2-کواترنیون ها و چرخش فضایی

ساخت وبلاگ

آخرین مطالب

امکانات وب

2-کواترنیون ها و چرخش فضایی

ازیابی نمایش زاویه محور [ ویرایش ]

بیان{displaystyle mathbf {q} mathbf {p} mathbf {q} ^{-1}}هر کواترنیون برداری را می چرخاندmathbf {p}حول محوری که بردار داده می شودmathbf {a}توسط زاویهتتا، جایی که mathbf {a}وتتابستگی به کواترنیون دارد{displaystyle mathbf {q} =q_{r}+q_{i}mathbf {i} +q_{j}mathbf {j} +q_{k}mathbf {k} }.

mathbf {a}وتتااز معادلات زیر بدست می آید:

{displaystyle {begin{aligned}(a_{x},a_{y},a_{z})={}&{frac {(q_{i},q_{j},q_{k})} {sqrt {q_{i}^{2}+q_{j}^{2}+q_{k}^{2}}}}[2pt]theta =2operatorname {atan2} &left ({sqrt {q_{i}^{2}+q_{j}^{2}+q_{k}^{2}}},,q_{r}right),end{تراز شده}} }

جایی کهآتان 2{displaystyle operatorname {atan2} }متقاطع دو آرگومان است .

هنگامی که کواترنیون به یک اسکالر نزدیک می شود باید مراقب بود ، زیرا به دلیل انحطاط محور چرخش همانی به خوبی تعریف نشده است.

ترکیب چرخش های فضایی [ ویرایش ]

یکی از مزایای فرمول کواترنیون ترکیب دو چرخش R B و R A این است که مستقیماً محور چرخش و زاویه چرخش مرکب R C = R B R A را ایجاد می کند.

اجازه دهید کواترنیون مرتبط با یک چرخش فضایی R از محور چرخش S با زاویه چرخش ساخته شود.varphiحول این محور کواترنیون مرتبط توسط

{displaystyle S=cos {frac {varphi }{2}}+mathbf {S} sin {frac {varphi }{2}}.}

سپس ترکیب چرخش R B با R A ، چرخش R C = R B R A با محور چرخش و زاویه تعریف شده توسط حاصل ضرب ربع‌ها است.

{displaystyle A=cos {frac {alpha }{2}}+mathbf {A} sin {frac {alpha }{2}}quad {text{and}}quad B= cos {frac {beta }{2}}+mathbf {B} sin {frac {beta }{2}}،}

به این معنا که

{displaystyle C=cos {frac {gamma }{2}}+mathbf {C} sin {frac {gamma }{2}}=left(cos {frac {beta } {2}}+mathbf {B} sin {frac {beta }{2}}right)left(cos {frac {alpha }{2}}+mathbf {A} sin {frac {alpha }{2}}right).}

برای به دست آوردن این ضرب را گسترش دهید

{displaystyle cos {frac {gamma }{2}}+mathbf {C} sin {frac {gamma }{2}}=left(cos {frac {beta }{2 }}cos {frac {alpha }{2}}-mathbf {B} cdot mathbf {A} sin {frac {beta }{2}}sin {frac {alpha } {2}}right)+left(mathbf {B} sin {frac {beta }{2}}cos {frac {alpha }{2}}+mathbf {A} sin {frac {alpha }{2}}cos {frac {beta }{2}}+mathbf {B} times mathbf {A} sin {frac {beta }{2}} sin {frac {alpha }{2}}right).}

دو طرف این معادله را بر همانی تقسیم کنید، که قانون کسینوس روی یک کره است .

{displaystyle cos {frac {gamma }{2}}=cos {frac {beta }{2}}cos {frac {alpha }{2}}-mathbf {B} cdot mathbf {A} sin {frac {beta }{2}}sin {frac {alpha }{2}}،}

و محاسبه کنید

{displaystyle mathbf {C} tan {frac {gamma }{2}}={frac {mathbf {B} tan {frac {beta }{2}}+mathbf {A} tan {frac {alpha }{2}}+mathbf {B} times mathbf {A} tan {frac {beta }{2}}tan {frac {alpha }{2 }}}{1-mathbf {B} cdot mathbf {A} tan {frac {beta }{2}}tan {frac {alpha }{2}}}}.}

این فرمول رودریگز برای محور چرخش مرکب است که بر حسب محورهای دو چرخش تعریف شده است. او این فرمول را در سال 1840 استخراج کرد (به صفحه 408 مراجعه کنید). [7]

سه محور چرخش A , B , C یک مثلث کروی را تشکیل می دهند و زوایای دو وجهی بین صفحاتی که توسط اضلاع این مثلث تشکیل شده اند با زوایای چرخش مشخص می شوند. همیلتون [8] فرم مؤلفه این معادلات را ارائه کرد که نشان می‌دهد حاصل ضرب کواترنیون، راس سوم یک مثلث کروی را از دو راس داده شده و طول قوس مرتبط با آنها محاسبه می‌کند، که همچنین جبری برای نقاط در هندسه بیضوی تعریف می‌کند.

ترکیب محور-زاویه [ ویرایش ]

محور چرخش نرمال شده، از بین بردن{textstyle cos {frac {gamma }{2}}}از ضرب منبسط شده، بردار را که محور چرخش است، چند برابر ثابت ترک می کند. زمانی که باید بردار محور را عادی کردگامااست{displaystyle 0}یا{displaystyle k2pi }جایی که بردار نزدیک است{displaystyle 0}; که همان همانی یا چرخش 0 حول هر محوری است.

{displaystyle {begin{aligned}gamma &=2cos ^{-1}left(cos {frac {beta }{2}}cos {frac {alpha }{2}} -mathbf {B} cdot mathbf {A} sin {frac {beta }{2}}sin {frac {alpha }{2}}right)mathbf {D} و =mathbf {B} sin {frac {beta }{2}}cos {frac {alpha }{2}}+mathbf {A} sin {frac {alpha }{2} }cos {frac {beta }{2}}+mathbf {B} times mathbf {A} sin {frac {beta }{2}}sin {frac {alpha }{ 2}}end{تراز شده}}}

یا با جایگزینی مثلثاتی جمع زاویه ...

{displaystyle {begin{aligned}gamma &=2cos ^{-1}left(left(1-mathbf {A} cdot mathbf {B} right)cos {frac { beta -alpha }{2}}+left(1+mathbf {A} cdot mathbf {B} right)cos {frac {beta +alpha }{2}}right) mathbf {D} &=left(sin {frac {beta +alpha }{2}}+sin {frac {beta -alpha }{2}}right)mathbf {A} +left(sin {frac {beta +alpha }{2}}-sin {frac {beta -alpha }{2}}right)mathbf {B} + چپ (cos {frac {beta -alpha }{2}}-cos {frac {beta +alpha }{2}}right)mathbf {B} times mathbf {A} end{تراز شده}}}

در نهایت نرمال کردن محور چرخش:{textstyle {frac {mathbf {D} }{2sin {frac {1}{2}}gamma }}}یا{textstyle {frac {mathbf {D} }{|mathbf {D} |}}}.

تمایز با توجه به ربع چرخش [ ویرایش ]

هنگامی که چرخش از روی بهینه سازی عددی تخمین زده می شود، کواترنیون چرخان p' = q pq -1 باید با توجه به کواترنیون چرخان q متمایز شود. تخمین زاویه چرخش یک روش ضروری در ثبت اشیاء سه بعدی یا کالیبراسیون دوربین است. برای q واحد و p خیالی خالص ، یعنی برای یک چرخش در فضای سه بعدی، مشتقات کواترنیون چرخانده را می توان با استفاده از نماد حساب ماتریس به عنوان نشان داد.

{displaystyle {begin{aligned}{frac {partial mathbf {p'} }{partial mathbf {q} }}equiv left[{frac {partial mathbf {p'} } {partial q_{0}}},{frac {partial mathbf {p'} }{partial q_{x}}},{frac {partial mathbf {p'} }{partial q_ {y}}}،{frac {partial mathbf {p'} }{partial q_{z}}}right]=left[mathbf {pq} -(mathbf {pq} )^{ *},(mathbf {pqi} )^{*}-mathbf {pqi} ,(mathbf {pqj} )^{*}-mathbf {pqj} ,(mathbf {pqk} )^{*} -mathbf {pqk} راست].end{تراز شده}}}

یک اشتقاق را می توان در یافت [9]

ریاضیات...
ما را در سایت ریاضیات دنبال می کنید

برچسب : نویسنده : 9math1342d بازدید : 117 تاريخ : شنبه 15 بهمن 1401 ساعت: 21:44

آرشیو مطالب

پيوندهای روزانه

لینک دوستان

خبرنامه