ریاضیات

درباره سایت

آخرین مطالب

امکانات وب

2-ماتریس های گاما

بیان معادله دیراک [ ویرایش ]

مقاله اصلی: معادله دیراک

در واحدهای طبیعی ، معادله دیراک ممکن است به صورت نوشته شود

${displaystyle left(igamma ^{mu }partial _{mu }-mright)psi =0 }$

جایی که ${displaystyle psi }$ یک اسپینور دیراک است.

با تغییر به نماد فاینمن ، معادله دیراک است

${displaystyle (i{partial !!!/}-m)psi =0~.}$

پنجمین 1 "1"، γ 5 [ ویرایش ]

مفید است که حاصل ضرب چهار ماتریس گاما را به صورت تعریف کنیم ${displaystyle gamma ^{5}=sigma _{1}otimes I}$ ، به طوری که

${displaystyle gamma ^{5}equiv igamma ^{0}gamma ^{1}gamma ^{2}gamma ^{3}={begin{pmatrix}0&0&1&0x00&0&0&1 1&0&0&0x00&1&0&0end{pmatrix}}qquad }$ (در اساس دیراک).

با اينكه ${displaystyle gamma ^{5} }$ از حرف گاما استفاده می کند، این یکی از ماتریس های گاما نیست ${displaystyle mathrm {Cl} _{1,3}(mathbb {R})~.}$ شاخص شماره 5 یادگاری از نمادهای قدیمی است: ${displaystyle gamma ^{0} }$ قبلاً به نام 4 ${displaystyle gamma ^{4}}$ ".

${displaystyle gamma ^{5} }$ یک شکل جایگزین نیز دارد:

${displaystyle gamma ^{5}={tfrac {i}{4!}}varepsilon ^{mu nu alpha beta }gamma _{mu }gamma _{nu } گاما _{ آلفا }گاما _{بتا } }$

با استفاده از کنوانسیون ${displaystyle varepsilon _{0123}=1 ,}$ یا

${displaystyle gamma ^{5}=-{tfrac {i}{4!}}varepsilon ^{mu nu alpha beta }gamma _{mu }gamma _{nu } گاما _{ آلفا }گاما _{بتا } }$

با استفاده از کنوانسیون ${displaystyle varepsilon ^{0123}=1~.}$ اثبات:

این را می توان با بهره برداری از این واقعیت مشاهده کرد که هر چهار ماتریس گاما ضد رفت و آمد هستند، بنابراین

${displaystyle gamma ^{0}gamma ^{1}gamma ^{2}gamma ^{3}=gamma ^{[0}gamma ^{1}gamma ^{2}gamma ^ {3]}={tfrac {1}{4!}}delta _{mu nu varrho sigma }^{0123}gamma ^{mu }gamma ^{nu }gamma ^ {varrho }gamma ^{sigma } ,}$

جایی که ${displaystyle delta _{mu nu varrho sigma }^{alpha beta gamma delta }}$ از نوع (4،4) دلتای کرونکر تعمیم یافته در 4 بعد، در ضد تقارن کامل است . اگر ${displaystyle varepsilon _{alpha dots beta } }$ نماد Levi-Civita را در ابعاد n نشان می دهد ، می توانیم از همانی استفاده کنیم ${displaystyle delta _{mu nu varrho sigma }^{alpha beta gamma delta }=varepsilon ^{alpha beta gamma delta }varepsilon _{mu nu varrho sigma }}$ . سپس با استفاده از قرارداد دریافت می کنیم ${displaystyle varepsilon ^{0123}=1 ,}$

${displaystyle gamma ^{5}=igamma ^{0}gamma ^{1}gamma ^{2}gamma ^{3}={frac {i}{4!}}varepsilon ^{0123}varepsilon _{mu nu varrho sigma },gamma ^{mu }gamma ^{nu }gamma ^{varrho }gamma ^{sigma }={ tfrac {i}{4!}}varepsilon _{mu nu varrho sigma },gamma ^{mu }gamma ^{nu }gamma ^{varrho }gamma ^{ sigma }=-{tfrac {i}{4!}}varepsilon ^{mu nu varrho sigma },gamma _{mu }gamma _{nu }gamma _{varrho }گاما _{سیگما }}$

این ماتریس در بحث در مورد کایرالیته مکانیک کوانتومی مفید است . به عنوان مثال، یک فیلد دیراک را می توان بر روی اجزای چپ و راست آن به وسیله:

${displaystyle psi _{mathrm {L} }={frac { I-gamma ^{5} }{2}} psi ,qquad psi _{mathrm {R} } ={frac { I+gamma ^{5} }{2}} psi ~.}$

برخی از خواص عبارتند از:

هرمیتی است:
${displaystyle left(gamma ^{5}right)^{dagger }=gamma ^{5}~.}$
مقادیر ویژه آن 1± است، زیرا:
${displaystyle left(gamma ^{5}right)^{2}=I_{4}~.}$
با چهار ماتریس گاما مقابله می کند:
${displaystyle left{gamma ^{5},gamma ^{mu }right}=gamma ^{5}gamma ^{mu }+gamma ^{mu }gamma ^ {5}=0~.}$

در حقیقت، ${displaystyle psi _{mathrm {L} } }$ و ${displaystyle psi _{mathrm {R} } }$ بردارهای ویژه هستند ${displaystyle gamma ^{5} }$ از آنجا که

${displaystyle gamma ^{5}psi _{mathrm {L} }={frac { gamma ^{5}-left(gamma ^{5}right)^{2} } {2}}psi =-psi _{mathrm {L} } ,}$ و ${displaystyle gamma ^{5}psi _{mathrm {R} }={frac { gamma ^{5}+left(gamma ^{5}right)^{2} } {2}}psi =psi _{mathrm {R} }~.}$

پنج بعد [ ویرایش ]

جبر کلیفورد در ابعاد فرد مانند دو نسخه از جبر کلیفورد با یک بعد کمتر، یک کپی سمت چپ و یک کپی سمت راست رفتار می کند. [3] : 68u200a بنابراین، میتوان با کمی ترفند، iu202f γ u202f5 را به عنوان یکی از مولدهای جبر کلیفورد در پنج بعد تغییر داد. در این مورد، مجموعه { γ u202f0 , γ u202f1 , γ u202f2 , γ u202f3 , i γ u202f5 } بنابراین با دو ویژگی آخر (با در نظر داشتن i u202f2 ≡ −1 ) و گامای «قدیمی»، اساس جبر کلیفورد را در 5 بعد فضازمان برای امضای متریک تشکیل می دهد (1،4) . [آ] . [4] : 97u200a در امضای متریک (4,1) از مجموعه { γ u202f0 , γ u202f1 , γ u202f2 , γ u202f3 , γ u202f5 } استفاده می شود که γ μu202f مناسب برای (3،1) هستند. امضا [5] این الگو برای بعد فضازمان 2 n زوج و بعد فرد بعدی 2 n + 1 برای همه n ≥ 1 تکرار می شود . [6] : 457u200a برای جزئیات بیشتر، به ماتریس های گاما با ابعاد بالاتر مراجعه کنید .

همانی [ ویرایش ]

همانیهای زیر از رابطه ضد جابجایی اساسی ناشی میشوند، بنابراین در هر مبنایی وجود دارند (اگرچه مورد آخر به انتخاب علامت برای ${displaystyle gamma ^{5}}$ ).

همانی های متفرقه [ ویرایش ]

${displaystyle gamma ^{mu }gamma _{mu }=4I_{4}}$

نشان می دهداثبات

${displaystyle gamma ^{mu }gamma ^{nu }gamma _{mu }=-2gamma ^{nu }}$

نشان می دهداثبات

${displaystyle gamma ^{mu }gamma ^{nu }gamma ^{rho }gamma _{mu }=4eta ^{nu rho }I_{4}}$

نشان می دهداثبات

${displaystyle gamma ^{mu }gamma ^{nu }gamma ^{rho }gamma ^{sigma }gamma _{mu }=-2gamma ^{sigma }gamma ^{rho }گاما ^{nu }}$

نشان می دهداثبات

${displaystyle gamma ^{mu }gamma ^{nu }gamma ^{rho }=eta ^{mu nu }gamma ^{rho }+eta ^{nu rho }gamma ^{mu }-eta ^{mu rho }gamma ^{nu }-iepsilon ^{sigma mu nu rho }gamma _{sigma }gamma ^ {5}}$

نشان می دهداثبات

${displaystyle gamma ^{5}sigma ^{nu rho }={tfrac {i}{2}}epsilon ^{sigma mu nu rho }sigma _{sigma mu } ,}$ جایی که ${displaystyle sigma _{mu nu }={tfrac {i}{2}}[gamma _{mu },gamma _{nu }]={tfrac {i}{2 }}(گاما _{mu }گاما _{nu }-گاما _{nu }گاما _{mu }) }$

نشان می دهداثبات

ردیابی همانی [ ویرایش ]

ماتریس های گاما از همانی های ردیابی زیر تبعیت می کنند :

${displaystyle operatorname {tr} left(gamma ^{mu }right)=0}$
ردیابی هر حاصل ضرب عدد فرد ${displaystyle gamma ^{mu }}$ صفر است
اثری از ${displaystyle gamma ^{5}}$ برابر حاصل ضرب عدد فرد ${displaystyle gamma ^{mu }}$ هنوز صفر است
${displaystyle operatorname {tr} left(gamma ^{mu }gamma ^{nu }right)=4eta ^{mu nu }}$
${displaystyle operatorname {tr} left(gamma ^{mu }gamma ^{nu }gamma ^{rho }gamma ^{sigma }right)=4left(eta ^ {mu nu }eta ^{rho sigma }-eta ^{mu rho }eta ^{nu sigma }+eta ^{mu sigma }eta ^{nu rho }راست)}$
${displaystyle operatorname {tr} left(gamma ^{5}right)=operatorname {tr} left(gamma ^{mu }gamma ^{nu }gamma ^{5} راست)=0}$
${displaystyle operatorname {tr} left(gamma ^{mu }gamma ^{nu }gamma ^{rho }gamma ^{sigma }gamma ^{5}right)=- 4iepsilon ^{mu nu rho sigma }}$
${displaystyle operatorname {tr} left(gamma ^{mu _{1}}dots gamma ^{mu _{n}}right)=operatorname {tr} left(gamma ^ {mu _{n}}dots gamma ^{mu _{1}}right)}$

اثبات موارد فوق مستلزم استفاده از سه ویژگی اصلی عملگر ردیابی است :

tr( A + B ) = tr( A ) + tr( B )
tr( rA ) = r tr( A )
tr( ABC ) = tr( CAB ) = tr( BCA )

نشان می دهداثبات 1

نشان می دهداثبات 2

نشان می دهداثبات 3

نشان می دهداثبات 4

نشان می دهداثبات 5

نشان می دهداثبات 6

نشان می دهداثبات 7

نشان می دهداثبات 8

عادی سازی [ ویرایش ]

با این حال، ماتریسهای گاما را میتوان با شرایط هرمیتیتی اضافی که توسط روابط ضد جابجایی بالا محدود میشود، انتخاب کرد. می توانیم تحمیل کنیم

${displaystyle left(gamma ^{0}right)^{dagger }=gamma ^{0}}$ ، سازگار با ${displaystyle left(gamma ^{0}right)^{2}=I_{4}}$

و برای سایر ماتریس های گاما (برای k = 1، 2، 3 )

${displaystyle left(gamma ^{k}right)^{dagger }=-gamma ^{k}}$ ، سازگار با ${displaystyle left(gamma ^{k}right)^{2}=-I_{4}.}$

شخص فوراً بررسی می کند که آیا این روابط خلوت برای نمایندگی دیراک وجود دارد یا خیر.

شرایط فوق را می توان در رابطه ترکیب کرد

${displaystyle left(gamma ^{mu }right)^{dagger }=gamma ^{0}gamma ^{mu }gamma ^{0}.}$

شرایط هرمیتیتی تحت عمل ثابت نیست ${displaystyle gamma ^{mu }to S(Lambda )gamma ^{mu }{S(Lambda )}^{-1}}$ تحول لورنتسΛ ${displaystyle Lambda }$ زیرا ${displaystyle S(Lambda )}$ به دلیل فشرده نبودن گروه لورنتس، لزوماً یک تحول واحد نیست. [ نیازمند منبع ]

صرف شارژ [ ویرایش ]

عملگر تلفیق بار ، در هر مبنایی، ممکن است به این صورت تعریف شود

${displaystyle Cgamma _{mu }C^{-1}=-(gamma _{mu })^{textsf {T}}}$

جایی که ${displaystyle (cdot )^{textsf {T}}}$ نشان دهنده جابجایی ماتریس است . شکل صریح که ${displaystyle C}$ طول می کشد بستگی به نمایش خاص انتخاب شده برای ماتریس های گاما، تا یک فاکتور فاز دلخواه دارد. این به این دلیل است که اگرچه صرف بار یک خودمورفیسم گروه گاما است ، اما یک اتومورفیسم درونی (گروه) نیست . ماتریس های مزدوج را می توان یافت، اما آنها وابسته به نمایش هستند.

همانی های مستقل از نمایندگی عبارتند از:

${displaystyle {begin{aligned}Cgamma _{5}C^{-1}&=+(gamma _{5})^{textsf {T}}Csigma _{mu nu }C^{-1}&=-(sigma _{mu nu })^{textsf {T}}Cgamma _{5}gamma _{mu }C^{ -1}&=+(گاما _{5}گاما _{mu })^{textsf {T}}end{تراز شده}}}$

عملگر صرف شارژ نیز واحد است ${displaystyle C^{-1}=C^{dagger }}$ ، در حالی که برای ${displaystyle mathrm {Cl} _{1,3}(mathbb {R} )}$ آن را نیز نگه می دارد که ${displaystyle C^{T}=-C}$ برای هر نمایندگی با توجه به نمایشی از ماتریس های گاما، ضریب فاز دلخواه برای عملگر صرف بار نیز می تواند به گونه ای انتخاب شود که ${displaystyle C^{dagger }=-C}$ ، همانطور که در مورد چهار نمایش داده شده در زیر (Dirac، Majorana و هر دو نوع کایرال) وجود دارد.

نماد اسلش فاینمن [ ویرایش ]

نماد اسلش فاینمن با تعریف می شود

${displaystyle {a!!!/}:=gamma ^{mu }a_{mu }}$

برای هر 4 بردارآ ${displaystyle a}$ .

در اینجا برخی از همانی های مشابه با موارد بالا، اما شامل نمادهای اسلش آمده است:

بسیاری از آنها مستقیماً از گسترش نمادهای اسلش و عبارات انقباضی فرم پیروی می کنند ${displaystyle a_{mu }b_{nu }c_{rho } ldots }$ با همانی مناسب از نظر ماتریس گاما.

نمایش های دیگر [ ویرایش ]

ماتریس ها نیز گاهی با استفاده از ماتریس همانی 2×2 نوشته می شوند . ${displaystyle I_{2}}$ ، و

${displaystyle gamma ^{k}={begin{pmatrix}0&sigma ^{k}-sigma ^{k}&0end{pmatrix}}}$

که در آن k از 1 تا 3 اجرا می شود و σ k ماتریس های پائولی هستند .

پایه دیراک [ ویرایش ]

ماتریس های گامایی که تاکنون نوشته ایم برای عمل بر روی اسپینرهای دیراک که بر اساس دیراک نوشته شده اند مناسب هستند . در واقع اساس دیراک با این ماتریس ها تعریف می شود. به طور خلاصه، بر اساس دیراک:

${displaystyle gamma ^{0}={begin{pmatrix}I_{2}&0x00&-I_{2}end{pmatrix}},quad gamma ^{k}={begin{pmatrix }0&sigma ^{k}-sigma ^{k}&0end{pmatrix}},quad gamma ^{5}={begin{pmatrix}0&I_{2}I_{2} &0end{pmatrix}}~.}$

در مبنای دیراک، عملگر صرف بار ضد متقارن واقعی است، [9] : 691-700u200a

${displaystyle C=igamma ^{2}gamma ^{0}={begin{pmatrix}0&-isigma ^{2}-isigma ^{2}&0end{pmatrix} }={begin{pmatrix}0&~~0&~~0&-1x00&~~0&~~1&~~0x00&-1&~~0&~~01&~~0&~~0&~ ~0end{pmatrix}}~.}$

پایه ویل (کایرال) [ ویرایش ]

یکی دیگر از انتخاب های رایج پایه Weyl یا کایرال است که در آن ${displaystyle gamma ^{k}}$ ثابت می ماند اما ${displaystyle gamma ^{0}}$ متفاوت است و غیره ${displaystyle gamma ^{5}}$ همچنین متفاوت است، و مورب،

${displaystyle gamma ^{0}={begin{pmatrix}0&I_{2}I_{2}&0end{pmatrix}},quad gamma ^{k}={begin{pmatrix}0& sigma ^{k}-sigma ^{k}&0end{pmatrix}},quad gamma ^{5}={begin{pmatrix}-I_{2}&0x00&I_{2} end{pmatrix}}،}$

یا به صورت فشرده تر:

${displaystyle gamma ^{mu }={begin{pmatrix}0&sigma ^{mu }{overline {sigma }}^{mu }&0end{pmatrix}}،quad sigma ^{mu }equiv (1,sigma ^{i}),quad {overline {sigma }}^{mu }equiv left(1,-sigma ^{i} درست).}$

اساس ویل این مزیت را دارد که پیشبینیهای کایرال آن شکل سادهای دارند.

${displaystyle psi _{mathrm {L} }={tfrac {1}{2}}left(1-gamma ^{5}right)psi ={begin{pmatrix}I_{2 }&0x00&0end{pmatrix}}psi ,quad psi _{mathrm {R} }={tfrac {1}{2}}left(1+gamma ^{5}راست )psi ={begin{pmatrix}0&0x00&I_{2}end{pmatrix}}psi ~.}$

ناتوانی برآمدگی های کایرال آشکار است .

با کمی سوء استفاده از نماد و استفاده مجدد از نمادها ${displaystyle psi _{mathrm {L} /R}}$ سپس می توانیم شناسایی کنیم

${displaystyle psi ={begin{pmatrix}psi _{mathrm {L} }psi _{mathrm {R} }end{pmatrix}}،}$

حالا که ${displaystyle psi _{mathrm {L} }}$ و ${displaystyle psi _{mathrm {R} }}$ اسپینورهای ویل دو جزئی چپ دست و راست دست هستند.

عملگر صرف بار در این مبنا ضد متقارن واقعی است،

${displaystyle C=igamma ^{2}gamma ^{0}={begin{pmatrix}isigma ^{2}&0x00&-isigma ^{2}end{pmatrix}} }$

مبنای دیراک را می توان از مبنای Weyl به دست آورد

${displaystyle gamma _{mathrm {W} }^{mu }=Ugamma _{mathrm {D} }^{mu }U^{dagger },quad psi _{mathrm {W} }=Upsi _{mathrm {D} }}$

از طریق تبدیل واحد

${displaystyle U={tfrac {1}{{sqrt {2 }} }}left(1+gamma ^{5}gamma ^{0}right)={tfrac {1} {{sqrt {2 }} }}{begin{pmatrix}I_{2}&-I_{2}I_{2}&I_{2}end{pmatrix}}.}$

پایه ویل (کایرال) (شکل جایگزین) [ ویرایش ]

یکی دیگر از گزینه های ممکن [10] از مبنای Weyl است

${displaystyle gamma ^{0}={begin{pmatrix}0&-I_{2}-I_{2}&0end{pmatrix}},quad gamma ^{k}={begin{ pmatrix}0&sigma ^{k}-sigma ^{k}&0end{pmatrix}},quad gamma ^{5}={begin{pmatrix}I_{2}&0x00&- I_{2}end{pmatrix}}.}$

برجستگی های کایرال شکل کمی متفاوت از دیگر انتخاب های ویل دارند.

${displaystyle psi _{mathrm {R} }={begin{pmatrix}I_{2}&0x00&0end{pmatrix}}psi ,quad psi _{mathrm {L} }= {begin{pmatrix}0&0x00&I_{2}end{pmatrix}}psi .}$

به عبارت دیگر،

${displaystyle psi ={begin{pmatrix}psi _{mathrm {R} }psi _{mathrm {L} }end{pmatrix}}،}$

جایی که ${displaystyle psi _{mathrm {L} }}$ و ${displaystyle psi _{mathrm {R} }}$ مانند قبل، اسپینورهای دو جزئی ویل چپ دست و راست هستند.

عملگر صرف بار در این اساس است

${displaystyle C=igamma ^{2}gamma ^{0}={begin{pmatrix}-isigma ^{2}&0x00&isigma ^{2}end{pmatrix}}= {begin{pmatrix}0&-1&~~0&~~01&~~0&~~0&~~0x00&~~0&~~0&~~~1x00&~~0&-1&~~0 end{pmatrix}}~=-isigma ^{3}otimes sigma ^{2}.}$

این مبنا را می توان از مبنای دیراک بالا به دست آورد ${displaystyle gamma _{mathrm {W} }^{mu }=Ugamma _{mathrm {D} }^{mu }U^{dagger },~~psi _{mathrm {W} }=Upsi _{mathrm {D} }}$ از طریق تبدیل واحد

${displaystyle U={tfrac {1}{{sqrt {2 }} }}left(1-gamma ^{5}gamma ^{0}right)={tfrac {1} {{sqrt {2 }} }}{begin{pmatrix}~~I_{2}&I_{2}-I_{2}&I_{2}end{pmatrix}}~.}$

اساس مایورانا [ ویرایش ]

همچنین مبنای مایورانا وجود دارد که در آن همه ماتریس های دیراک خیالی هستند و اسپینورها و معادله دیراک واقعی هستند. با توجه به ماتریس های پائولی ، مبنای را می توان به صورت زیر نوشت

${displaystyle {begin{aligned}gamma ^{0}&={begin{pmatrix}0&sigma ^{2}sigma ^{2}&0end{pmatrix}} ,~& گاما ^{1}&={begin{pmatrix}isigma ^{3}&0x00&isigma ^{3}end{pmatrix}} ,~&gamma ^{2}&={ begin{pmatrix}0&-sigma ^{2}sigma ^{2}&0end{pmatrix}},gamma ^{3}&={begin{pmatrix}-isigma ^{ 1}&0x00&-isigma ^{1}end{pmatrix}} ,~&gamma ^{5}&={begin{pmatrix}sigma ^{2}&0x00&- سیگما ^{2}end{pmatrix}} ,~&C&={begin{pmatrix}0&-isigma ^{2}-isigma ^{2}&0end{pmatrix}} , end{تراز شده}}}$

جایی که ${displaystyle C}$ ماتریس صرف شارژ است که با نسخه دیراک تعریف شده در بالا مطابقت دارد.

دلیل خیالی ساختن همه ماتریس های گاما صرفاً به دست آوردن متریک فیزیک ذرات (+، -، -، -) است که در آن مجذور جرم ها مثبت است. با این حال، نمایش مایوراناواقعی است. می توان فاکتور گرفت من ${displaystyle i }$ برای به دست آوردن یک نمایش متفاوت با اسپینورهای واقعی چهار جزء و ماتریس های گامای واقعی. پیامد حذف من ${displaystyle i }$ این است که تنها متریک ممکن با ماتریس های گامای واقعی (-، +، +، +) است .

اساس مایورانا را می توان از پایه دیراک بالا به دست آورد ${displaystyle gamma _{mathrm {M} }^{mu }=Ugamma _{mathrm {D} }^{mu }U^{dagger },~~psi _{mathrm {M} }=Upsi _{mathrm {D} }}$ از طریق تبدیل واحد

${displaystyle U=U^{dagger }={tfrac {1}{{sqrt {2 }} }}{begin{pmatrix}I_{2}&sigma ^{2} سیگما ^{2}&-I_{2}end{pmatrix}}~.}$

Cl 1,3 (C) و Cl 1,3 (R) [ ویرایش ]

این مقاله ممکن است از کوتاه شدن با استفاده از سبک خلاصه سود ببرد . سبک خلاصه ممکن است شامل تقسیم بخش هایی از متن به یک یا چند مقاله فرعی باشد که سپس در مقاله اصلی خلاصه می شود.

جبر دیراک را می توان پیچیدگی جبر واقعی Cl 1,3 در نظر گرفت (آر ${displaystyle mathbb {R} }$ جبر فضا-زمان نامیده می شود :

${displaystyle mathrm {Cl} _{1,3}(mathbb {C} )=mathrm {Cl} _{1,3}(mathbb {R})otimes mathbb {C} }$

Cl 1,3 (آر ${displaystyle mathbb {R} }$ ) با Cl 1,3 متفاوت است (سی ${displaystyle mathbb {C} }$ ): در Cl 1,3 (آر ${displaystyle mathbb {R} }$ ) فقط ترکیب های خطی واقعی ماتریس های گاما و ضرب آنها مجاز است.

دو نکته شایسته اشاره است. به عنوان جبرهای کلیفورد , Cl 1,3 (سی ${displaystyle mathbb {C} }$ ) و Cl 4 (سی ${displaystyle mathbb {C} }$ ) هم شکل هستند، طبقه بندی جبرهای کلیفورد را ببینید . دلیل آن این است که امضای زیربنایی متریک فضا-زمان با عبور از پیچیدگی، امضای خود را از دست می دهد (1،3). با این حال، تبدیل مورد نیاز برای رساندن فرم دوخطی به شکل متعارف پیچیده، تبدیل لورنتس نیست و بنابراین «مجاز» نیست (حداقل غیرعملی) زیرا تمام فیزیک کاملاً به تقارن لورنتس گره خورده است و ترجیح داده میشود که آن را حفظ کنیم. آشکار

طرفداران جبر هندسی تلاش می کنند تا هر جا که ممکن است با جبرهای واقعی کار کنند. آنها استدلال می کنند که تشخیص حضور یک واحد خیالی در یک معادله فیزیکی به طور کلی ممکن است (و معمولاً روشنگر). چنین واحدهایی از یکی از مقادیر زیاد جبر کلیفورد واقعی به وجود میآیند که مجذور آن 1- است، و اینها به دلیل ویژگیهای جبر و تعامل زیرفضاهای مختلف آن، اهمیت هندسی دارند. برخی از این طرفداران همچنین این سوال را مطرح میکنند که آیا معرفی یک واحد خیالی اضافی در چارچوب معادله دیراک ضروری است یا حتی مفید است. [11] : x–xiu200a

در ریاضیات هندسه ریمانی ، تعریف جبر کلیفورد Cl p,q مرسوم است . ${displaystyle mathbb {R} }$ ) برای ابعاد دلخواه p,q . اسپینورهای Weyl تحت عمل گروه اسپین تبدیل می شوند ${displaystyle mathrm {Spin} (n)}$ . پیچیدگی گروه اسپین به نام گروه اسپین ${displaystyle mathrm {Spin} ^{mathbb {C} }(n)}$ ، یک ضرب است ${displaystyle mathrm {Spin} (n)times _{mathbb {Z} _{2}}S^{1}}$ از گروه چرخش با دایرها ${displaystyle S^{1}cong U(1).}$ ضرب ${displaystyle times _{mathbb {Z} _{2}}}$ فقط یک دستگاه نماد برای شناسایی ${displaystyle (a,u)in mathrm {Spin} (n)times S^{1}}$ با. ${displaystyle (-a,-u).}$ نکته هندسی این است که اسپینور واقعی را که تحت تبدیل های لورنتس کوواریانس است از ${displaystyle U(1)}$ جزء، که می تواند با ${displaystyle mathrm {U} (1)}$ فیبر برهمکنش الکترومغناطیسی را×ز2 ${displaystyle times _{mathbb {Z} _{2}}}$ درهم تنیدگی برابری و مزدوج بار به شیوه ای مناسب برای ارتباط حالت های ذره/ضد ذره دیراک (به طور معادل، حالات کایرال در اساس ویل ). بیسپینور ، تا آنجا که دارای اجزای چپ و راست مستقل خطی است، می تواند با میدان الکترومغناطیسی تعامل داشته باشد . این برخلاف اسپینور مایورانا و اسپینور ELKO (Eigenspinoren des Ladungskonjugationsoperators) است که نمی توانند ( یعنی از نظر الکتریکی خنثی هستند)، زیرا آنها به صراحت اسپینور را محدود می کنند تا با ${displaystyle S^{1}}$ بخشی از پیچیدگی ناشی می شود. اسپینور ELKO یک اسپینر کلاس 5 Lounesto است. [12] : 84u200a

با این حال، در تمرین معاصر در فیزیک، جبر دیراک به جای جبر فضا-زمان، محیط استانداردی است که چرخندههای معادله دیراک در آن زندگی میکنند.

سایر ویژگی های بدون نمایش [ ویرایش ]

ماتریس های گاما با مقادیر ویژه قطری هستند ${displaystyle pm 1}$ برای ${displaystyle gamma ^{0}}$ ، و مقادیر ویژه ${displaystyle gamma ^{i}}$ .

نشان می دهداثبات

به طور خاص، این نشان می دهد که ${displaystyle gamma ^{0}}$ به طور همزمان هرمیتی و واحد است، در حالی که ${displaystyle gamma ^{i}}$ به طور همزمان ضد هرمیتی و واحد هستند.

علاوه بر این، تعدد هر مقدار ویژه دو است.

نشان می دهداثبات

به طور کلی، اگر ${displaystyle gamma ^{mu }X_{mu } }$ صفر نیست، نتیجه مشابهی وجود دارد. برای مشخص بودن، ما به حالت هنجار مثبت محدود میشویم ${displaystyle gamma ^{mu }p_{mu }=p!!!/ }$ با . ${displaystyle pcdot p=m^{2}>0~.}$ مورد منفی نیز به همین ترتیب دنبال می شود.

نشان می دهداثبات

نتیجه می شود که فضای راه حل به ${displaystyle p!!!/-m=0 }$ (یعنی هسته سمت چپ) دارای بعد 2 است. این به این معنی است که فضای حل برای حل های موج صفحه معادله دیراک دارای بعد 2 است.

این نتیجه هنوز برای معادله دیراک بدون جرم وجود دارد. به عبارت دیگر، اگر ${displaystyle p_{mu }}$ پس پوچپ/ ${displaystyle p!!!/}$ باطل دارد 2.

نشان می دهداثبات

ماتریس های دیراک اقلیدسی [ ویرایش ]

در نظریه میدان کوانتومی، ویک میتواند محور زمان را برای عبور از فضای مینکوفسکی به فضای اقلیدسی بچرخاند . این به ویژه در برخی از روش های عادی سازی مجدد و همچنین نظریه گیج شبکه مفید است . در فضای اقلیدسی، دو نمایش متداول از ماتریس دیراک وجود دارد:

نمایش کایرال [ ویرایش ]

${displaystyle gamma ^{1,2,3}={begin{pmatrix}0&isigma ^{1,2,3}-isigma ^{1,2,3}&0end{pmatrix }}،quad gamma ^{4}={begin{pmatrix}0&I_{2}I_{2}&0end{pmatrix}}}$

توجه داشته باشید که عوامل از ${displaystyle i}$ در ماتریس های گامای فضایی درج شده اند تا جبر کلیفورد اقلیدسی

${displaystyle left{gamma ^{mu },gamma ^{nu }right}=2delta ^{mu nu }I_{4}}$

پدیدار خواهد شد. همچنین شایان ذکر است که انواع مختلفی از این وجود دارد که به جای آن درج می شود ${displaystyle -i}$ روی یکی از ماتریس ها، مانند کدهای QCD شبکه ای که از پایه کایرال استفاده می کنند.

در فضای اقلیدسی،

${displaystyle gamma _{mathrm {M} }^{5}=ileft(gamma ^{0}gamma ^{1}gamma ^{2}gamma ^{3}right)_ {mathrm {M} }={tfrac {1}{i^{2}}}left(gamma ^{4}gamma ^{1}gamma ^{2}gamma ^{3} راست)_{mathrm {E} }=left(gamma ^{1}gamma ^{2}gamma ^{3}gamma ^{4}right)_{mathrm {E} }= گاما _{mathrm {E} }^{5}~.}$

استفاده از ضد کموتاتور و توجه به آن در فضای اقلیدسی ${displaystyle left(gamma ^{mu }right)^{dagger }=gamma ^{mu }}$ ، یکی نشان می دهد که

${displaystyle left(gamma ^{5}right)^{dagger }=gamma ^{5}}$

به صورت کایرال در فضای اقلیدسی،

${displaystyle gamma ^{5}={begin{pmatrix}-I_{2}&0x00&I_{2}end{pmatrix}}}$

که نسبت به نسخه مینکوسکی خود تغییری نکرده است.

نمایش غیر نسبیتی [ ویرایش ]

${displaystyle gamma ^{1,2,3}={begin{pmatrix}0&-isigma ^{1,2,3}isigma ^{1,2,3}&0end{ pmatrix}} ,quad gamma ^{4}={begin{pmatrix}I_{2}&0x00&-I_{2}end{pmatrix}},quad gamma ^{5}={ begin{pmatrix}0&-I_{2}-I_{2}&0end{pmatrix}}}$

پاورقی ها [ ویرایش ]

^ مجموعه ماتریس ها (Γ a ) = ( γ μ , i γ u202f5 )u202f با a = (0, 1, 2, 3, 4) جبر پنج بعدی کلیفورد {Γ a , Γ b } = 2u202f η ab را برآورده می کند.

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_matrices

برچسب: نویسنده: هستی حیدریان تاريخ: سه شنبه 22 خرداد 1403 ساعت: 15:54

درباره سایت

آخرین مطالب

امکانات وب

2-ماتریس های گاما

بیان معادله دیراک [ ویرایش ]

پنجمین 1 "1"، γ 5 [ ویرایش ]

پنج بعد [ ویرایش ]

همانی [ ویرایش ]

همانی های متفرقه [ ویرایش ]

ردیابی همانی [ ویرایش ]

عادی سازی [ ویرایش ]

صرف شارژ [ ویرایش ]

نماد اسلش فاینمن [ ویرایش ]

نمایش های دیگر [ ویرایش ]

پایه دیراک [ ویرایش ]

پایه ویل (کایرال) [ ویرایش ]

پایه ویل (کایرال) (شکل جایگزین) [ ویرایش ]

اساس مایورانا [ ویرایش ]

Cl 1,3 (C) و Cl 1,3 (R) [ ویرایش ]

سایر ویژگی های بدون نمایش [ ویرایش ]

ماتریس های دیراک اقلیدسی [ ویرایش ]

نمایش کایرال [ ویرایش ]

نمایش غیر نسبیتی [ ویرایش ]

پاورقی ها [ ویرایش ]

صفحه بندی

آرشیو مطالب

پيوندهای روزانه

لینک دوستان

خبرنامه