5-ضرب خارجی

آخرین مطالب

امکانات وب

5-ضرب خارجی

ویژگی های جبری [ ویرایش ]

ضرب اسکالر ضربدری . سمت چپ: تجزیه b به اجزای موازی و عمود بر a . راست: مقیاس بندی مولفه های عمود بر یک عدد حقیقی مثبت r (اگر منفی، b و ضرب خارجی معکوس شوند).

توزیع ضرب خارجی بر جمع بردار. سمت چپ: بردارهای b و c به مولفه های موازی و عمود بر a تفکیک می شوند . راست: مولفه های موازی در ضرب ضربدری ناپدید می شوند، فقط مولفه های عمودی که در صفحه عمود بر یک نشان داده شده اند باقی می مانند. [12]

دو حاصل ضرب سه گانه غیر معادل سه بردار a , b , c . در هر مورد، دو بردار یک صفحه را تعریف می کنند، دیگری خارج از صفحه است و می تواند به اجزای موازی و عمود بر ضرب ضربدر بردارهای تعیین کننده صفحه تقسیم شود. این مولفه ها را می توان با طرح ریزی برداری و رد یافت . حاصلضرب سه گانه در هواپیما قرار دارد و مطابق شکل می چرخد.

اگر حاصل ضرب خارجی دو بردار، بردار صفر باشد (یعنی a × b = 0 )، در این صورت یکی یا هر دو ورودی بردار صفر است، ( a = 0 یا b = 0 ) یا موازی یا موازی هستند. ضد موازی ( a ∥ b ) به طوری که سینوس زاویه بین آنها صفر باشد ( θ = 0 درجه یا θ = 180 درجه و sin θ = 0 ).

حاصل ضرب خود خارجی یک بردار بردار صفر است:

${displaystyle mathbf {a} times mathbf {a} =mathbf {0} .}$

ضرب خارجی ضد جابجایی است ،

${displaystyle mathbf {a} times mathbf {b} =-(mathbf {b} times mathbf {a})$

توزیعی بر اضافه،

${displaystyle mathbf {a} times (mathbf {b} +mathbf {c} )=(mathbf {a} times mathbf {b} )+(mathbf {a} times mathbf { ج})}$

و سازگار با ضرب اسکالر به طوری که

${displaystyle (r,mathbf {a})times mathbf {b} =mathbf {a} times (r,mathbf {b})=r,(mathbf {a} times mathbf {b} ).}$

تداعی کننده نیست ، اما اتحاد ژاکوبی را ارضا می کند :

${displaystyle mathbf {a} times (mathbf {b} times mathbf {c} )+mathbf {b} times (mathbf {c} times mathbf {a} )+mathbf { c} times (mathbf {a} times mathbf {b} )=mathbf {0} .}$

توزیع، خطی بودن و اتحاد ژاکوبی نشان می دهد که فضای برداری R3 به همراه جمع بردار و حاصل ضرب خارجی جبر Lie را تشکیل می دهد ، جبر Lie گروه متعامد واقعی در 3 بعد، SO(3) . ضرب خارجی از قانون لغو تبعیت نمی کند . یعنی a × b = a × c با a ≠ 0 به معنای b = c نیست ، بلکه فقط به این معناست:

${displaystyle {begin{aligned}mathbf {0} &=(mathbf {a} times mathbf {b} )-(mathbf {a} times mathbf {c} )&= mathbf {a} times (mathbf {b} -mathbf {c} ).end{تراز شده}}}$

این می تواند موردی باشد که b و c لغو شوند، اما به علاوه در جایی که a و b - c موازی هستند. یعنی با یک ضریب مقیاس t مرتبط هستند که منجر به:

${displaystyle mathbf {c} =mathbf {b} +t,mathbf {a},}$

برای برخی ازt اسکالر .

اگر علاوه بر a × b = a × c و a ≠ 0 مانند بالا، چنین است که a ⋅ b = a ⋅ c سپس

${displaystyle {begin{aligned}mathbf {a} times (mathbf {b} -mathbf {c} )&=mathbf {0} mathbf {a} cdot (mathbf {b } -mathbf {c} )&=0،end{تراز شده}}}$

از آنجایی که b − c نمی تواند همزمان موازی (برای ضرب ضربدر 0 باشد ) و عمود (برای ضرب نقطه ای 0) بر a باشد ، باید اینطور باشد که b و c لغو شوند: b = c .

از تعریف هندسی، حاصل ضرب خارجی تحت چرخش های مناسب حول محوری که با a × b تعریف شده است، ثابت است . در فرمول ها:

${displaystyle (Rmathbf {a})times (Rmathbf {b})=R(mathbf {a} times mathbf {b} )}$ ، جایی که ${displaystyle R}$ یک ماتریس چرخشی است با ${displaystyle det(R)=1}$ .

به طور کلی تر، ضرب خارجی تحت تبدیل ماتریس از اتحاد زیر تبعیت می کند:

${displaystyle (Mmathbf {a})times (Mmathbf {b})=(det M)left(M^{-1}right)^{mathrm {T} }(mathbf {a} times mathbf {b} )=operatorname {cof} M(mathbf {a} times mathbf {b} )}$

جایی که ${displaystyle M}$ یک ماتریس 3 در 3 است و ${displaystyle left(M^{-1}right)^{mathrm {T} }}$ انتقال معکوس و است ${displaystyle operatorname {cof} }$ ماتریس کوفاکتور است. به راحتی می توان مشاهده کرد که چگونه این فرمول به فرمول قبلی کاهش می یابد ${displaystyle M}$ یک ماتریس چرخشی است. اگر ${displaystyle M}$ یک ماتریس متقارن 3 در 3 است که برای یک ضرب خارجی عمومی اعمال می شود ${displaystyle mathbf {a} times mathbf {b} }$ ، رابطه زیر صادق است:

${displaystyle M(mathbf {a} times mathbf {b} )=operatorname {Tr} (M)(mathbf {a} times mathbf {b} )-mathbf {a} times M mathbf {b} +mathbf {b} times Mmathbf {a} }$

حاصل ضرب خارجی دو بردار در فضای تهی ماتریس 2 × 3 با بردارها به عنوان ردیف قرار دارد:

∈ناس([آب]). ${displaystyle mathbf {a} times mathbf {b} in NSleft({begin{bmatrix}mathbf {a} mathbf {b} end{bmatrix}}right).}$

برای مجموع دو ضرب خارجی، اتحاد زیر برقرار است:

+ج×د=(آ-ج)×(ب-د)+آ×د+ج×ب. ${displaystyle mathbf {a} times mathbf {b} +mathbf {c} times mathbf {d} =(mathbf {a} -mathbf {c})times (mathbf {b} -mathbf {d} )+mathbf {a} times mathbf {d} +mathbf {c} times mathbf {b} .}$

تمایز [ ویرایش ]

مقاله اصلی: تابع با ارزش برداری § مشتق و ضرب برداری

قاعده حاصلضرب حساب دیفرانسیل برای هر عملیات دوخطی و در نتیجه برای ضرب خارجی نیز کاربرد دارد:

${displaystyle {frac {d}{dt}}(mathbf {a} times mathbf {b} )={frac {dmathbf {a} {dt}}times mathbf {b} +mathbf {a} times {frac {dmathbf {b} {dt}}،}$

که در آن a و b بردارهایی هستند که به متغیر واقعی t بستگی دارند .

توسعه ضرب سه گانه [ ویرایش ]

مقاله اصلی: ضرب سه گانه

ضرب خارجی در هر دو شکل ضرب سه گانه استفاده می شود. حاصل ضرب سه گانه اسکالر سه بردار به صورت تعریف شده است

${displaystyle mathbf {a} cdot (mathbf {b} times mathbf {c})،}$

این حجم علامت دار متوازی الاضلاع با یال های a ، b و c است و به این ترتیب بردارها را می توان به هر ترتیبی که جایگشت یکنواخت از ترتیب فوق است استفاده کرد. بنابراین موارد زیر برابر هستند:

${displaystyle mathbf {a} cdot (mathbf {b} times mathbf {c} )=mathbf {b} cdot (mathbf {c} times mathbf {a} )=mathbf { c} cdot (mathbf {a} times mathbf {b})،}$

بردار حاصل ضرب سه گانه حاصل ضرب یک بردار با حاصل ضرب ضربدری دیگر است و با فرمول زیر به حاصل ضرب نقطه ای مربوط می شود.

${displaystyle {begin{aligned}mathbf {a} times (mathbf {b} times mathbf {c} )=mathbf {b} (mathbf {a} cdot mathbf {c}) -mathbf {c} (mathbf {a} cdot mathbf {b} )(mathbf {a} times mathbf {b} )times mathbf {c} =mathbf {b} ( mathbf {c} cdot mathbf {a} )-mathbf {a} (mathbf {b} cdot mathbf {c} )end{تراز شده}}}$

یادداشت " BAC منهای CAB" برای به خاطر سپردن ترتیب بردارها در عضو دست راست استفاده می شود. این فرمول در فیزیک برای ساده کردن محاسبات بردار استفاده می شود. یک مورد خاص، در مورد گرادیان و مفید در محاسبات برداری است

${displaystyle {begin{aligned}nabla times (nabla times mathbf {f} )&=nabla (nabla cdot mathbf {f})-(nabla cdot nabla )mathbf {f} &=nabla (nabla cdot mathbf {f} )-nabla ^{2}mathbf {f} ،end{تراز شده}}}$

که در آن ∇ 2 بردار عملگر لاپلاسی است .

اتحاد های دیگر حاصل ضرب خارجی را به حاصل ضرب سه گانه اسکالر مرتبط می کنند:

${displaystyle {begin{aligned}(mathbf {a} times mathbf {b} )times (mathbf {a} times mathbf {c} )&=(mathbf {a} cdot ( mathbf {b} times mathbf {c} ))mathbf {a} (mathbf {a} times mathbf {b} )cdot (mathbf {c} times mathbf {d} )&=mathbf {b} ^{mathrm {T} }left(left(mathbf {c} ^{mathrm {T} }mathbf {a} راست)I-mathbf {c} mathbf {a} ^{mathrm {T} }right)mathbf {d} &=(mathbf {a} cdot mathbf {c})(mathbf {b} cdot mathbf { d} )-(mathbf {a} cdot mathbf {d} )(mathbf {b} cdot mathbf {c} )end{تراز شده}}}$

جایی که I ماتریس اتحاد هستم.F

ریاضیات...

ما را در سایت ریاضیات دنبال می کنید

برچسب : نویسنده : 9math1342d بازدید : 16 تاريخ : چهارشنبه 12 ارديبهشت 1403 ساعت: 18:47

5-ضرب خارجی

آخرین مطالب

امکانات وب