ریاضیات

تعریف یافتن جهت ضربدری با قانون دست راستحاصل ضرب خارجی دو بردار a و b فقط در فضای سه بعدی تعریف می شود و با a × b نشان داده می شود . در فیزیک و ریاضیات کاربردی ، نماد گوه ای a ∧ b اغلب استفاده می شود (همراه با نام حاصلضرب بردار )، [5] [6] [7] اگرچه در ریاضیات محض این نماد معمولاً فقط برای ضرب بیرونی محفوظ است. انتزاع حاصلضرب برداری به n بعد.حاصل ضرب خارجی a × b به عنوان بردار c که بر هر دو a و b عمود (متعامد) است ، با جهتی که توسط قانون دست راست [1] داده می شود و قدر آن برابر با مساحت متوازی الاضلاع بردارها است، تعریف می شود. [2]ضرب خارجی با فرمول [8] [9] تعریف می شود.جایی کهθ زاویه بین a و b در صفحه حاوی آنها است (بنابراین بین 0 تا 180 درجه است).‖ a ‖ و ‖ b اندازه بردارهای a و b هستند ،n یک بردار واحد عمود بر صفحه حاوی a و b با جهتی است که مجموعه مرتب شده ( a , b , n ) جهت مثبت دارد .اگر بردارهای a و b موازی باشند (یعنی زاویه θ بین آنها 0 درجه یا 180 درجه است)، با فرمول بالا، حاصل ضرب خارجی a و b بردار صفر 0 است .جهتضرب ضربدر a × b (عمودی، به رنگ بنفش) با تغییر زاویه بین بردارهای a (آبی) و b (قرمز) تغییر می کند. حاصل ضرب خارجی همیشه نسبت به هر دو بردار متعامد است و زمانی که بردارها موازی باشند قدر صفر و زمانی که متعامد هستند قدر ‖a‖‖b‖ دارد.جهت بردار n به جهت انتخابی فضا بستگی دارد. به طور متعارف، با قانون دست راست ارائه می شود، که در آن شخص به سادگی انگشت سبابه دست راست را در جهت a و انگشت وسط را در جهت b نشان می دهد . سپس، بردار n از انگشت شست خارج می شود (تصویر مجاور را ببینید). استفاده از این قانون به این معنی است که ضرب خارجی ضد تعویض است . یعنی b × a = −( a × b ) . با , ...ادامه مطلب

بردارهای پایه استاندارد ( i , j , k که با e 1 , e 2 , e 3 نیز مشخص می شود ) و مولفه های برداری a ( a x , a y , a z , a 1 , a 2 , a 3 نیز نشان داده می شود )اگر ( i ، j ، k ) یک مبنای متعارف مثبت گرا باشد، بردارهای پایه برابری های زیر را برآورده می کنند که با ضد جابجایی حاصلضرب خارجی نشان می دهد کهضد جابجایی ضرب خارجی (و فقدان آشکار استقلال خطی) نیز دلالت بر آن دارد( بردار صفر ).این برابری ها، همراه با توزیع و خطی بودن حاصل ضرب خارجی (اگرچه هیچ کدام به راحتی از تعریف ارائه شده در بالا پیروی نمی کنند)، برای تعیین ضرب خارجی هر دو بردار a و b کافی است . هر بردار را می توان به عنوان مجموع سه جزء متعامد موازی با بردارهای پایه استاندارد تعریف کرد:ضرب خارجی آنها a × b را می توان با استفاده از توزیع گسترش داد:این را می توان به عنوان تجزیه a × b به مجموع نه ضرب خارجی ساده تر که شامل بردارهای هم تراز با i ، j یا k می باشد، تفسیر کرد . هر یک از این نه ضرب خارجی بر روی دو بردار عمل می کند که به راحتی قابل کنترل هستند زیرا موازی یا متعامد با یکدیگر هستند. از این تجزیه با استفاده از برابری های فوق و جمع آوری عبارت های مشابه به دست می آید:به این معنی که سه جزء اسکالر بردار حاصل s = s 1 i + s 2 j + s 3 k = a × b هستندبا استفاده از بردارهای ستونی ، می توانیم همان نتیجه را به صورت زیر نمایش دهیم: بخوانید, ...ادامه مطلب

استفاده از قانون ساروس برای یافتن ضرب خارجی a و bحاصلضرب خارجی را می توان به عنوان دترمینان رسمی نیز بیان کرد : [یادداشت 1] [1]این دترمینان را می توان با استفاده از قانون ساروس یا بسط کوفاکتور محاسبه کرد . با استفاده از قاعده ساروس، آن را گسترش می دهدکه اجزای بردار حاصل را مستقیماً می دهد. بخوانید, ...ادامه مطلب

ویژگی های جبری [ ویرایش ]ضرب اسکالر ضربدری . سمت چپ: تجزیه b به اجزای موازی و عمود بر a . راست: مقیاس بندی مولفه های عمود بر یک عدد حقیقی مثبت r (اگر منفی، b و ضرب خارجی معکوس شوند).توزیع ضرب خارجی بر جمع بردار. سمت چپ: بردارهای b و c به مولفه های موازی و عمود بر a تفکیک می شوند . راست: مولفه های موازی در ضرب ضربدری ناپدید می شوند، فقط مولفه های عمودی که در صفحه عمود بر یک نشان داده شده اند باقی می مانند. [12]دو حاصل ضرب سه گانه غیر معادل سه بردار a , b , c . در هر مورد، دو بردار یک صفحه را تعریف می کنند، دیگری خارج از صفحه است و می تواند به اجزای موازی و عمود بر ضرب ضربدر بردارهای تعیین کننده صفحه تقسیم شود. این مولفه ها را می توان با طرح ریزی برداری و رد یافت . حاصلضرب سه گانه در هواپیما قرار دارد و مطابق شکل می چرخد.اگر حاصل ضرب خارجی دو بردار، بردار صفر باشد (یعنی a × b = 0 )، در این صورت یکی یا هر دو ورودی بردار صفر است، ( a = 0 یا b = 0 ) یا موازی یا موازی هستند. ضد موازی ( a ∥ b ) به طوری که سینوس زاویه بین آنها صفر باشد ( θ = 0 درجه یا θ = 180 درجه و sin θ = 0 ).حاصل ضرب خود خارجی یک بردار بردار صفر است:ضرب خارجی ضد جابجایی است ،توزیعی بر اضافه،و سازگار با ضرب اسکالر به طوری کهتداعی کننده نیست ، اما اتحاد ژاکوبی را ارضا می کند :توزیع، خطی بودن و اتحاد ژاکوبی نشان می دهد که فضای برداری R3 به همراه جمع بردار و حاصل ضرب خارجی جبر Lie را تشکیل می دهد ، جبر Lie گروه متعامد واقعی در 3 بعد، SO(3) . ضرب خارجی از قانون لغو تبعیت نمی کند . یعنی a × b = a × c با a ≠ 0 به معنای b = c نیست ، بلکه فقط به این معناست:این می تواند موردی باشد که b و c لغو شوند، اما به علاوه در جایی که , ...ادامه مطلب

فرمول جایگزین [ ویرایش ]حاصلضرب خارجی و حاصل ضرب نقطه ای با یکدیگر مرتبط هستند:سمت راست دترمینان a و b است ، مربع مساحت متوازی الاضلاع که توسط بردارها تعریف شده است. این شرط بزرگی ضرب خارجی را تعیین می کند. یعنی از آنجایی که حاصلضرب نقطه ای برحسب زاویه θ بین دو بردار به صورت زیر تعریف می شود:رابطه داده شده فوق را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:با احضار اتحاد مثلثاتی فیثاغورثی به دست می آید:که بزرگی حاصلضرب خارجی است که بر حسب θ بیان می شود ، برابر با مساحت متوازی الاضلاع تعریف شده توسط a و b (به تعریف بالا مراجعه کنید).ترکیب این شرط و ویژگی متعامد بودن ضرب خارجی نسبت به اجزای تشکیل دهنده آن a و b ، یک تعریف جایگزین از ضرب خارجی ارائه می دهد. [13]معکوس ضرب خارجی [ ویرایش ]برای ضرب ضربدری a × b = c , بردارهای b متعددی وجود دارد که مقدار c یکسانی را به دست می دهند . در نتیجه، تنظیم مجدد این معادله برای به دست آوردن یک راه حل منحصر به فرد برای b بر حسب a و c امکان پذیر نیست . با این وجود، می توان خانواده ای از راه حل ها را برای b پیدا کرد که عبارتند ازجایی که t یک ثابت دلخواه است.این را می توان با استفاده از توسعه ضرب سه گانه به دست آورد:تنظیم مجدد برای حل برای b برای دادنضریب جمله آخر را می توان به ثابت دلخواه t ساده کرد تا نتیجه نشان داده شده در بالا به دست آید.اتحاد لاگرانژ [ ویرایش ]ارتباطرا می توان با رابطه دیگری که مربوط به سمت راست است، یعنی اتحاد لاگرانژ که به صورت [14] بیان می شود، مقایسه کرد.که در آن a و b ممکن است بردارهای n بعدی باشند . این همچنین نشان می دهد که فرم حجمی ریمانی برای سطوح دقیقاً عنصر سطحی از حساب برداری است. در موردی که n = 3 ، ترکیب این دو معادله م, ...ادامه مطلب

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]ضرب خارجی در زمینه های مختلف کاربرد دارد. به عنوان مثال، در هندسه محاسباتی، فیزیک و مهندسی استفاده می شود. فهرست غیر جامعی از نمونه ها در زیر آمده است.هندسه محاسباتی [ ویرایش ]حاصل ضرب در محاسبه فاصله دو خط اریب (خط نه در یک صفحه) از یکدیگر در فضای سه بعدی ظاهر می شود.ضرب خارجی می تواند برای محاسبه نرمال یک مثلث یا چندضلعی استفاده شود، عملیاتی که اغلب در گرافیک کامپیوتری انجام می شود . به عنوان مثال، سیم پیچی یک چند ضلعی (در جهت عقربه های ساعت یا خلاف جهت عقربه های ساعت) در مورد یک نقطه در چند ضلعی را می توان با مثلث کردن چند ضلعی (مانند پره زدن یک چرخ) و جمع کردن زوایای (بین پره ها) با استفاده از ضرب خارجی برای پیگیری وضعیت محاسبه کرد. نشانه هر زاویهدر هندسه محاسباتی صفحه ، از ضرب خارجی برای تعیین علامت زاویه تند تعریف شده توسط سه نقطه استفاده می شود .و. مربوط به جهت (بالا یا پایین) حاصل ضرب خارجی دو بردار همسطح تعریف شده توسط دو جفت نقطه است.و. علامت زاویه حاد علامت بیان استکه طول علامت ضرب ضربدر دو بردار است.در سیستم مختصات "راست دست"، اگر نتیجه 0 باشد، نقاط هم خط هستند . اگر مثبت باشد، سه نقطه یک زاویه چرخش مثبت به اطراف را تشکیل می دهنداز ، در غیر این صورت یک زاویه منفی است. از دیدگاهی دیگر، علامت ازمی گوید که آیادر سمت چپ یا راست خط قرار داردضرب خارجی در محاسبه حجم یک چند وجهی مانند چهار وجهی یا متوازی الاضلاع استفاده می شود .تکانه و گشتاور زاویه ای [ ویرایش ]تکانه زاویه ای L یک ذره در یک مبدأ معین به صورت زیر تعریف می شود:جایی که r بردار موقعیت ذره نسبت به مبدا است، p تکانه خطی ذره است.به همین ترتیب، ممان M نیروی F B اعمال شده در نقطه B در, ...ادامه مطلب