پتانسیل برداری

آخرین مطالب

امکانات وب

پتانسیل برداری

این مقاله در مورد مفهوم کلی در نظریه ریاضی میدان های برداری است. برای پتانسیل برداری در الکترومغناطیس، پتانسیل بردار مغناطیسی را ببینید . برای پتانسیل برداری در مکانیک سیالات، تابع جریان را ببینید .

در حساب بردار ، پتانسیل برداری یک میدان برداری است که حلقه آن یک میدان برداری معین است. این مشابه یک پتانسیل اسکالر است ، که یک میدان اسکالر است که گرادیان آن یک میدان برداری معین است.

به طور رسمی، یک فیلد برداری ${displaystyle mathbf {v} }$ داده می شود، یک پتانسیل برداری a است ${displaystyle C^{2}}$ میدان برداری ${displaystyle mathbf {A} }$ به طوری که

${displaystyle mathbf {v} =nabla times mathbf {A}.}$

پیامد [ ویرایش ]

اگر یک فیلد برداری ${displaystyle mathbf {v} }$ یک پتانسیل برداری را می پذیرد ${displaystyle mathbf {A} }$ ، سپس از برابری

${displaystyle nabla cdot (nabla times mathbf {A} )=0}$ ( واگرایی حلقه صفر است) یک بدست می آید

${displaystyle nabla cdot mathbf {v} =nabla cdot (nabla times mathbf {A} )=0،}$ که دلالت بر آن دارد ${displaystyle mathbf {v} }$ باید یک میدان برداری سلونوئیدی باشد .

قضیه [ ویرایش ]

اجازه دهید

${displaystyle mathbf {v} :mathbb {R} ^{3}to mathbb {R} ^{3}}$ یک میدان برداری سلونوئیدی باشد که دو بار به طور پیوسته مشتق پذیر است . فرض کن که ${displaystyle mathbf {v} (mathbf {x} )}$ حداقل به همان سرعت کاهش می یابد ${displaystyle 1/|mathbf {x} |}$ برای ${displaystyle |mathbf {x} |to infty }$ . تعريف كردن

${displaystyle mathbf {A} (mathbf {x} )={frac {1}{4pi }}int _{mathbb {R} ^{3}}{frac {nabla _{ y}times mathbf {v} (mathbf {y} )}{left|mathbf {x} -mathbf {y} right|}},d^{3}mathbf {y } }$ جایی که ${displaystyle nabla _{y}times }$ نشان دهنده کرل با توجه به متغیر ${displaystyle mathbf {y} }$ است. سپس ${displaystyle mathbf {A} }$ یک پتانسیل برداری برای ${displaystyle mathbf {v} }$ است. به این معنا که،

${displaystyle nabla times mathbf {A} =mathbf {v}.}$

دامنه انتگرال را می توان به هر منطقه ای ${displaystyle mathbf {Omega } }$ که به سادگی متصل است محدود کرد. به این معنا که، ${displaystyle mathbf {A'} }$ همچنین یک پتانسیل برداری از است ${displaystyle mathbf {v} }$ ، جایی که

${displaystyle mathbf {A'} (mathbf {x} )={frac {1}{4pi }}int _{Omega }{frac {nabla _{y}times mathbf {v} (mathbf {y} )}{left|mathbf {x} -mathbf {y} right|}},d^{3}mathbf {y} .}$

تعمیم این قضیه، قضیه تجزیه هلمهولتز است ، که بیان می کند که هر میدان برداری را می توان به صورت مجموع یک میدان برداری سلونوئیدی و یک میدان برداری غیر چرخشی تجزیه کرد .

با قیاس با قانون بیو ساوار ، ${displaystyle mathbf {A''} (mathbf {x} )}$ همچنین به عنوان یک پتانسیل برداری برای ${displaystyle mathbf {v} }$ ، جایی که

${displaystyle mathbf {A''} (mathbf {x} )=int _{Omega }{frac {mathbf {v} (mathbf {y})times (mathbf {x} - mathbf {y} )}{4pi |mathbf {x} -mathbf {y} |^{3}}}d^{3}mathbf {y} }$ .

جایگزین کردن ${displaystyle mathbf {j} }$ ( چگالی جریان ) برای ${displaystyle mathbf {v} }$ و ${displaystyle mathbf {H} }$ ( H-field ) برای ${displaystyle mathbf {A} }$ ، قانون بیوساوار را به دست می دهد.

اجازه دهید ${displaystyle mathbf {Omega } }$ یک دامنه ستاره محور در نقطه باشد ${displaystyle mathbf {p} }$ ، جایی که ${displaystyle mathbf {p} in mathbb {R} ^{3}}$ . سپس استفاده از لم پوانکاره برای اشکال دیفرانسیل در زمینه های برداری ${displaystyle mathbf {A'''} (mathbf {x} )}$ همچنین یک پتانسیل برداری برای است ${displaystyle mathbf {v} }$ ، جایی که

${displaystyle mathbf {A'''} (mathbf {x} )=int _{0}^{1}s((mathbf {x} -mathbf {p} )times (mathbf { v} (smathbf {x} +(1-s)mathbf {p} )) ds}$

غیر منحصر به فرد بودن [ ویرایش ]

پتانسیل برداری پذیرفته شده توسط یک میدان سلونوئیدی منحصر به فرد نیست. اگر ${displaystyle mathbf {A} }$ یک پتانسیل برداری برای است ${displaystyle mathbf {v} }$ ، پس همینطور است

${displaystyle mathbf {A} +nabla f,}$ جایی که ${displaystyle f}$ هر تابع اسکالر قابل تمایز پیوسته است. این از این واقعیت ناشی می شود که پیچش گرادیان صفر است.

این غیر منحصر به فرد بودن منجر به درجه ای از آزادی در فرمول بندی الکترودینامیک یا آزادی گیج می شود و نیاز به انتخاب گیج دارد .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

قضیه اساسی حساب برداری
پتانسیل بردار مغناطیسی
میدان برداری شیر برقی
فرم های دیفرانسیل بسته و دقیق

منابع [ ویرایش ]

مبانی مهندسی الکترومغناطیسی نوشته دیوید کی چنگ، ادیسون-وسلی، 1993.

ریاضیات...

ما را در سایت ریاضیات دنبال می کنید

برچسب : نویسنده : 9math1342d بازدید : 8 تاريخ : سه شنبه 29 خرداد 1403 ساعت: 16:00

پتانسیل برداری

آخرین مطالب

امکانات وب