های مشابه به دست می آید:به این معنی که سه جزء اسکالر بردار حاصل s = s 1 i + s 2 j + s 3 k = a × b هستندبا استفاده از بردارهای ستونی ، می توانیم همان نتیجه را به صورت زیر نمایش دهیم: ریاضیات...ادامه مطلب

استفاده از قانون ساروس برای یافتن ضرب خارجی a و bحاصلضرب خارجی را می توان به عنوان دترمینان رسمی نیز بیان کرد : [یادداشت 1] [1]این دترمینان را می توان با استفاده از قانون ساروس یا بسط کوفاکتور محاسبه کرد . با استفاده از قاعده ساروس، آن را گسترش می دهدکه اجزای بردار حاصل را مستقیماً می دهد. ریاضیات...ادامه مطلب

ویژگی های جبری [ ویرایش ]ضرب اسکالر ضربدری . سمت چپ: تجزیه b به اجزای موازی و عمود بر a . راست: مقیاس بندی مولفه های عمود بر یک عدد حقیقی مثبت r (اگر منفی، b و ضرب خارجی معکوس شوند).توزیع ضرب خارجی بر جمع بردار. سمت چپ: بردارهای b و c به مولفه های موازی و عمود بر a تفکیک می شوند . راست: مولفه های موازی در ضرب ضربدری ناپدید می شوند، فقط مولفه های عمودی که در صفحه عمود بر یک نشان داده شده اند باقی می مانند. [12]دو حاصل ضرب سه گانه غیر معادل سه بردار a , b , c . در هر مورد، دو بردار یک صفحه را تعریف می کنند، دیگری خارج از صفحه است و می تواند به اجزای موازی و عمود بر ضرب ضربدر بردارهای تعیین کننده صفحه تقسیم شود. این مولفه ها را می توان با طرح ریزی برداری و رد یافت . حاصلضرب سه گانه در هواپیما قرار دارد و مطابق شکل می چرخد.اگر حاصل ضرب خارجی دو بردار، بردار صفر باشد (یعنی a × b = 0 )، در این صورت یکی یا هر دو ورودی بردار صفر است، ( a = 0 یا b = 0 ) یا موازی یا موازی هستند. ضد موازی ( a ∥ b ) به طوری که سینوس زاویه بین آنها صفر باشد ( θ = 0 درجه یا θ = 180 درجه و sin θ = 0 ).حاصل ضرب خود خارجی یک بردار بردار صفر است:ضرب خارجی ضد جابجایی است ،توزیعی بر اضافه،و سازگار با ضرب اسکالر به طوری کهتداعی کننده نیست ، اما اتحاد ژاکوبی را ارضا می کند :توزیع، خطی بودن و اتحاد ژاکوبی نشان می دهد که فضای برداری R3 به همراه جمع بردار و حاصل ضرب خارجی جبر Lie را تشکیل می دهد ، جبر Lie گروه متعامد واقعی در 3 بعد، SO(3) . ضرب خارجی از قانون لغو تبعیت نمی کند . یعنی a × b = a × c با a ≠ 0 به معنای b = c نیست ، بلکه فقط به این معناست:این می تواند موردی باشد که b و c لغو شوند، اما به علاوه در جایی که ریاضیات...ادامه مطلب

فرمول جایگزین [ ویرایش ]حاصلضرب خارجی و حاصل ضرب نقطه ای با یکدیگر مرتبط هستند:سمت راست دترمینان a و b است ، مربع مساحت متوازی الاضلاع که توسط بردارها تعریف شده است. این شرط بزرگی ضرب خارجی را تعیین می کند. یعنی از آنجایی که حاصلضرب نقطه ای برحسب زاویه θ بین دو بردار به صورت زیر تعریف می شود:رابطه داده شده فوق را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:با احضار اتحاد مثلثاتی فیثاغورثی به دست می آید:که بزرگی حاصلضرب خارجی است که بر حسب θ بیان می شود ، برابر با مساحت متوازی الاضلاع تعریف شده توسط a و b (به تعریف بالا مراجعه کنید).ترکیب این شرط و ویژگی متعامد بودن ضرب خارجی نسبت به اجزای تشکیل دهنده آن a و b ، یک تعریف جایگزین از ضرب خارجی ارائه می دهد. [13]معکوس ضرب خارجی [ ویرایش ]برای ضرب ضربدری a × b = c , بردارهای b متعددی وجود دارد که مقدار c یکسانی را به دست می دهند . در نتیجه، تنظیم مجدد این معادله برای به دست آوردن یک راه حل منحصر به فرد برای b بر حسب a و c امکان پذیر نیست . با این وجود، می توان خانواده ای از راه حل ها را برای b پیدا کرد که عبارتند ازجایی که t یک ثابت دلخواه است.این را می توان با استفاده از توسعه ضرب سه گانه به دست آورد:تنظیم مجدد برای حل برای b برای دادنضریب جمله آخر را می توان به ثابت دلخواه t ساده کرد تا نتیجه نشان داده شده در بالا به دست آید.اتحاد لاگرانژ [ ویرایش ]ارتباطرا می توان با رابطه دیگری که مربوط به سمت راست است، یعنی اتحاد لاگرانژ که به صورت [14] بیان می شود، مقایسه کرد.که در آن a و b ممکن است بردارهای n بعدی باشند . این همچنین نشان می دهد که فرم حجمی ریمانی برای سطوح دقیقاً عنصر سطحی از حساب برداری است. در موردی که n = 3 ، ترکیب این دو معادله م ریاضیات...ادامه مطلب

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]ضرب خارجی در زمینه های مختلف کاربرد دارد. به عنوان مثال، در هندسه محاسباتی، فیزیک و مهندسی استفاده می شود. فهرست غیر جامعی از نمونه ها در زیر آمده است.هندسه محاسباتی [ ویرایش ]حاصل ضرب در محاسبه فاصله دو خط اریب (خط نه در یک صفحه) از یکدیگر در فضای سه بعدی ظاهر می شود.ضرب خارجی می تواند برای محاسبه نرمال یک مثلث یا چندضلعی استفاده شود، عملیاتی که اغلب در گرافیک کامپیوتری انجام می شود . به عنوان مثال، سیم پیچی یک چند ضلعی (در جهت عقربه های ساعت یا خلاف جهت عقربه های ساعت) در مورد یک نقطه در چند ضلعی را می توان با مثلث کردن چند ضلعی (مانند پره زدن یک چرخ) و جمع کردن زوایای (بین پره ها) با استفاده از ضرب خارجی برای پیگیری وضعیت محاسبه کرد. نشانه هر زاویهدر هندسه محاسباتی صفحه ، از ضرب خارجی برای تعیین علامت زاویه تند تعریف شده توسط سه نقطه استفاده می شود .و. مربوط به جهت (بالا یا پایین) حاصل ضرب خارجی دو بردار همسطح تعریف شده توسط دو جفت نقطه است.و. علامت زاویه حاد علامت بیان استکه طول علامت ضرب ضربدر دو بردار است.در سیستم مختصات "راست دست"، اگر نتیجه 0 باشد، نقاط هم خط هستند . اگر مثبت باشد، سه نقطه یک زاویه چرخش مثبت به اطراف را تشکیل می دهنداز ، در غیر این صورت یک زاویه منفی است. از دیدگاهی دیگر، علامت ازمی گوید که آیادر سمت چپ یا راست خط قرار داردضرب خارجی در محاسبه حجم یک چند وجهی مانند چهار وجهی یا متوازی الاضلاع استفاده می شود .تکانه و گشتاور زاویه ای [ ویرایش ]تکانه زاویه ای L یک ذره در یک مبدأ معین به صورت زیر تعریف می شود:جایی که r بردار موقعیت ذره نسبت به مبدا است، p تکانه خطی ذره است.به همین ترتیب، ممان M نیروی F B اعمال شده در نقطه B در ریاضیات...ادامه مطلب

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاداین مقاله در مورد عملیات سه تایی بردار است. برای کاربردهای دیگر، ضرب سه گانه (ابهام‌زدایی) را ببینید ."حجم امضا شده" به اینجا هدایت می شود. برای کتاب‌های امضا شده، به Bibliophilia مراجعه کنید .در هندسه و جبر ، حاصل ضرب سه گانه حاصلضرب سه بردار 3 بعدی ، معمولاً بردارهای اقلیدسی است . نام "ضرب سه گانه" برای دو ضرب مختلف استفاده می شود، حاصل ضرب سه گانه اسکالر با ارزش و در موارد کمتر، حاصلضرب سه گانه برداری با ارزش برداری .ضرب سه گانه اسکالر [ ویرایش ]سه بردار که یک متوازی الاضلاع را تعریف می کنندحاصل ضرب سه گانه اسکالر ( همچنین به نام ضرب مخلوط ، ضرب جعبه یا حاصل ضرب اسکالر سه گانه ) به عنوان حاصل ضرب نقطه ای یکی از بردارها با ضرب ضربدر دو بردار دیگر تعریف می شود .تفسیر هندسی از نظر هندسی، حاصل ضرب سه گانه اسکالرحجم (نشانه دار) متوازی الاضلاع است که توسط سه بردار داده شده تعریف شده است.خواص این در نماد برداری دوباره بیان می کند که حاصل ضرب عوامل دترمینان دو ماتریس 3×3 برابر با دترمینان حاصلضرب ماتریس آنها است. به عنوان یک مورد خاص، مربع یک ضرب سه گانه یک دترمینان گرم است .نسبت حاصلضرب سه گانه و حاصل ضرب سه هنجار بردار به عنوان سینوس قطبی شناخته می شود : که بین ۱- و ۱ متغیر است.اسکالر یا شبه اسکالر اگرچه حاصل ضرب سه گانه اسکالر حجم متوازی الاضلاع را می دهد، اما این حجم علامت گذاری شده است، علامت بسته به جهت قاب یا برابری جایگشت بردارها است. این بدان معنی است که اگر جهت گیری معکوس شود، برای مثال با تبدیل برابری ، ضرب نفی می شود ، و بنابراین اگر جهت گیری بتواند تغییر کند، به طور صحیح تر به عنوان یک شبه مقیاس توصیف می شود.این همچنین به دست بودن ضرب متقاطع ریاضیات...ادامه مطلب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال  یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید  .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات...

امواج گرانشی [ ویرایش ]در سال 1905 پوانکاره برای اولین بار امواج گرانشی ( ondes gravifiques ) را پیشنهاد کرد که از یک جسم ساطع می‌شوند و با سرعت نور منتشر می‌شوند. او نوشت:بررسی دقیق‌تر این فرضیه و بررسی دقیق‌تر این فرضیه و به‌ویژه این که بپرسیم از چه راه‌هایی ما را ملزم به اصلاح قوانین گرانش می‌کند، مهم شده است. این چیزی است که من سعی کردم تعیین کنم. در ابتدا به این نتیجه رسیدم که انتشار گرانش آنی نیست، بلکه با سرعت نور اتفاق می افتد. [47] [39]پوانکاره و انیشتین [ ویرایش ]اولین مقاله انیشتین در مورد نسبیت سه ماه پس از مقاله کوتاه پوانکاره، [39] اما قبل از نسخه طولانی تر پوانکاره منتشر شد. [40] انیشتین برای استخراج تبدیل‌های لورنتس بر اصل نسبیت تکیه کرد و از رویه‌ای مشابه همگام‌سازی ساعت ( همگام‌سازی انیشتین ) با آنچه پوانکاره (1900) توصیف کرده بود استفاده کرد، اما مقاله انیشتین از این جهت قابل توجه بود که اصلاً حاوی هیچ مرجعی نبود. . پوانکاره هرگز کار انیشتین در مورد نسبیت خاص را تایید نکرد . با این حال، انیشتین در نامه ای به هانس واهینگر در 3 مه 1919، زمانی که انیشتین دیدگاه کلی ویهینگر را نزدیک به دیدگاه خود و پوانکاره را نزدیک به دیدگاه ویهینگر می دانست، با دیدگاه پوانکاره ابراز همدردی کرد. [48] ​​در ملاء عام، انیشتین پوانکاره را پس از مرگ در متن سخنرانی در سال 1921 با عنوان " هندسه و تجربه )" در ارتباط با هندسه غیر اقلیدسی ، اما نه در ارتباط با نسبیت خاص، تصدیق کرد. چند سال قبل از مرگش، انیشتین درباره پوانکاره به عنوان یکی از پیشگامان نسبیت اظهار نظر کرد و گفت: «لورنتس قبلاً تشخیص داده بود که تبدیلی که به نام او نامگذاری شده برای تجزیه و تحلیل معادلات ماکسول ضروری است و ریاضیات...ادامه مطلب

ارزیابی های پوانکاره و نسبیت [ ویرایش ]اطلاعات بیشتر: تاریخچه نسبیت خاص و اختلاف اولویت نسبیتکار پوانکاره در توسعه نسبیت خاص به خوبی شناخته شده است، [44] اگرچه اکثر مورخان تاکید می کنند که علیرغم شباهت های فراوان با کار اینشتین، این دو برنامه تحقیقاتی و تفسیرهای بسیار متفاوتی از این اثر داشتند. [50] پوانکاره تفسیر فیزیکی مشابهی از زمان محلی ایجاد کرد و متوجه ارتباط با سرعت سیگنال شد، اما برخلاف انیشتین، او همچنان از مفهوم اتر در مقالات خود استفاده می‌کرد و استدلال می‌کرد که ساعت‌های ساکن در اتر زمان «واقعی» را نشان می‌دهند. و ساعت های متحرک زمان محلی را نشان می دهند. بنابراین پوانکاره سعی کرد اصل نسبیت را مطابق با مفاهیم کلاسیک نگه دارد، در حالی که انیشتین یک سینماتیک معادل ریاضی را بر اساس مفاهیم فیزیکی جدید نسبیت فضا و زمان توسعه داد. [51] [52] [53] [54] [55]در حالی که این دیدگاه اکثر مورخان است، اقلیتی بسیار فراتر می روند، مانند ای تی ویتاکر ، که معتقد بود پوانکاره و لورنتس کاشفان واقعی نسبیت بودند. [56]جبر و نظریه اعداد [ ویرایش ]پوانکاره نظریه گروهی را به فیزیک معرفی کرد و اولین کسی بود که گروه تبدیلات لورنتس را مطالعه کرد . [57] او همچنین کمک های عمده ای به نظریه گروه های گسسته و بازنمایی آنها کرد.تبدیل توپولوژیکی یک لیوان به یک چنبرهصفحه عنوان تا جلد اول Les Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste (1892) توپولوژی [ ویرایش ]این موضوع توسط فلیکس کلاین در «برنامه ارلانگن» (1872) به وضوح تعریف شده است: تغییرات هندسی تغییر مستمر دلخواه، نوعی هندسه. اصطلاح "توپولوژی"، همانطور که توسط Johann Benedict Listing پیشنهاد شد ، به جای استفاده از "Analysis situs" که قبلاً استفاده ریاضیات...ادامه مطلب