عملگر حرکت زاویه ای

آخرین مطالب

امکانات وب

عملگر حرکت زاویه ای

مقاله اصلی: عملگر حرکت زاویه ای

کاربرد خاصی از مفهوم عملگر نردبانی در درمان مکانیکی کوانتومی تکانه زاویه ای یافت می شود . برای یک بردار تکانه زاویه ای کلی J با مولفه های J x ، J y و J z یکی دو عملگر نردبانی را تعریف می کند [3]

${displaystyle {begin{aligned}J_{+}&=J_{x}+iJ_{y},J_{-}&=J_{x}-iJ_{y},end{aligned}}$

جایی که i واحد مختلط است .

رابطه کموتاسیون بین مولفه های دکارتی هر عملگر تکانه زاویه ای با استفاده از

${displaystyle [J_{i},J_{j}]=ihbar epsilon _{ijk}J_{k},}$

که در آن ε ijk نماد لوی-سیویتا است و هر یک از i ، j و k می توانند هر یک از مقادیر x ، y و z را بگیرند .

از این، روابط جابجاگر بین عملگرهای نردبان و J z به دست می آید:

${displaystyle {begin{aligned}{}[J_{z},J_{pm }]&=pm hbar J_{pm },{}[J_{+},J_{-}] &=2hbar J_{z}end{تراز شده}}}$

(از نظر فنی، این جبر لی است ${displaystyle {{mathfrak {s}}l}(2,mathbb {R} )}$ ).

خواص عملگرهای نردبانی را می توان با مشاهده اینکه چگونه عمل عملگر Jz را در یک حالت مشخص تغییر می دهند تعیین کرد:

${displaystyle {begin{aligned}J_{z}J_{pm }|j,mrangle &={big (}J_{pm }J_{z}+[J_{z},J_{ pm }]{big )}|j,mrangle &=(J_{pm }J_{z}pm hbar J_{pm })|j,mrangle & =hbar (mpm 1)J_{pm }|j,mrangle .end{تراز شده}}}$

این نتیجه میدهد

${displaystyle J_{z}|j,(mpm 1)rangle =hbar (mpm 1)|j,(mpm 1)rangle .}$

بنابراین، یکی نتیجه می گیرد که ${displaystyle {J_{pm }|j,mrangle }}$ مقداری اسکالر ضربدر است ${displaystyle {|j,(mpm 1)rangle }}$ :

${displaystyle {begin{aligned}J_{+}|j,mrangle &=alpha |j,(m+1)rangle ,J_{-}|j,mrangle & =beta |j,(m-1)rangle .end{تراز شده}}}$

این ویژگی تعیین کننده عملگرهای نردبانی در مکانیک کوانتومی را نشان می دهد: افزایش (یا کاهش) یک عدد کوانتومی، در نتیجه نگاشت یک حالت کوانتومی به حالت دیگر. به همین دلیل است که آنها اغلب به عنوان اپراتورهای افزایش و کاهش شناخته می شوند.

برای به دست آوردن مقادیر α و β ، ابتدا هنجار هر عملگر را بگیرید، با تشخیص اینکه J + و J- یک جفت مزدوج هرمیتی هستند . ${displaystyle J_{pm }=J_{mp }^{dagger }}$ ):

${displaystyle {begin{تراز شده}&langle j,m|J_{+}^{dagger }J_{+}|j,mrangle =langle j,m|J_{-}J_ {+}|j,mrangle =langle j,(m+1)|alpha ^{*}alpha |j,(m+1)rangle =|alpha |^{2} ,&langle j,m|J_{-}^{ خنجر }J_{-}|j,mrangle =langle j,m|J_{+}J_{-}|j ,mrangle =langle j,(m-1)|beta ^{*}beta |j,(m-1)rangle =|بتا |^{2}.end{تراز شده} }}$

حاصل ضرب عملگرهای نردبانی را می توان بر حسب جفت رفت و آمد J 2 و J z بیان کرد :

${displaystyle {begin{aligned}J_{-}J_{+}&=(J_{x}-iJ_{y})(J_{x}+iJ_{y})=J_{x}^{2} +J_{y}^{2}+i[J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}-hbar J_{z},J_{+ }J_{-}&=(J_{x}+iJ_{y})(J_{x}-iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}-i[ J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}+hbar J_{z}.end{تراز شده}}}$

بنابراین، می توان مقادیر | را بیان کرد α | 2 و | β | 2 بر حسب مقادیر ویژه J 2 و J z :

${displaystyle {begin{aligned}|alpha |^{2}&=hbar ^{2}j(j+1)-hbar ^{2}m^{2}-hbar ^{2} m=hbar ^{2}(jm)(j+m+1)،|beta |^{2}&=hbar ^{2}j(j+1)-hbar ^{2} m^{2}+hbar ^{2}m=hbar ^{2}(j+m)(j-m+1).end{تراز شده}}}$

فازهای α و β از نظر فیزیکی مهم نیستند، بنابراین می توان آنها را مثبت و واقعی انتخاب کرد ( کنوانسیون فاز کاندون - شورتلی ). سپس داریم [4]

${displaystyle {begin{aligned}J_{+}|j,mrangle &=hbar {sqrt {(jm)(j+m+1)}}|j,m+1rangle =hbar {sqrt {j(j+1)-m(m+1)}}|j,m+1rangle ,J_{-}|j,mrangle &=hbar {sqrt {(j +m)(j-m+1)}}|j,m-1rangle =hbar {sqrt {j(j+1)-m(m-1)}}|j,m-1rangle .end{تراز شده}}}$