پتانسیل برداری مغناطیسی

آخرین مطالب

امکانات وب

پتانسیل برداری مغناطیسی

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

مقالاتی در مورد

الکترومغناطیس

برق
مغناطیس
اپتیک
تاریخ
محاسباتی
کتاب های درسی
پدیده ها

نشان می دهد

الکترواستاتیک

پنهان شدن

مغناطیس استاتیک

قانون آمپر
قانون بیوت-ساوارت
قانون مغناطیسی گاوس
دوقطبی مغناطیسی
میدان مغناطیسی
شار مغناطیسی
پتانسیل اسکالر مغناطیسی
پتانسیل بردار مغناطیسی
مغناطیس سازی
نفوذپذیری
قانون دست راست

نشان می دهد

الکترودینامیک

نشان می دهد

شبکه برق

نشان می دهد

مدار مغناطیسی

نشان می دهد

فرمول کوواریانس

نشان می دهد

دانشمندان

در الکترومغناطیس کلاسیک ، پتانسیل بردار مغناطیسی (که اغلب A نامیده می شود ) کمیت برداری است که به گونه ای تعریف می شود که پیچش آن برابر با میدان مغناطیسی باشد : ${textstyle nabla times mathbf {A} =mathbf {B} }$ . همراه با پتانسیل الکتریکی φ ، از پتانسیل بردار مغناطیسی می توان برای تعیین میدان الکتریکی E نیز استفاده کرد. بنابراین، بسیاری از معادلات الکترومغناطیس را می‌توان بر حسب میدان‌های E و B یا به طور معادل بر حسب پتانسیل‌های φ و A نوشت . در نظریه های پیشرفته تر مانند مکانیک کوانتومی ، بیشتر معادلات به جای میدان ها از پتانسیل استفاده می کنند.

پتانسیل برداری مغناطیسی برای اولین بار توسط فرانتس ارنست نویمان و ویلهلم ادوارد وبر به ترتیب در سال 1845 و 1846 معرفی شد. ویلیام تامسون نیز در سال 1847 پتانسیل برداری را همراه با فرمول مربوط به میدان مغناطیسی معرفی کرد. [1] [2]

قراردادهای واحد [ ویرایش ]

این مقاله از سیستم SI استفاده می کند.

در سیستم SI , واحدهای A V · s · m - 1 هستند و همان تکانه در واحد بار یا نیرو در واحد جریان هستند .

پتانسیل بردار مغناطیسی [ ویرایش ]

پتانسیل بردار مغناطیسی A یک میدان برداری است که همراه با پتانسیل الکتریکی φ (یک میدان اسکالر ) با معادلات: [3] تعریف می‌شود.

${displaystyle mathbf {B} =nabla times mathbf {A} ,,quad mathbf {E} =-nabla phi -{frac {partial mathbf {A} }{partial t}},,}$

که در آن B میدان مغناطیسی و E میدان الکتریکی است . در مگنتواستاتیک که توزیع بار متغیر با زمان وجود ندارد ، تنها معادله اول مورد نیاز است. (در زمینه الکترودینامیک ، از اصطلاحات پتانسیل برداری و پتانسیل اسکالر به ترتیب برای پتانسیل بردار مغناطیسی و پتانسیل الکتریکی استفاده می شود . در ریاضیات، پتانسیل برداری و پتانسیل اسکالر را می توان به ابعاد بالاتر تعمیم داد.)

اگر میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی مانند بالا از پتانسیل‌ها تعریف شوند، به طور خودکار دو معادله ماکسول را برآورده می‌کنند : قانون گاوس برای مغناطیس و قانون فارادی . به عنوان مثال، اگر A در همه جا پیوسته و به خوبی تعریف شده باشد، تضمین می شود که منجر به تک قطبی مغناطیسی نمی شود . (در تئوری ریاضی تک قطبی های مغناطیسی، A مجاز است در برخی مکان ها تعریف نشده یا دارای چند ارزش باشد؛ برای جزئیات بیشتر به تک قطبی مغناطیسی مراجعه کنید ).

با تعاریف بالا شروع کنید و به یاد داشته باشید که واگرایی کرل صفر و کرل گرادیان بردار صفر است:

${displaystyle {begin{aligned}nabla cdot mathbf {B} &=nabla cdot left(nabla times mathbf {A} right)=0 abla times mathbf { E} &=nabla times left(-nabla phi -{frac {partial mathbf {A} }{partial t}}right)=-{frac {partial }{partial t}}left(nabla times mathbf {A} right)=-{frac {partial mathbf {B} }{partial t}}.end{تراز شده}}}$

از طرف دیگر، وجود A و φ از این دو قانون با استفاده از قضیه هلمهولتز تضمین می شود . برای مثال، از آنجایی که میدان مغناطیسی بدون واگرایی است (قانون گاوس برای مغناطیس؛ به عنوان مثال، ∇ ⋅ B = 0 )، A همیشه وجود دارد که تعریف فوق را برآورده می کند.

پتانسیل برداری A هنگام مطالعه لاگرانژی در مکانیک کلاسیک و مکانیک کوانتومی استفاده می شود (به معادله شرودینگر برای ذرات باردار ، معادله دیراک ، اثر آهارونوف-بوم مراجعه کنید ).

در کوپلینگ حداقلی ، q A تکانه پتانسیل نامیده می شود و بخشی از تکانه متعارف است .

انتگرال خط A بر روی یک حلقه بسته، Γ، برابر است با شار مغناطیسی ، Φ B ، از طریق یک سطح، S ، که آن را در بر می گیرد :

${displaystyle oint _{Gamma }mathbf {A} ,cdot ,d{mathbf {Gamma } }=iint _{S}nabla times mathbf {A} ,cdot ,dmathbf {S} =Phi _{mathbf {B} }.}$

بنابراین، واحدهای A نیز معادل وبر بر متر هستند . معادله فوق در کوانتیزه شار حلقه های ابررسانا مفید است .

اگرچه میدان مغناطیسی B یک بردار لی است (که بردار محوری نیز نامیده می شود )، پتانسیل برداری A یک بردار قطبی است . [4] این بدان معنی است که اگر قانون دست راست برای محصولات متقاطع با قانون سمت چپ جایگزین شود، اما بدون تغییر هیچ معادله یا تعریف دیگری، آنگاه B علائم را تغییر می دهد، اما A تغییر نمی کند. این مثالی از یک قضیه کلی است: حلقه یک بردار قطبی یک شبه بردار است و بالعکس. [4]

انتخاب های اندازه گیری [ ویرایش ]

مقاله اصلی: تعمیر گیج

تعریف فوق پتانسیل بردار مغناطیسی را به طور منحصر به فرد تعریف نمی کند زیرا، طبق تعریف، می توانیم خودسرانه اجزای بدون پیچش را بدون تغییر میدان مغناطیسی مشاهده شده به پتانسیل مغناطیسی اضافه کنیم. بنابراین، درجه ای از آزادی در هنگام انتخاب A وجود دارد . این وضعیت به نام عدم تغییر سنج شناخته می شود .

معادلات ماکسول بر حسب پتانسیل برداری [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: فرمول پتانسیل میدان الکترومغناطیسی

استفاده از تعریف فوق از پتانسیل ها و اعمال آن بر روی دو معادله دیگر ماکسول (معادلاتی که به طور خودکار برآورده نمی شوند) منجر به یک معادله دیفرانسیل پیچیده می شود که می تواند با استفاده از گیج لورنز ساده شود که در آن A برای برآورده کردن: [3]

${displaystyle nabla cdot mathbf {A} +{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial varphi }{partial t}}=0}$

با استفاده از گیج لورنز، معادلات ماکسول را می توان به صورت فشرده بر حسب پتانسیل بردار مغناطیسی A و پتانسیل اسکالر الکتریکی φ نوشت : [3]

${displaystyle {begin{aligned}nabla ^{2}varphi -{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}varphi }{partial t^ {2}}}&=-{frac {rho }{epsilon _{0}}}[2.734ex]nabla ^{2}mathbf {A} -{frac {1}{c ^{2}}}{frac {partial ^{2}mathbf {A} }{partial t^{2}}}&=-mu _{0}mathbf {J} end{تراز شده }}}$

در سایر سنج ها ، معادلات متفاوت است. یک نماد متفاوت برای نوشتن همین معادلات (با استفاده از چهار بردار ) در زیر نشان داده شده است.

ذره باردار در یک میدان [ ویرایش ]

در میدانی با پتانسیل الکتریکی ${displaystyle phi }$ و پتانسیل مغناطیسی ${displaystyle mathbf {A} }$ ، لاگرانژ و هامیلتونی یک ذره با جرم ${displaystyle m}$ و شارژ کنید ${displaystyle q}$ هستند

${displaystyle {begin{aligned}L&={frac {1}{2}}mmathbf {v} ^{2}+qmathbf {v} cdot mathbf {A} -qphi H&={frac {1}{2m}}(qmathbf {A} -mathbf {p} )^{2}+qphi end{تراز شده}}}$

محاسبه پتانسیل ها از توزیع های منبع [ ویرایش ]

مقاله اصلی: پتانسیل عقب مانده

حل معادلات ماکسول در گیج لورنز (نگاه کنید به فاینمن [3] و جکسون [5] ) با شرط مرزی که هر دو پتانسیل با نزدیک شدن به بینهایت با سرعت کافی به صفر بروند، پتانسیل عقب مانده نامیده می شود که پتانسیل بردار مغناطیسی A است. ( r , t ) و پتانسیل اسکالر الکتریکی ϕ ( r , t ) به دلیل توزیع جریان چگالی جریان J ( r ', t ') ، چگالی بار ρ ( r ', t ') و حجم Ω، که در آن ρ و J حداقل گاهی و بعضی جاها غیر صفر هستند):

${displaystyle {begin{aligned}mathbf {A} left(mathbf {r},tright)&={frac {mu _{0}}{4pi }}int _{ Omega }{frac {mathbf {J} left(mathbf {r} ',t'right)}{left|mathbf {r} -mathbf {r} 'right|}} ,mathrm {d} ^{3}mathbf {r} 'phi left(mathbf {r} ,tright)&={frac {1}{4pi epsilon _{0 }}}int _{Omega }{frac {rho left(mathbf {r} ',t'right)}{left|mathbf {r} -mathbf {r} 'right |}},mathrm {d} ^{3}mathbf {r} 'end{تراز شده}}}$

که در آن فیلدهای بردار موقعیت r و زمان t از منابعی در موقعیت دور r " در زمان t قبلی " محاسبه می شوند. مکان r یک نقطه منبع در توزیع بار یا جریان است (همچنین متغیر ادغام، در حجم Ω). زمان قبلی t " زمان عقب افتاده نامیده می شود و به صورت محاسبه می شود

${displaystyle t'=t-{frac {left|mathbf {r} -mathbf {r} 'right|}{c}}.}$

چند مورد قابل توجه در مورد A و φ وجود دارد که به این ترتیب محاسبه می شود:

شرایط گیج لورنز : ${textstyle nabla cdot mathbf {A} +{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial phi }{partial t}}=0}$ راضی است.
موقعیت r ، نقطه ای که مقادیر ϕ و A در آن یافت می شود، تنها به عنوان بخشی از فاصله اسکالر از r ′ تا r وارد معادله می شود . جهت r به r وارد معادله نمی شود. تنها چیزی که در مورد یک نقطه منبع اهمیت دارد این است که چقدر دور است.
انتگرال از زمان عقب افتاده t استفاده می کند . این به سادگی نشان دهنده این واقعیت است که تغییرات در منابع با سرعت نور منتشر می شود. از این رو، چگالی بار و جریان مؤثر بر پتانسیل الکتریکی و مغناطیسی در r و t ، از محل دور r « نیز باید در زمان قبلی t باشد .
معادله A یک معادله برداری است. در مختصات دکارتی، معادله به سه معادله اسکالر تقسیم می‌شود: [6] ${displaystyle {begin{aligned}A_{x}left(mathbf {r},tright)&={frac {mu _{0}}{4pi }}int _{ امگا }{frac {J_{x}left(mathbf {r} ',t'right)}{left|mathbf {r} -mathbf {r} 'right|}}, mathrm {d} ^{3}mathbf {r} '[1ex]A_{y}left(mathbf {r} ,tright)&={frac {mu _{0}}{ 4pi }}int _{Omega }{frac {J_{y}left(mathbf {r} ',t'right)}{left|mathbf {r} -mathbf {r } 'right|}},mathrm {d} ^{3}mathbf {r} '[1ex]A_{z}left(mathbf {r} ,tright)&={ frac {mu _{0}}{4pi }}int _{Omega }{frac {J_{z}left(mathbf {r} ',t'right)}{left| mathbf {r} -mathbf {r} 'right|}},mathrm {d} ^{3}mathbf {r} 'end{تراز شده}}}$
در این شکل به راحتی می توان دریافت که جزء A در یک جهت معین فقط به اجزای J که در یک جهت هستند بستگی دارد. اگر جریان در یک سیم بلند مستقیم حمل شود، A در همان جهت سیم قرار می گیرد.

در گیج های دیگر، فرمول A و φ متفاوت است. به عنوان مثال، برای احتمال دیگری به گیج کولمب مراجعه کنید.

تصویری از فیلد A [ ویرایش ]

نشان دهنده پتانسیل بردار مغناطیسی گیج کولن A ، چگالی شار مغناطیسی B و میدان های چگالی جریان J در اطراف یک سلف حلقوی با مقطع دایره ای است. خطوط ضخیم تر نشان دهنده خطوط میدانی با شدت متوسط بالاتر است. دایره‌ها در مقطع هسته نشان‌دهنده میدان B است که از تصویر بیرون می‌آید، به علاوه علامت‌ها نشان‌دهنده میدان B است که به تصویر می‌رود. ∇ ⋅ A = 0 فرض شده است.

برای ترسیم میدان A در اطراف یک شیر برقی نازک طولانی ، فاینمن [7] را ببینید .

از آنجا که

${displaystyle nabla times mathbf {B} =mu _{0}mathbf {J} }$ با فرض شرایط شبه استاتیک، یعنی

${displaystyle {frac {partial E}{partial t}}to 0,quad nabla times mathbf {A} =mathbf {B} ,,}$

خطوط و خطوط A به B مربوط می شود مانند خطوط و خطوط خطوط B مربوط به J. بنابراین، تصویری از میدان A در اطراف یک حلقه شار B (همانطور که در یک سلف حلقوی ایجاد می شود ) از نظر کیفی با میدان B در اطراف یک حلقه جریان یکسان است .

شکل سمت راست تصویر یک هنرمند از میدان A است . خطوط ضخیم تر مسیرهایی با شدت متوسط بالاتر را نشان می دهد (مسیرهای کوتاه تر شدت بیشتری دارند به طوری که انتگرال مسیر یکسان است). خطوط ترسیم شده اند تا (از لحاظ زیبایی شناختی) نمای کلی میدان A را به شما منتقل کنند .

رسم به طور ضمنی ∇ ⋅ A = 0 را در نظر می گیرد که تحت یکی از مفروضات زیر درست است:

گیج کولن فرض شده است
گیج لورنز در نظر گرفته شده است و هیچ توزیع بار وجود ندارد، ρ = 0
گیج لورنز و فرکانس صفر در نظر گرفته شده است
گیج لورنز فرض شده و فرکانس غیر صفر است اما به اندازه کافی کم است که بتوان از آن چشم پوشی کرد ${textstyle {frac {1}{c}}{frac {partial phi }{partial t}}}$ فرض بر این است

چهار پتانسیل الکترومغناطیسی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: چهار پتانسیل الکترومغناطیسی

در زمینه نسبیت خاص ، پیوستن پتانسیل بردار مغناطیسی به همراه پتانسیل الکتریکی (اسکالری) به پتانسیل الکترومغناطیسی که چهار پتانسیل نیز نامیده می شود، طبیعی است .

یک انگیزه برای انجام این کار این است که چهار پتانسیل یک چهار بردار ریاضی است . بنابراین، با استفاده از قوانین تبدیل چهار بردار استاندارد، اگر پتانسیل های الکتریکی و مغناطیسی در یک قاب مرجع اینرسی شناخته شوند، می توان آنها را به سادگی در هر قاب مرجع اینرسی دیگری محاسبه کرد.

یکی دیگر از انگیزه های مرتبط این است که محتوای الکترومغناطیس کلاسیک را می توان با استفاده از پتانسیل چهار الکترومغناطیسی به شکل مختصر و راحت نوشت، به ویژه هنگامی که از گیج لورنز استفاده می شود. به طور خاص، در نماد نمایه انتزاعی ، مجموعه معادلات ماکسول (در گیج لورنز) ممکن است (به واحدهای گاوسی ) به صورت زیر نوشته شود:

${displaystyle {begin{aligned}partial ^{mu }A_{mu }&=0Box A_{mu }&={frac {4pi }{c}}J_{ mu }end{تراز شده}}}$

که در آن □ d'Alembertian و J چهار جریان است . معادله اول شرط سنج لورنز است در حالی که معادله دوم شامل معادلات ماکسول است. چهار پتانسیل همچنین نقش بسیار مهمی در الکترودینامیک کوانتومی دارد .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

پتانسیل اسکالر مغناطیسی
اثر آهارونوف-بوم
میدان گلوئون

یادداشت ها [ ویرایش ]

↑ نویمان، فرانتس ارنست (۱ ژانویه ۱۸۴۶). "Allgemeine Gesetze Der Inducirten Elektrischen Ströme (قوانین عمومی جریان های الکتریکی القایی)" . Annalen der Physik . 143 (11): 31-34. doi : 10.1002/andp.18461430103 .
^ یانگ، چن نینگ (2014). "منشا مفهومی معادلات ماکسول و نظریه سنج". فیزیک امروز 67 (11): 45-51. Bibcode : 2014PhT....67k..45Y . doi : 10.1063/PT.3.2585 .
^ پرش به بالا:a b c d Feynman (1964 ، ص 15)
^ پرش به بالا:a b تنسورها و شبه تانسورها، یادداشت های سخنرانی توسط ریچارد فیتزپاتریک
^ جکسون (1999 ، ص 246)
↑ کراوس (1984 ، ص 189)
^ فاینمن (1964 ، ص 11، قسمت 15 )

منابع [ ویرایش ]

دافین، WJ (1990). الکتریسیته و مغناطیس، چاپ چهارم . مک گراو هیل.
فاینمن، ریچارد پی. لیتون، رابرت بی؛ سندز، متیو (1964). سخنرانی های فاینمن در مورد فیزیک جلد 2 . ادیسون-وسلی. شابک 0-201-02117-X.
جکسون، جان دیوید (1999). الکترودینامیک کلاسیک (ویرایش سوم). جان وایلی و پسران شابک 0-471-30932-X.
کراوس، جان دی (1984). الکترومغناطیسی (ویرایش سوم). مک گراو هیل. شابک 0-07-035423-5.

https://en.wikipedia.org/wiki/Magnetic_vector_potential

ریاضیات...

ما را در سایت ریاضیات دنبال می کنید

برچسب : نویسنده : 9math1342d بازدید : 9 تاريخ : سه شنبه 29 خرداد 1403 ساعت: 16:00

پتانسیل برداری مغناطیسی

آخرین مطالب

امکانات وب