محاسبات ضرب خارجی

بردارهای پایه استاندارد ( i , j , k که با e 1 , e 2 , e 3 نیز مشخص می شود ) و مولفه های برداری a ( a x , a y , a z , a 1 , a 2 , a 3 نیز نشان داده می شود )

اگر ( i ، j ، k ) یک مبنای متعارف مثبت گرا باشد، بردارهای پایه برابری های زیر را برآورده می کنند

${displaystyle {begin{alignedat}{2}mathbf {color {blue}{i}} &times mathbf {color {red}{j}} &&=mathbf {color {سبز} k}} mathbf {color {red}{j}} &times mathbf {color {سبز}{k}} &&=mathbf {color {آبی}{i}} mathbf {color {green}{k}} &times mathbf {color {blue}{i}} &&=mathbf {color {red}{j}} end{alignedat}}}$

که با ضد جابجایی حاصلضرب 1 نشان می دهد که

${displaystyle {begin{alignedat}{2}mathbf {color {red}{j}} &times mathbf {color {blue}{i}} &&=-mathbf {color {سبز} {k}} mathbf {color {سبز}{k}} &times mathbf {color {red}{j}} &&=-mathbf {color {آبی}{i}} mathbf {color {blue}{i}} &times mathbf {color {سبز}{k}} &&=-mathbf {color {red}{j}} end{alignedat}}}$

ضد جابجایی ضرب خارجی (و فقدان آشکار استقلال خطی) نیز دلالت بر آن دارد

${displaystyle mathbf {color {blue}{i}} times mathbf {color {blue}{i}} =mathbf {color {red}{j}} times mathbf {color { قرمز}{j}} =mathbf {color {سبز}{k}} times mathbf {color {سبز}{k}} =mathbf {0} }$ ( بردار صفر ).

این برابری ها، همراه با توزیع و خطی بودن حاصل ضرب خارجی (اگرچه هیچ کدام به راحتی از تعریف ارائه شده در بالا پیروی نمی کنند)، برای تعیین ضرب خارجی هر دو بردار a و b کافی است . هر بردار را می توان به عنوان مجموع سه جزء متعامد موازی با بردارهای پایه استاندارد تعریف کرد:

${displaystyle {begin{alignedat}{3}mathbf {a} &=a_{1}mathbf {color {blue}{i}} &&+a_{2}mathbf {color {red}{ j}} &&+a_{3}mathbf {color {سبز}{k}} mathbf {b} &=b_{1}mathbf {color {آبی}{i}} &&+b_{ 2}mathbf {color {red}{j}} &&+b_{3}mathbf {color {green}{k}} end{alignedat}}}$

ضرب خارجی آنها a × b را می توان با استفاده از توزیع گسترش داد:

${displaystyle {begin{aligned}mathbf {a} times mathbf {b} ={}&(a_{1}mathbf {color {blue}{i}} +a_{2}mathbf { color {red}{j}} +a_{3}mathbf {color {سبز}{k}} )times (b_{1}mathbf {color {آبی}{i}} +b_{2 }mathbf {color {red}{j}} +b_{3}mathbf {color {سبز}{k}} )={}&a_{1}b_{1}(mathbf {color {blue}{i}} times mathbf {color {blue}{i}} )+a_{1}b_{2}(mathbf {color {blue}{i}} times mathbf { color {red}{j}} )+a_{1}b_{3}(mathbf {color {blue}{i}} times mathbf {color {سبز}{k}} )+{} &a_{2}b_{1}(mathbf {color {red}{j}} times mathbf {color {blue}{i}} )+a_{2}b_{2}(mathbf { color {red}{j}} times mathbf {color {red}{j}} )+a_{2}b_{3}(mathbf {color {red}{j}} times mathbf {color {green}{k}} )+{}&a_{3}b_{1}(mathbf {color {green}{k}} times mathbf {color {blue}{i} } )+a_{3}b_{2}(mathbf {color {سبز}{k}} times mathbf {color {red}{j}} )+a_{3}b_{3}( mathbf {color {green}{k}} times mathbf {color {green}{k}} )end{تراز شده}}}$

این را می توان به عنوان تجزیه a × b به مجموع نه ضرب خارجی ساده تر که شامل بردارهای هم تراز با i ، j یا k می باشد، تفسیر کرد . هر یک از این نه ضرب خارجی بر روی دو بردار عمل می کند که به راحتی قابل کنترل هستند زیرا موازی یا متعامد با یکدیگر هستند. از این تجزیه با استفاده از برابری های فوق و جمع آوری عبارت های مشابه به دست می آید:

${displaystyle {begin{aligned}mathbf {a} times mathbf {b} ={}&quad a_{1}b_{1}mathbf {0} +a_{1}b_{2} mathbf {color {سبز}{k}} -a_{1}b_{3}mathbf {color {red}{j}} &-a_{2}b_{1}mathbf {color {green}{k}} +a_{2}b_{2}mathbf {0} +a_{2}b_{3}mathbf {color {آبی}{i}} &+a_{3} b_{1}mathbf {color {red}{j}} -a_{3}b_{2}mathbf {color {blue}{i}} +a_{3}b_{3}mathbf {0} ={}&(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})mathbf {color {blue}{i}} +(a_{3}b_{1} -a_{1}b_{3})mathbf {color {قرمز}{j}} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})mathbf {color {سبز} {k}} end{تراز شده}}}$

به این معنی که سه جزء اسکالر بردار حاصل s = s 1 i + s 2 j + s 3 k = a × b هستند

${displaystyle {begin{aligned}s_{1}&=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}s_{2}&=a_{3}b_{1}-a_ {1}b_{3}s_{3}&=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}end{aligned}}}$

با استفاده از بردارهای ستونی ، می توانیم همان نتیجه را به صورت زیر نمایش دهیم:

${displaystyle {begin{bmatrix}s_{1}s_{2}s_{3}end{bmatrix}}={begin{bmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3 }b_{2}a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}end{bmatrix}}}$

برچسب: نویسنده: هستی حیدریان تاريخ: دوشنبه 24 ارديبهشت 1403 ساعت: 13:02

درباره سایت

آخرین مطالب

امکانات وب

محاسبات ضرب خارجی

صفحه بندی

آرشیو مطالب

پيوندهای روزانه

لینک دوستان

خبرنامه