ریاضیات

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاددر ریاضیات، معادله هلمهولتز مسئله مقدار ویژه برای عملگر لاپلاس است . با معادله دیفرانسیل جزئی خطی مطابقت داردکه در آن ∇ 2 عملگر لاپلاس، k 2 مقدار ویژه، و f تابع (ویژه) است. هنگامی که معادله برای امواج اعمال می شود، k به عنوان عدد موج شناخته می شود . معادله هلمهولتز کاربردهای مختلفی در فیزیک و علوم دیگر دارد، از جمله معادله موج ، معادله انتشار و معادله شرودینگر برای یک ذره آزاد.این معادله به نام هرمان فون هلمهولتز ، که آن را در سال 1860 مطالعه کرد، نامگذاری شده است.انگیزه و موارد استفاده [ ویرایش ]معادله هلمهولتز اغلب در مطالعه مسائل فیزیکی مربوط به معادلات دیفرانسیل جزئی (PDEs) در فضا و زمان به وجود می آید. معادله هلمهولتز، که شکل مستقل از زمان معادله موج را نشان می‌دهد ، از بکارگیری تکنیک جداسازی متغیرها برای کاهش پیچیدگی تحلیل حاصل می‌شود.به عنوان مثال، معادله موج را در نظر بگیریدجداسازی متغیرها با این فرض شروع می شود که تابع موج u ( r , t ) در واقع قابل تفکیک است:با جایگزینی این شکل به معادله موج و سپس ساده سازی، معادله زیر را به دست می آوریم:توجه داشته باشید که عبارت سمت چپ فقط به r بستگی دارد ، در حالی که عبارت سمت راست فقط به t بستگی دارد . در نتیجه، این معادله در حالت کلی معتبر است اگر و تنها در صورتی که هر دو طرف معادله با یک مقدار ثابت برابر باشند. این استدلال در تکنیک حل معادلات دیفرانسیل جزئی خطی با جداسازی متغیرها کلیدی است. از این مشاهدات، دو معادله به دست می‌آید، یکی برای A ( r ) و دیگری برای T ( t ):که در آن، بدون از دست دادن کلیت، عبارت - k 2 را برای مقدار ثابت انتخاب کرده ایم. (استفاده از هر ثابت k به عنوان ثابت جداسازی به همان انداز, ...ادامه مطلب