ریاضیات

​ کواترنیون های واحد که به عنوان ورسور شناخته می شوند ، یک نماد ریاضی مناسب برای نمایش جهت گیری های فضایی و چرخش عناصر در فضای سه بعدی ارائه می دهند. به طور خاص، آنها اطلاعات مربوط به یک چرخش محور-زاویه حول یک محور دلخواه را رمزگذاری می کنند . ربع‌های چرخشی و جهت‌یابی در گرافیک کامپیوتری ، [1] بینایی کامپیوتر ، رباتیک ، [2] ناوبری ، دینامیک مولکولی ، دینامیک پرواز ، [3] مکانیک مداری ماهواره‌ها کاربرد دارند.، [4] و تجزیه و تحلیل بافت کریستالوگرافی . [5]هنگامی که برای نشان دادن چرخش استفاده می شود، کواترنیون های واحد نیز به عنوان چهارتایی چرخشی نامیده می شوند زیرا آنها گروه چرخش سه بعدی را نشان می دهند . هنگامی که برای نشان دادن یک جهت (چرخش نسبت به یک سیستم مختصات مرجع) استفاده می شود، به آنها چهارتایی جهت گیری یا چهارگانه های نگرش می گویند . چرخش فضایی حول یک نقطه ثابت ازرادیان حول محور واحدکه نشان دهنده محور اویلر است با کواترنیون داده می شود، و.در مقایسه با ماتریس های چرخشی ، کواترنیون ها فشرده تر، کارآمدتر و از نظر عددی پایدارتر هستند . در مقایسه با زوایای اویلر ، آهنگسازی آنها ساده تر است. با این حال، آنها به اندازه شهودی و درک آسان نیستند و به دلیل ماهیت تناوبی سینوس و کسینوس، زوایای چرخش که دقیقاً بر اساس دوره طبیعی متفاوت است در ربع‌های یکسان کدگذاری می‌شوند و زوایای بازیابی شده بر حسب رادیان محدود می‌شوند..استفاده از کواترنیون ها به عنوان چرخش [ ویرایش ]این بخش به نقل قول های اضافی برای تأیید نیاز دارد . لطفاً با افزودن نقل قول به منابع معتبر به بهبود این مقاله کمک کنید . اطلاعات بدون مرجع ممکن است مشکل ایجاد کرده و پاک شوند. ( ژانویه 2022 ) ( نحوه و زمان حذف این پیام, ...ادامه مطلب

ازیابی نمایش زاویه محور [ ویرایش ]بیانهر کواترنیون برداری را می چرخاندحول محوری که بردار داده می شودتوسط زاویه، جایی که وبستگی به کواترنیون دارد.واز معادلات زیر بدست می آید:جایی کهآتان 2متقاطع دو آرگومان است .هنگامی که کواترنیون به یک اسکالر نزدیک می شود باید مراقب بود ، زیرا به دلیل انحطاط محور چرخش همانی به خوبی تعریف نشده است.ترکیب چرخش های فضایی [ ویرایش ]یکی از مزایای فرمول کواترنیون ترکیب دو چرخش R B و R A این است که مستقیماً محور چرخش و زاویه چرخش مرکب R C = R B R A را ایجاد می کند.اجازه دهید کواترنیون مرتبط با یک چرخش فضایی R از محور چرخش S با زاویه چرخش ساخته شود.حول این محور کواترنیون مرتبط توسطسپس ترکیب چرخش R B با R A ، چرخش R C = R B R A با محور چرخش و زاویه تعریف شده توسط حاصل ضرب ربع‌ها است.به این معنا کهبرای به دست آوردن این ضرب را گسترش دهیددو طرف این معادله را بر همانی تقسیم کنید، که قانون کسینوس روی یک کره است .و محاسبه کنیداین فرمول رودریگز برای محور چرخش مرکب است که بر حسب محورهای دو چرخش تعریف شده است. او این فرمول را در سال 1840 استخراج کرد (به صفحه 408 مراجعه کنید). [7]سه محور چرخش A , B , C یک مثلث کروی را تشکیل می دهند و زوایای دو وجهی بین صفحاتی که توسط اضلاع این مثلث تشکیل شده اند با زوایای چرخش مشخص می شوند. همیلتون [8] فرم مؤلفه این معادلات را ارائه کرد که نشان می‌دهد حاصل ضرب کواترنیون، راس سوم یک مثلث کروی را از دو راس داده شده و طول قوس مرتبط با آنها محاسبه می‌کند، که همچنین جبری برای نقاط در هندسه بیضوی تعریف می‌کند.ترکیب محور-زاویه [ ویرایش ]محور چرخش نرمال شده، از بین بردناز ضرب منبسط شده، بردار را که محور چرخش است، چند برابر ثابت ترک می ک, ...ادامه مطلب

کواترنیون ها [ ویرایش ]نوشتار اصلی: کواترنیون هااعداد مختلط را می توان با معرفی یک نماد انتزاعی i که قوانین معمول جبر را برآورده می کند و همچنین قانون i 2 = -1 را تعریف کرد. این برای بازتولید همه قوانین حسابی اعداد مختلط کافی است: به عنوان مثال:به همین ترتیب، چهارتایی ها را می توان با معرفی نمادهای انتزاعی i ، j ، k تعریف کرد که قوانین i 2 = j 2 = k 2 = i j k = −1 و قوانین جبری معمول به جز قانون جابجایی ضرب را برآورده می کند (مثال آشنا از چنین ضرب غیر تعویضی، ضرب ماتریسی است ). از این همه قواعد محاسباتی کواترنیونی پیروی می شود، مانند قواعد ضرب عناصر پایه کواترنیونی . با استفاده از این قوانین می توان نشان داد که:قسمت خیالی یک کواترنیون مانند یک بردار رفتار می کنددر فضای برداری سه بعدی ، و قسمت حقیقی a مانند یک اسکالر در R عمل می کند. وقتی از ربات ها در هندسه استفاده می شود، راحت تر است که آنها را به عنوان یک اسکالر به اضافه یک بردار تعریف کنیم :برای برخی ممکن است عجیب باشد که یک عدد را به یک بردار اضافه کنند، زیرا آنها اشیایی با طبیعت بسیار متفاوت هستند، یا ضرب دو بردار در یکدیگر، زیرا این عمل معمولاً تعریف نشده است. با این حال، اگر به یاد داشته باشید که این یک نماد صرف برای بخش های حقیقی و خیالی یک کواترنیون است، مشروع تر می شود. به عبارت دیگر، استدلال صحیح، جمع دو چهارتایی است، یکی با بردار/قسمت خیالی صفر و دیگری با بخش اسکالر/حقیقی صفر:ما می‌توانیم ضرب کواترنیون را به زبان امروزی حاصل ضربات بردار و نقطه‌ای بیان کنیم (که در وهله اول از کواترنیون‌ها الهام گرفته‌اند [ 10] ). هنگام ضرب بردار/قطعات خیالی، به جای قواعد i 2 = j 2 = k 2 = ijk = -1 ، قانون ضرب چهارگانه را داریم:جایی, ...ادامه مطلب