خرید بک لینک

درباره سایت

ریاضیات

آخرین مطالب

امکانات وب

1-ماتریس های گاما

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در فیزیک ریاضی ، 1 های 1 ، {displaystyle left{gamma ^{0},gamma ^{1},gamma ^{2},gamma ^{3}right} ,}ماتریسهای دیراک نیز نامیده میشوند ، مجموعهای از ماتریسهای معمولی با روابط ضد جابجایی خاص که تضمین میکنند نمایش ماتریسی از جبر کلیفورد را ایجاد میکنند . .{displaystyle mathrm {Cl} _{1,3}(mathbb {R})~.}همچنین می توان ماتریس های گاما با ابعاد بالاتر را تعریف کرد . هنگامی که به عنوان ماتریس های عملکرد مجموعه ای از بردارهای پایه متعامد برای بردارهای متناقض در فضای مینکوفسکی تفسیر می شود ، بردارهای ستونی که ماتریس ها بر روی آنها عمل می کنند به فضایی از اسپینورها تبدیل می شوند که جبر فضازمان کلیفورد روی آن عمل می کند. این به نوبه خود امکان نمایش چرخش های فضایی بینهایت کوچک و بوست های لورنتس را فراهم می کند . اسپینورها محاسبات فضازمان را به طور کلی تسهیل می کنند و به طور خاص برای معادله دیراک برای اسپین نسبیتی اساسی هستند. 1 2{displaystyle {tfrac { 1 }{2}}}ذرات. ماتریس های گاما توسط پل دیراک در سال 1928 معرفی شدند . [1] [2]

در نمایش دیراک ، چهار ماتریس گامای متضاد هستند

{displaystyle {begin{aligned}gamma ^{0}&={begin{pmatrix}1&0&0&0x00&1&0&0x00&0&-1&0x00&0&0&-1end{pmatrix}}،&gamma ^{1 }&={begin{pmatrix}0&0&0&1x00&0&1&0x00&-1&0&0-1&0&0&0end{pmatrix}}،\گاما ^{2}&={begin{pmatrix}0&0&0&-i x00&0&i&0x00&i&0&0-i&0&0&0end{pmatrix}}،&گاما ^{3}&={begin{pmatrix}0&0&1&0x00&0&0&-1-1&0&0&0x00&1&0&0} }~.end{تراز شده}}}

{displaystyle gamma ^{0}}ماتریس هرمیتی مانند زمان است . سه مورد دیگر ماتریس های فضایی و ضد هرمیتی هستند . فشرده تر، ،{displaystyle gamma ^{0}=sigma ^{3}otimes I_{2} ,}و {displaystyle gamma ^{j}=isigma ^{2}otimes sigma ^{j} ,}جایی که ⊗ {displaystyle otimes }نشان دهنده ضرب کرونکر و {displaystyle sigma ^{j} }(برای j = 1، 2، 3 ) ماتریس های پائولی را نشان دهید .

علاوه بر این، برای بحث در مورد نظریه گروه، ماتریس اتحاد ( I ) گاهی با چهار ماتریس گاما گنجانده می شود، و یک ماتریس کمکی، "پنجم" بدون ردیابی وجود دارد که در ارتباط با ماتریس های گامای معمولی استفاده می شود.

{displaystyle {begin{aligned} I_{4}={begin{pmatrix}1&0&0&0x00&1&0&0x00&0&1&0x00&0&0&1end{pmatrix}} ,qquad gamma ^{5}equiv i gamma ^{0}gamma ^{1}gamma ^{2}gamma ^{3}={begin{pmatrix}0&0&1&0x00&0&0&11&0&0&0x00&1&0&0end{pmatrix}}~. پایان{تراز شده}}}

"ماتریس پنجم" {displaystyle gamma ^{5} }عضو مناسبی از مجموعه اصلی چهار نفره نیست. از آن برای جداسازی نمایش های کایرال اسمی چپ و راست استفاده می شود .

ماتریسهای گاما دارای ساختار گروهی هستند، گروه گاما ، که با تمام نمایشهای ماتریسی گروه، در هر بعد، برای هر امضای متریک مشترک است. برای مثال، ماتریسهای پائولی 2×2 مجموعهای از ماتریسهای «گاما» در فضای سهبعدی با متریک امضای اقلیدسی هستند (3، 0). در پنج بعد فضا-زمان ، چهار گامای بالا، همراه با پنجمین ماتریس گاما که در زیر ارائه می شود جبر کلیفورد را ایجاد می کنند.

ساختار ریاضی [ ویرایش ]

ویژگی تعیین کننده برای ماتریس های گاما برای ایجاد جبر کلیفورد ، رابطه ضد کموتاسیون است.

{displaystyle left{gamma ^{mu },gamma ^{nu }right}=gamma ^{mu }gamma ^{nu }+gamma ^{nu } گاما ^{mu }=2eta ^{mu nu }I_{4} ,}

جایی که براکت های فرفری {displaystyle {,} }نشان دهنده ضد جابجاگر ، {displaystyle eta _{mu nu } }متریک مینکوفسکی با امضای (+ − −−) است و{displaystyle I_{4}}ماتریس اتحاد 4×4 است .

این ویژگی دترمینان، بنیادیتر از مقادیر عددی مورد استفاده در نمایش خاص ماتریسهای گاما است. ماتریس های گامای کوواریانت توسط تعریف می شوند

{displaystyle gamma _{mu }=eta _{mu nu }gamma ^{nu }=left{gamma ^{0},-gamma ^{1},- گاما ^{2}،-گاما ^{3}right} ,}

و نماد انیشتین فرض می شود.

توجه داشته باشید که قرارداد علامت دیگر برای متریک، (- + + +) نیاز به تغییر در معادله تعریف دارد:

{displaystyle left{gamma ^{mu },gamma ^{nu }right}=-2eta ^{mu nu }I_{4} }

یا ضرب همه ماتریس های گاما درمن{displaystyle i}، که البته خواص هرمیتیتی آنها را تغییر می دهد که در زیر توضیح داده شده است. تحت قرارداد علامت جایگزین برای متریک، ماتریسهای گامای کوواریانس با تعریف میشوند

{displaystyle gamma _{mu }=eta _{mu nu }gamma ^{nu }=left{-gamma ^{0},+gamma ^{1},+ گاما ^{2}،+گاما ^{3}راست}~.}

ساختار فیزیکی [ ویرایش ]

جبر کلیفورد {displaystyle mathrm {Cl} _{1,3}(mathbb {R}) }در طول فضازمان، V را می توان به عنوان مجموعه ای از عملگرهای خطی حقیقی از V به خودش، End( V ) یا به طور کلی تر، زمانی که پیچیده شده است در نظر گرفت. {displaystyle mathrm {Cl} _{1,3}(mathbb {R})_{mathbb {C} } ,}به عنوان مجموعه ای از عملگرهای خطی از هر فضای برداری پیچیده چهار بعدی به خودش. ساده تر، با توجه به پایه ای برای V ، {displaystyle mathrm {Cl} _{1,3}(mathbb {R})_{mathbb {C} } }فقط مجموعه ای از همه ماتریس های پیچیده 4×4 است ، اما دارای ساختار جبری کلیفورد است. فرض بر این است که فضازمان دارای متریک مینکوفسکی ημν است . فضایی از بیسپینورها، Ux ، نیز در هر نقطه از فضازمان در نظر گرفته میشود که به نمایش بیسپینور گروه لورنتس مجهز شده است . میدانهای دواسپینور Ψ معادلات دیراک، که در هر نقطه x در فضازمان ارزیابی میشوند، عناصر U x هستند (به زیر مراجعه کنید). جبر کلیفورد بر روی U x نیز عمل می کند (با ضرب ماتریس با بردارهای ستون Ψ( x ) در U x برای همه x ). این دیدگاه اولیه از عناصر خواهد بود {displaystyle mathrm {Cl} _{1,3}(mathbb {R})_{mathbb {C} } }در این بخش.

برای هر تبدیل خطی S از Ux ، یک تبدیل End( Ux ) وجود دارد که توسط SES -1 برای E در .{displaystyle mathrm {Cl} _{1,3}(mathbb {R} )_{mathbb {C} }approx operatorname {End} (U_{x})~.}اگر S متعلق به نمایشی از گروه لورنتس باشد، عمل القایی E ↦ SES -1 نیز به نمایشی از گروه لورنتس تعلق خواهد داشت، به نظریه بازنمایی گروه لورنتس مراجعه کنید .

اگر S(Λ) نمایش دواسپینور عمل کننده بر روی Ux یک تبدیل دلخواه لورنتس Λ در نمایش استاندارد (4 بردار) که بر روی V عمل می کند ، یک عملگر مربوطه وجود دارد . {displaystyle operatorname {End} left(U_{x}right)=mathrm {Cl} _{1,3}left(mathbb {R} right)_{mathbb {C} } }با معادله داده می شود:

{displaystyle gamma ^{mu } mapsto S(Lambda ) gamma ^{mu } {S(Lambda )}^{-1}={left(Lambda ^{ -1}right)^{mu }}_{nu } gamma ^{nu }={Lambda _{nu }}^{mu } gamma ^{nu } , }

نشان می دهد که کمیت γ μ را می توان به عنوان مبنای فضای نمایشی از نمایش 4 برداری از گروه لورنتس که در داخل جبر کلیفورد نشسته است، مشاهده کرد . آخرین اتحاد را می توان به عنوان رابطه تعیین کننده برای ماتریس های متعلق به یک گروه متعامد نامعین تشخیص داد که {displaystyle eta Lambda ^{textsf {T}}eta =Lambda ^{-1} ,}با نماد نمایه شده نوشته شده است. این بدان معنی است که مقادیر فرم

{displaystyle a!!!/equiv a_{mu }gamma ^{mu }}

در دستکاری باید به عنوان 4 بردار در نظر گرفته شود. همچنین به این معنی است که شاخص ها را می توان در γ با استفاده از متریک ημν مانند هر بردار 4، افزایش و کاهش داد. به این نماد، علامت اسلش فاینمن می گویند . عملیات اسلش مبنای e μ V یا هر فضای برداری 4 بعدی را به بردارهای پایه γ μ نگاشت می کند . قانون تبدیل برای مقادیر بریده شده ساده است

پ{displaystyle {a!!!/}^{mu }mapsto {Lambda ^{mu }}_{nu }{a!!!/}^{nu }~ .}

باید توجه داشت که این با قاعده تبدیل برای γμ متفاوت است ، که اکنون به عنوان بردارهای پایه (ثابت) در نظر گرفته می شوند. {displaystyle left(gamma ^{mu }right)_{mu =0}^{3}=left(gamma ^{0},gamma ^{1},gamma ^{2 },gamma ^{3}right)}به عنوان یک بردار 4 که گاهی اوقات در ادبیات یافت می شود، بنابراین یک اشتباه جزئی است. تبدیل دوم مربوط به تبدیل فعال اجزای یک کمیت بریده شده بر حسب پایه γ μ و اولی به تبدیل غیرفعال خود پایه γ μ است.

المانها {displaystyle sigma ^{mu nu }=gamma ^{mu }gamma ^{nu }-gamma ^{nu }gamma ^{mu } }نمایشی از جبر لی از گروه لورنتس را تشکیل می دهند. این یک نمایش چرخشی است. هنگامی که این ماتریسها و ترکیبهای خطی آنها بهشدت نشان داده میشوند، نمایشهای بیسپینور گروه لورنتس هستند، به عنوان مثال، S (Λ) بالا به این شکل هستند. فضای 6 بعدی دهانه σ μν فضای نمایش یک نمایش تانسور از گروه لورنتس است. برای عناصر مرتبه بالاتر جبر کلیفورد به طور کلی و قوانین تبدیل آنها، به مقاله جبر دیراک مراجعه کنید . نمایش اسپین گروه لورنتس در گروه اسپین Spin(1,3) (برای اسپینرهای حقیقی و بدون شارژ) و در گروه اسپین پیچیده Spin(1,3) برای اسپینرهای باردار (Dirac) کدگذاری می شود.

برچسب: نویسنده: هستی حیدریان تاريخ: سه شنبه 22 خرداد 1403 ساعت: 15:54

صفحه بندی

آرشیو مطالب

پيوندهای روزانه

لینک دوستان

خبرنامه