از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد
این مقاله در مورد عملیات سه تایی بردار است. برای کاربردهای دیگر، ضرب سه گانه (ابهامزدایی) را ببینید .
"حجم امضا شده" به اینجا هدایت می شود. برای کتابهای امضا شده، به Bibliophilia مراجعه کنید .
در هندسه و جبر ، حاصل ضرب سه گانه حاصلضرب سه بردار 3 بعدی ، معمولاً بردارهای اقلیدسی است . نام "ضرب سه گانه" برای دو ضرب مختلف استفاده می شود، حاصل ضرب سه گانه اسکالر با ارزش و در موارد کمتر، حاصلضرب سه گانه برداری با ارزش برداری .
سه بردار که یک متوازی الاضلاع را تعریف می کنند
حاصل ضرب سه گانه اسکالر ( همچنین به نام ضرب مخلوط ، ضرب جعبه یا حاصل ضرب اسکالر سه گانه ) به عنوان حاصل ضرب نقطه ای یکی از بردارها با ضرب ضربدر دو بردار دیگر تعریف می شود .
از نظر هندسی، حاصل ضرب سه گانه اسکالر
حجم (نشانه دار) متوازی الاضلاع است که توسط سه بردار داده شده تعریف شده است.
این در نماد برداری دوباره بیان می کند که حاصل ضرب عوامل دترمینان دو ماتریس 3×3 برابر با دترمینان حاصلضرب ماتریس آنها است. به عنوان یک مورد خاص، مربع یک ضرب سه گانه یک دترمینان گرم است .
که بین ۱- و ۱ متغیر است.
اگرچه حاصل ضرب سه گانه اسکالر حجم متوازی الاضلاع را می دهد، اما این حجم علامت گذاری شده است، علامت بسته به جهت قاب یا برابری جایگشت بردارها است. این بدان معنی است که اگر جهت گیری معکوس شود، برای مثال با تبدیل برابری ، ضرب نفی می شود ، و بنابراین اگر جهت گیری بتواند تغییر کند، به طور صحیح تر به عنوان یک شبه مقیاس توصیف می شود.
این همچنین به دست بودن ضرب متقاطع مربوط می شود . حاصلضرب متقاطع به عنوان یک شبه بردار تحت تبدیل های برابری تبدیل می شود و بنابراین به درستی به عنوان شبه بردار توصیف می شود. حاصلضرب نقطه ای دو بردار یک عددی است اما حاصلضرب نقطه ای یک بردار کاذب و یک بردار یک شبه مقیاس است، بنابراین حاصلضرب سه گانه اسکالر (بردارها) باید ارزش شبه مقیاسی داشته باشد.
اگر T یک چرخش مناسب است پس
اما اگر T یک چرخش نامناسب است ، پس
به بیان دقیق، یک اسکالر تحت یک تبدیل مختصات به هیچ وجه تغییر نمی کند. (به عنوان مثال، ضریب 2 که برای دو برابر کردن یک بردار استفاده می شود، اگر بردار در مختصات کروی در مقابل مستطیل باشد، تغییر نمی کند.) با این حال، اگر هر بردار توسط یک ماتریس تبدیل شود، حاصل ضرب سه گانه در نهایت در دترمینان ضرب می شود. ماتریس تبدیل، که می تواند برای یک غیر چرخشی کاملاً دلخواه باشد. یعنی ضرب سه گانه به طور صحیح تر به عنوان چگالی اسکالر توصیف می شود .
سه بردار که یک متوازی الاضلاع را پوشانده اند، حاصلضرب سه برابری برابر با حجم آن دارند. (اما مراقب باشید جهت فلش های این نمودار نادرست باشد.)
در جبر بیرونی و جبر هندسی حاصلضرب بیرونی دو بردار دو بردار است در حالی که حاصلضرب بیرونی سه بردار یک سه بردار است . یک دوبردار یک عنصر صفحه جهتدار و یک سه بردار یک عنصر حجمی جهتدار است، همانطور که یک بردار یک عنصر خط جهتدار است.
با توجه به بردارهای a ، b و c ، حاصلضرب
یک سه بردار با بزرگی برابر با حاصل ضرب سه گانه اسکالر است، یعنی
،
و Hodge دوگانه حاصلضرب سه گانه اسکالر است. از آنجایی که ضرب بیرونی، براکت های ارتباطی است، نیازی نیست، زیرا مهم نیست که کدام یک از a ∧ b یا b ∧ c ابتدا محاسبه می شود، اگرچه ترتیب بردارها در ضرب مهم است. از نظر هندسی سه بردار a ∧ b ∧ c مربوط به متوازی الاضلاع است که توسط a , b و c امتداد یافته است ، با دو بردار a ∧ b , b ∧ c و a ∧ c با وجوه متوازی الاضلاع متوازی الاضلاع مطابقت دارند .
حاصل ضرب سه گانه با فرم حجمی فضای 3 اقلیدسی که از طریق حاصلضرب داخلی به بردارها اعمال می شود، یکسان است . همچنین می توان آن را به صورت انقباض بردارها با تانسور رتبه-3 معادل شکل (یا شبه تانسور معادل شبه شکل حجمی) بیان کرد. زیر را ببینید .
حاصلضرب سه گانه برداری به صورت حاصلضرب متقاطع یک بردار با حاصلضرب دو بردار دیگر تعریف می شود . رابطه زیر برقرار است:
.
این به عنوان توسعه ضرب سه گانه یا فرمول لاگرانژ شناخته می شود ، [2] [3] اگرچه نام دوم برای چندین فرمول دیگر نیز استفاده می شود . سمت راست آن را می توان با استفاده از یادداشت "ACB - ABC" به خاطر آورد، مشروط بر اینکه در نظر داشته باشید که کدام بردارها با هم نقطه چین شده اند. یک مدرک در زیر ارائه شده است . برخی از کتاب های درسی اتحاد را به عنوانبه طوری که یک یادگاری آشناتر "BAC - CAB" به دست می آید، مانند "پشت کابین".
از آنجایی که ضرب متقاطع ضد جابجایی است، این فرمول ممکن است (تا جایگشت حروف) نیز به صورت زیر نوشته شود:
از فرمول لاگرانژ چنین استنباط می شود که حاصلضرب سه گانه بردار برآورده می شود:
که اتحاد ژاکوبی برای ضرب متقاطع است. فرمول مفید دیگری به شرح زیر است:
این فرمول ها در ساده کردن محاسبات برداری در فیزیک بسیار مفید هستند . یک اتحاد مرتبط با شیب ها و مفید در محاسبات برداری، فرمول لاگرانژ اتحاد متقابل بردار است: [4]
این را می توان به عنوان یک مورد خاص از عملگر عمومی تر Laplace-de Rham نیز در نظر گرفت .
راجزئی از از رابطه زیر بدست می آید:
به طور مشابه،واجزای توسط:
با ترکیب این سه جزء به دست می آید:
[5]
اگر از جبر هندسی استفاده شود، حاصل ضرب متقاطع b × c بردارها به صورت حاصلضرب بیرونی b ∧ c ، یک دوبردار بیان می شود . دومین ضرب متقاطع را نمی توان به عنوان یک ضرب بیرونی بیان کرد، در غیر این صورت حاصل ضرب سه گانه اسکالر ایجاد می شود. در عوض می توان از انقباض چپ [6] استفاده کرد، بنابراین فرمول تبدیل به [7] می شود.
اثبات از خواص انقباض حاصل می شود. [6] نتیجه همان بردار محاسبه شده با استفاده از × ( b × c ) است.
در نماد تانسور ، حاصل ضرب سه گانه با استفاده از نماد لوی-سویتا بیان می شود : [8]
و
با اشاره به-امین جزء بردار حاصل. این را می توان با انجام یک انقباض بر روی نمادهای لوی-سویتا ساده کرد . جایی کهتابع دلتای کرونکر است (چه زمانیوچه زمانی ) وتابع دلتای کرونکر تعمیم یافته است . ما میتوانیم این اتحاد را با تشخیص این شاخص مشخص کنیم صرفا خروج خلاصه خواهد شدو. در ترم اول تعمیر می کنیمو بنابراین. به همین ترتیب در ترم دوم اصلاح می کنیممنو بنابراین.
بازگشت به ضرب متقاطع سه گانه،
انتگرال شار میدان برداری را در نظر بگیریدافدر سراسر سطح پارامتریک تعریف شده است:. بردار واحد نرمالبه سطح داده شده توسطبنابراین انتگرالیک ضرب سه گانه اسکالر است.
این بخش نیاز به گسترش دارد . می توانید با افزودن به آن کمک کنید . ( ژانویه 2014 )
برچسب : نویسنده : 9math1342d بازدید : 11