برهانِ خلف و فرجامِ تساویِ ایده آل ها

منزلِ دوم

از ساختِ ایده‌آلِ فرعی تا شکستِ فرضِ خلف و اثباتِ نوتری‌بودن

۱. ساختِ ایده‌آلِ فرعی: ایده‌آلی نوین از چندجمله‌ای‌هایِ منتخبِ خود در نظر می‌گیریم. به روشنی مشخص است که این ایده‌آلِ به‌روز، زیرمجموعه‌ای از ایده‌آلِ اصلیِ ماست. مقصودِ نهایی آن است که ثابت کنیم این دو جامعاً با یکدیگر برابرند.

۲. آغازِ برهانِ خلف: برایِ اثباتِ تساوی، فرضِ خلف می‌کنیم؛ یعنی فرض نماییم که ایده‌آلِ به‌روز، کوچک‌تر از ایده‌آلِ اصلی باشد. در این صورت، حتماً چندجمله‌ای‌ای در ایده‌آلِ اصلی وجود دارد که در ایده‌آلِ نوین حضور ندارد.

۳. گزینشِ کمترین درجه: از میانِ تمامِ چندجمله‌ای‌هایی که بیرون از ایده‌آلِ نوین مانده‌اند، آن یکی را برمی‌گزینیم که کمترین درجه‌یِ ممکن را داشته باشد.

۴. فرآیندِ فرسایشِ درجه: با بهره‌گیری از مولدهایِ ضریبِ پیشرو و کم کردنِ ترکیبِ خطیِ مناسبِ آن‌ها از چندجمله‌ایِ برگزیده، می‌توانیم ضریبِ پیشرویِ آن را خنثی کنیم. با این کار، چندجمله‌ایِ نوینی حاصل می‌شود که درجه‌یِ آن از مقدارِ قبلی کمتر است.

۵. رسیدن به تناقض و ثبوتِ حکم: از آن‌جا که چندجمله‌ایِ به‌روز درجه‌یِ کمتری دارد، دیگر نمی‌تواند مشخصهِ «کمترین درجه در میانِ خارج‌شدگان» را نقض کند و ناچاراً باید درونِ ایده‌آلِ نوین قرار گیرد. این امر تناقضی آشکار با فرضِ اولیه پدید می‌آورد؛ پس فرضِ خلف باطل شده و تساویِ دو ایده‌آل اثبات می‌گردد.

فرجامِ سخن:

با اثباتِ این که هر ایده‌آل در حلقه‌یِ چندجمله‌ای‌هایِ یک‌متغیره متناهی‌تولید است، و سپس با بهره‌گیری از استقرا بر روی تعدادِ متغیرها، حکمِ نهاییِ قضیه‌یِ پایه‌یِ هیلبرت برای هر تعداد متغیر مستحکم می‌گردد.

خاتمهِ روایتِ برهانِ هیلبرت | هم‌آهنگ و پاکیزه برای انتشار در وبلاگ