منزلِ نخستاز دل‌سپردن به نوتری‌بودنِ حلقه تا مهارِ درجاتِ چندجمله‌ای‌ها ۱. فرضِ بنیادین: فرض کنید ایده‌آلی دلخواه از حلقه‌یِ چندجمله‌ای‌ها در اختیار داریم، در حالی که حلقه‌یِ پایه‌ای ما یک حلقه‌یِ نوتری است (یعنی هر ایده‌آل در آن متناهی‌تولید است). مقصود آن است که نشان دهیم این ایده‌آلِ چندجمله‌ای نیز متناهی‌تولید است. ۲. رصدِ ضرایبِ پیشرو: مجموعه‌ای از تمامِ ضرایبِ پیشروی چندجمله‌ای‌هایِ موجود در آن ایده‌آل را در نظر می‌گیریم. این مجموعه شاملِ بالاترین ضریبِ هر چندجمله‌ای است. ۳. نوتری‌بودنِادامه مطلب

منزلِ دوماز ساختِ ایده‌آلِ فرعی تا شکستِ فرضِ خلف و اثباتِ نوتری‌بودن ۱. ساختِ ایده‌آلِ فرعی: ایده‌آلی نوین از چندجمله‌ای‌هایِ منتخبِ خود در نظر می‌گیریم. به روشنی مشخص است که این ایده‌آلِ به‌روز، زیرمجموعه‌ای از ایده‌آلِ اصلیِ ماست. مقصودِ نهایی آن است که ثابت کنیم این دو جامعاً با یکدیگر برابرند. ۲. آغازِ برهانِ خلف: برایِ اثباتِ تساوی، فرضِ خلف می‌کنیم؛ یعنی فرض نماییم که ایده‌آلِ به‌روز، کوچک‌تر از ایده‌آلِ اصلی باشد. در این صورت، حتماً چندجمله‌ای‌ای در ایده‌آلِ اصلی وجود دارد که در ایده‌ادامه مطلب

گامِ نخست: برقراریِ فرضِ بنیادین و گامِ دوم: برهانِ خلف در یک خانه.```html روایتِ جامعِ برهانقضیه‌یِ پایه‌یِ هیلبرت — دو منزل، یک فرجاماز نوتری‌بودنِ حلقه‌یِ پایه تا متناهی‌تولید بودنِ حلقه‌یِ چندجمله‌ای‌هامنزلِ نخست — پایه‌گذاریِ فرض و مهارِ ضرایبِ پیشرو۱. فرضِ بنیادین: فرض کنید ایده‌آلی دلخواه از حلقه‌یِ چندجمله‌ای‌ها در اختیار داریم، در حالی که حلقه‌یِ پایه‌ای ما یک حلقه‌یِ نوتری است (یعنی هر ایده‌آل در آن متناهی‌تولید است). مقصود آن است که نشان دهیم این ایده‌آلِ چندجمله‌ای نیز متناهی‌تولید ادامه مطلب

پلی میانِ جبرِ جابجایی و مجموعه‌های جبری در فضای آفین ۱. نگاشتِ همریختی: فرض کنید همریختیِ پوشایی میان دو حلقه برقرار است. در این صورت، با توجه به قضیه‌های ایزومورفیسمی، حلقه‌یِ خارج‌قسمتی متناظر با هسته‌یِ این نگاشت، ساختاری هم‌ارز و متصل به حلقه‌یِ مقصد پیدا می‌کند. ۲. پیش‌تصویرِ ایده‌آل‌ها: اگر ایده‌آلی دلخواه در حلقه‌یِ مقصد در نظر بگیریم، پیش‌تصویرِ آن تحتِ نگاشتِ همریختی، خود یک ایده‌آل در حلقه‌یِ مبدأ تشکیل می‌دهد. ۳. انتقالِ خاصیتِ نوتری: از آن‌جا که حلقه‌یِ مبدأ نوتری است، پیش‌تادامه مطلب

ثمره‌یِ بوستانِ معرفتدستاوردهایِ ساختاری از تلاقیِ جبرِ جابجایی و هندسه‌ی آفین ۱. حکمِ انتقالِ نوتری‌بودن: نوتری‌بودن خاصیتی است که از حلقه‌یِ مبدأ، به واسطه‌یِ نگاشت‌های همریختیِ پوشا و ساختارِ حلقه‌های خارج‌قسمتی، به تصویرِ نهایی منتقل می‌شود؛ به گونه‌ای که کثرتِ ایده‌آل‌ها همیشه در بندِ متناهی‌تولید بودن آرام می‌گیرد. ۲. خروجی‌یِ قضیه‌یِ پایه‌یِ هیلبرت: به استنادِ این قضیه‌یِ سترگ، حلقه‌یِ چندجمله‌ای‌ها بر روی هر میدانِ پایه‌یِ دلخواه، ماهیتی نوتری دارد؛ و در پیِ آن، هر ایده‌آل در این حلقهادامه مطلب

منزلِ پنجم — هندسه‌ی جبریتجزیه‌یِ هندسی و پیوندِ ناگسستنی با ساختارِ جبری ۱. ساختارِ اشتراکیِ صفرگاه‌ها و تعریفِ تحویل‌پذیری تولیدِ متناهی: به استنادِ خاصیتِ نوتری، هر ایده‌آلِ $I$ متناهی‌تولید است و می‌توان آن را با چندجمله‌ای‌های مشخصی به صورتِ $I = langle F_1, dots, F_m rangle$ نمایش داد. در خروجی، مجموعه‌یِ صفرگاهِ آن به صورتِ اشتراکِ متناهی از صفحة ترازها درمی‌آید: V(I) = V(F₁, ..., Fₘ) = V(F₁) ∩ ... ∩ V(Fₘ) تعریفِ تحویل‌پذیری: یک چندگونه‌یِ V در فضای آفین، تحویل‌پذیر نامیده می‌شود هرادامه مطلب

این مقاله در مورد مفهوم کلی در نظریه ریاضی میدان های برداری است. برای پتانسیل برداری در الکترومغناطیس، پتانسیل بردار مغناطیسی را ببینید . برای پتانسیل برداری در مکانیک سیالات، تابع جریان را ببینید .در حساب بردار ، پتانسیل برداری یک میدان برداری است که حلقه آن یک میدان برداری معین است. این مشابه یک پتانسیل اسکالر است ، که یک میدان اسکالر است که گرادیان آن یک میدان برداری معین است.به طور رسمی، یک فیلد برداری داده می شود، یک پتانسیل برداری a است میدان برداری به طوری کهپیامد [ ویرایش ]اگر یک فیلد بردارییک پتانسیل برداری را می پذیرد، سپس از برابری( واگرایی حلقه صفر است) یک بدست می آیدکه دلالت بر آن داردباید یک میدان برداری سلونوئیدی باشد .قضیه [ ویرایش ]اجازه دهیدیک میدان برداری سلونوئیدی باشد که دو بار به طور پیوسته مشتق پذیر است . فرض کن کهحداقل به همان سرعت کاهش می یابدبرای. تعريف كردنجایی کهنشان دهنده کرل با توجه به متغیر است. سپسیک پتانسیل برداری برای است. به این معنا که،دامنه انتگرال را می توان به هر منطقه ای که به سادگی متصل است محدود کرد. به این معنا که،همچنین یک پتانسیل برداری از است، جایی کهتعمیم این قضیه، قضیه تجزیه هلمهولتز است ، که بیان می کند که هر میدان برداری را می توان به صورت مجموع یک میدان برداری سلونوئیدی و یک میدان برداری غیر چرخشی تجزیه کرد .با قیاس با قانون بیو ساوار ،همچنین به عنوان یک پتانسیل برداری برای، جایی که.جایگزین کردن( چگالی جریان ) برایو( H-field ) برای ، قانون بیوساوار را به دست می دهد.اجازه دهیدیک دامنه ستاره محور در نقطه باشد، جایی که . سپس استفاده از لم پوانکاره برای اشکال دیفرانسیل در زمینه های برداری همچنین یک پتانسیل بردارادامه مطلب

از ویکیپدیا، دانشنامه آزادمقالاتی در موردالکترومغناطیسبرقمغناطیساپتیکتاریخمحاسباتیکتاب های درسیپدیده هانشان می دهدالکترواستاتیکپنهان شدنمغناطیس استاتیکقانون آمپرقانون بیوت-ساوارتقانون مغناطیسی گاوسدوقطبی مغناطیسیمیدان مغناطیسیشار مغناطیسیپتانسیل اسکالر مغناطیسیپتانسیل بردار مغناطیسیمغناطیس سازینفوذپذیریقانون دست راستنشان می دهدالکترودینامیکنشان می دهدشبکه برقنشان می دهدمدار مغناطیسینشان می دهدفرمول کوواریانسنشان می دهددانشمنداندر الکترومغناطیس کلاسیک ، پتانسیل بردار مغناطیسی (که اغلب A نامیده می شود ) کمیت برداری است که به گونه ای تعریف می شود که پیچش آن برابر با میدان مغناطیسی باشد :. همراه با پتانسیل الکتریکی φ ، از پتانسیل بردار مغناطیسی می توان برای تعیین میدان الکتریکی E نیز استفاده کرد. بنابراین، بسیاری از معادلات الکترومغناطیس را میتوان بر حسب میدانهای E و B یا به طور معادل بر حسب پتانسیلهای φ و A نوشت . در نظریه های پیشرفته تر مانند مکانیک کوانتومی ، بیشتر معادلات به جای میدان ها از پتانسیل استفاده می کنند.پتانسیل برداری مغناطیسی برای اولین بار توسط فرانتس ارنست نویمان و ویلهلم ادوارد وبر به ترتیب در سال 1845 و 1846 معرفی شد. ویلیام تامسون نیز در سال 1847 پتانسیل برداری را همراه با فرمول مربوط به میدان مغناطیسی معرفی کرد. [1] [2]قراردادهای واحد [ ویرایش ]این مقاله از سیستم SI استفاده می کند.در سیستم SI , واحدهای A V · s · m - 1 هستند و همان تکانه در واحد بار یا نیرو در واحد جریان هستند .پتانسیل بردار مغناطیسی [ ویرایش ]پتانسیل بردار مغناطیسی A یک میدان برداری است که همراه با پتانسیل الکتریکی φ (یک میدان اسکالر ) با معادلات: [3] تعریف میشود.که در آن B میدان مغناطیسادامه مطلب

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد(از اسلش دیراک تغییر مسیر داده شده است )در مطالعه میدانهای دیراک در نظریه میدان کوانتومی ، ریچارد فاینمن نماد اسلش فاینمن راحت را اختراع کرد (که کمتر به نام علامت ممیز دیراک شناخته میشود [1] ). اگر A یک بردار کوواریانت باشد (یعنی یک شکل 1 )،که γ ماتریس های گاما هستند . با استفاده از نماد جمع انیشتین ، عبارت به سادگی است.با استفاده از ضد جابجایی ماتریس های گاما، می توان آن را برای هر کدام نشان داد و،جایی که ماتریس هویت در چهار بعد است.به خصوص،هویتهای بیشتر را میتوان با جایگزین کردن تانسور متریک با ضرب داخلی هویتهای ماتریس گاما خواند . مثلا،جایی که:نماد Levi-Civita استمتریک مینکوفسکی استاسکالر است.با چهار تکانه [ ویرایش ]این بخش از امضای متریک (+ − −−) استفاده می کند . اغلب، هنگام استفاده از معادله دیراک و حل برای مقاطع، نماد اسلش استفاده شده در چهار تکانه را مییابیم : با استفاده از مبنای دیراک برای ماتریسهای گاما،و همچنین تعریف چهار تکانه متضاد در واحدهای طبیعی ،ما به صراحت می بینیم کهنتایج مشابهی در سایر پایهها مانند پایه Weyl وجود دارد .همچنین ببینید [ ویرایش ]پایه ویلماتریس های گاماچهار برداریماتریس Sمنابع https://en.wikipedia.org/wiki/Feynman_slash_notation ادامه مطلب

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاددر فیزیک ریاضی ، ماتریس های گاما ، ماتریسهای دیراک نیز نامیده میشوند ، مجموعهای از ماتریسهای معمولی با روابط ضد جابجایی خاص که تضمین میکنند نمایش ماتریسی از جبر کلیفورد را ایجاد میکنند . .همچنین می توان ماتریس های گاما با ابعاد بالاتر را تعریف کرد . هنگامی که به عنوان ماتریس های عملکرد مجموعه ای از بردارهای پایه متعامد برای بردارهای متناقض در فضای مینکوفسکی تفسیر می شود ، بردارهای ستونی که ماتریس ها بر روی آنها عمل می کنند به فضایی از اسپینورها تبدیل می شوند که جبر فضازمان کلیفورد روی آن عمل می کند. این به نوبه خود امکان نمایش چرخش های فضایی بینهایت کوچک و بوست های لورنتس را فراهم می کند . اسپینورها محاسبات فضازمان را به طور کلی تسهیل می کنند و به طور خاص برای معادله دیراک برای اسپین نسبیتی اساسی هستند. 1 2ذرات. ماتریس های گاما توسط پل دیراک در سال 1928 معرفی شدند . [1] [2]در نمایش دیراک ، چهار ماتریس گامای متضاد هستندماتریس هرمیتی مانند زمان است . سه مورد دیگر ماتریس های فضایی و ضد هرمیتی هستند . فشرده تر، ،و جایی که ⊗ نشان دهنده ضرب کرونکر و (برای j = 1، 2، 3 ) ماتریس های پائولی را نشان دهید .علاوه بر این، برای بحث در مورد نظریه گروه، ماتریس اتحاد ( I ) گاهی با چهار ماتریس گاما گنجانده می شود، و یک ماتریس کمکی، "پنجم" بدون ردیابی وجود دارد که در ارتباط با ماتریس های گامای معمولی استفاده می شود."ماتریس پنجم" عضو مناسبی از مجموعه اصلی چهار نفره نیست. از آن برای جداسازی نمایش های کایرال اسمی چپ و راست استفاده می شود .ماتریسهای گاما دارای ساختار گروهی هستند، گروه گاما ، که با تمام نمایشهای ماتریسی گروه، در هر بعد، برای هر امضای متریک مشترک استادامه مطلب

بیان معادله دیراک [ ویرایش ]مقاله اصلی: معادله دیراکدر واحدهای طبیعی ، معادله دیراک ممکن است به صورت نوشته شودجایی که یک اسپینور دیراک است.با تغییر به نماد فاینمن ، معادله دیراک استپنجمین ماتریس "گاما"، γ 5 [ ویرایش ]مفید است که حاصل ضرب چهار ماتریس گاما را به صورت تعریف کنیم ، به طوری که(در اساس دیراک).با اينكه از حرف گاما استفاده می کند، این یکی از ماتریس های گاما نیست شاخص شماره 5 یادگاری از نمادهای قدیمی است: قبلاً به نام 4".یک شکل جایگزین نیز دارد:با استفاده از کنوانسیونیابا استفاده از کنوانسیون اثبات:این را می توان با بهره برداری از این واقعیت مشاهده کرد که هر چهار ماتریس گاما ضد رفت و آمد هستند، بنابراینجایی کهاز نوع (4،4) دلتای کرونکر تعمیم یافته در 4 بعد، در ضد تقارن کامل است . اگر نماد Levi-Civita را در ابعاد n نشان می دهد ، می توانیم از همانی استفاده کنیم. سپس با استفاده از قرارداد دریافت می کنیم این ماتریس در بحث در مورد کایرالیته مکانیک کوانتومی مفید است . به عنوان مثال، یک فیلد دیراک را می توان بر روی اجزای چپ و راست آن به وسیله:برخی از خواص عبارتند از:هرمیتی است:مقادیر ویژه آن 1± است، زیرا:با چهار ماتریس گاما مقابله می کند:در حقیقت، و بردارهای ویژه هستند از آنجا کهوپنج بعد [ ویرایش ]جبر کلیفورد در ابعاد فرد مانند دو نسخه از جبر کلیفورد با یک بعد کمتر، یک کپی سمت چپ و یک کپی سمت راست رفتار می کند. [3] : 68u200a بنابراین، میتوان با کمی ترفند، iu202f γ u202f5 را به عنوان یکی از مولدهای جبر کلیفورد در پنج بعد تغییر داد. در این مورد، مجموعه { γ u202f0 , γ u202f1 , γ u202f2 , γ u202f3 , i γ u202f5 } بنابراین با دو ویژگی آخر (با در نظر داشتن i u202f2 ≡ −1 ) و گامای «قدیمی»، اساس جبر کلیفورد را در 5 بعادامه مطلب

به عنوان مثال، عملگر اسپین طرح S z بر اندازه گیری اسپین در جهت z تاثیر می گذارد .دو مقدار ویژه S z ، ±ħ/2، سپس با اسپینرهای ویژه زیر مطابقت دارد:این بردارها مبنای کاملی برای فضای هیلبرت تشکیل می دهند که چرخش را توصیف می کند.1/2ذره بنابراین، ترکیب خطی این دو حالت میتواند تمام حالتهای ممکن اسپین را نشان دهد، از جمله در جهتهای x و y .اپراتورهای نردبان عبارتند از:از آنجایی که S ± = S x ± i S y , [6] نتیجه می شود که S x =1/2( S + + S − ) و S y =1/2i( S + − S − ) . بدین ترتیب:اسپینرهای ویژه نرمال شده آنها را می توان به روش معمول یافت. برای S x ، آنها عبارتند از:برای S y ، آنها عبارتند از: ادامه مطلب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال  یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید  .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

مقاله اصلی: عملگر حرکت زاویه ایکاربرد خاصی از مفهوم عملگر نردبانی در درمان مکانیکی کوانتومی تکانه زاویه ای یافت می شود . برای یک بردار تکانه زاویه ای کلی J با مولفه های J x ، J y و J z یکی دو عملگر نردبانی را تعریف می کند [3]جایی که i واحد مختلط است .رابطه کموتاسیون بین مولفه های دکارتی هر عملگر تکانه زاویه ای با استفاده ازکه در آن ε ijk نماد لوی-سیویتا است و هر یک از i ، j و k می توانند هر یک از مقادیر x ، y و z را بگیرند .از این، روابط جابجاگر بین عملگرهای نردبان و J z به دست می آید:(از نظر فنی، این جبر لی است ).خواص عملگرهای نردبانی را می توان با مشاهده اینکه چگونه عمل عملگر Jz را در یک حالت مشخص تغییر می دهند تعیین کرد:این نتیجه میدهدبنابراین، یکی نتیجه می گیرد که مقداری اسکالر ضربدر است:این ویژگی تعیین کننده عملگرهای نردبانی در مکانیک کوانتومی را نشان می دهد: افزایش (یا کاهش) یک عدد کوانتومی، در نتیجه نگاشت یک حالت کوانتومی به حالت دیگر. به همین دلیل است که آنها اغلب به عنوان اپراتورهای افزایش و کاهش شناخته می شوند.برای به دست آوردن مقادیر α و β ، ابتدا هنجار هر عملگر را بگیرید، با تشخیص اینکه J + و J- یک جفت مزدوج هرمیتی هستند .):حاصل ضرب عملگرهای نردبانی را می توان بر حسب جفت رفت و آمد J 2 و J z بیان کرد :بنابراین، می توان مقادیر | را بیان کرد α | 2 و | β | 2 بر حسب مقادیر ویژه J 2 و J z :فازهای α و β از نظر فیزیکی مهم نیستند، بنابراین می توان آنها را مثبت و واقعی انتخاب کرد ( کنوانسیون فاز کاندون - شورتلی ). سپس داریم [4]تأیید اینکه m با مقدار j محدود شده است )، یک نفر داردنمایش فوق در واقع ساخت ضرایب کلبش-گوردان است .https://en.wikipedia.org/wiki/Ladder_operator Adادامه مطلب

تعریف یافتن جهت ضربدری با قانون دست راستحاصل ضرب خارجی دو بردار a و b فقط در فضای سه بعدی تعریف می شود و با a × b نشان داده می شود . در فیزیک و ریاضیات کاربردی ، نماد گوه ای a ∧ b اغلب استفاده می شود (همراه با نام حاصلضرب بردار )، [5] [6] [7] اگرچه در ریاضیات محض این نماد معمولاً فقط برای ضرب بیرونی محفوظ است. انتزاع حاصلضرب برداری به n بعد.حاصل ضرب خارجی a × b به عنوان بردار c که بر هر دو a و b عمود (متعامد) است ، با جهتی که توسط قانون دست راست [1] داده می شود و قدر آن برابر با مساحت متوازی الاضلاع بردارها است، تعریف می شود. [2]ضرب خارجی با فرمول [8] [9] تعریف می شود.جایی کهθ زاویه بین a و b در صفحه حاوی آنها است (بنابراین بین 0 تا 180 درجه است).‖ a ‖ و ‖ b اندازه بردارهای a و b هستند ،n یک بردار واحد عمود بر صفحه حاوی a و b با جهتی است که مجموعه مرتب شده ( a , b , n ) جهت مثبت دارد .اگر بردارهای a و b موازی باشند (یعنی زاویه θ بین آنها 0 درجه یا 180 درجه است)، با فرمول بالا، حاصل ضرب خارجی a و b بردار صفر 0 است .جهتضرب ضربدر a × b (عمودی، به رنگ بنفش) با تغییر زاویه بین بردارهای a (آبی) و b (قرمز) تغییر می کند. حاصل ضرب خارجی همیشه نسبت به هر دو بردار متعامد است و زمانی که بردارها موازی باشند قدر صفر و زمانی که متعامد هستند قدر ‖a‖‖b‖ دارد.جهت بردار n به جهت انتخابی فضا بستگی دارد. به طور متعارف، با قانون دست راست ارائه می شود، که در آن شخص به سادگی انگشت سبابه دست راست را در جهت a و انگشت وسط را در جهت b نشان می دهد . سپس، بردار n از انگشت شست خارج می شود (تصویر مجاور را ببینید). استفاده از این قانون به این معنی است که ضرب خارجی ضد تعویض است . یعنی b × a = −( a × b ) . با ادامه مطلب