6-ضرب خارجی

ساخت وبلاگ

آخرین مطالب

امکانات وب

6-ضرب خارجی

فرمول جایگزین [ ویرایش ]

حاصلضرب خارجی و حاصل ضرب نقطه ای با یکدیگر مرتبط هستند:

{displaystyle left|mathbf {a} times mathbf {b} right|^{2}=left|mathbf {a} right|^{2}left| mathbf {b} right|^{2}-(mathbf {a} cdot mathbf {b} )^{2}.}

سمت راست دترمینان a و b است ، مربع مساحت متوازی الاضلاع که توسط بردارها تعریف شده است. این شرط بزرگی ضرب خارجی را تعیین می کند. یعنی از آنجایی که حاصلضرب نقطه ای برحسب زاویه θ بین دو بردار به صورت زیر تعریف می شود:

{displaystyle mathbf {acdot b} =left|mathbf {a} right|left|mathbf {b} right|cos theta ,}

رابطه داده شده فوق را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

{displaystyle left|mathbf {atimes b} right|^{2}=left|mathbf {a} right|^{2}left|mathbf {b} right|^{2}left(1-cos ^{2}theta right).}

با احضار اتحاد مثلثاتی فیثاغورثی به دست می آید:

{displaystyle left|mathbf {a} times mathbf {b} right|=left|mathbf {a} راست|چپ|mathbf {b} راست| چپ|sin theta راست|،}

که بزرگی حاصلضرب خارجی است که بر حسب θ بیان می شود ، برابر با مساحت متوازی الاضلاع تعریف شده توسط a و b (به تعریف بالا مراجعه کنید).

ترکیب این شرط و ویژگی متعامد بودن ضرب خارجی نسبت به اجزای تشکیل دهنده آن a و b ، یک تعریف جایگزین از ضرب خارجی ارائه می دهد. [13]

معکوس ضرب خارجی [ ویرایش ]

برای ضرب ضربدری a × b = c , بردارهای b متعددی وجود دارد که مقدار c یکسانی را به دست می دهند . در نتیجه، تنظیم مجدد این معادله برای به دست آوردن یک راه حل منحصر به فرد برای b بر حسب a و c امکان پذیر نیست . با این وجود، می توان خانواده ای از راه حل ها را برای b پیدا کرد که عبارتند از

{displaystyle mathbf {b} ={frac {mathbf {c} times mathbf {a} }{left|mathbf {a} right|^{2}}}+tmathbf {آ} ،}

جایی که t یک ثابت دلخواه است.

این را می توان با استفاده از توسعه ضرب سه گانه به دست آورد:

{displaystyle mathbf {c} times mathbf {a} =(mathbf {a} times mathbf {b} )times mathbf {a} =left|mathbf {a} راست |^{2}mathbf {b} -(mathbf {a} cdot mathbf {b} )mathbf {a} }

تنظیم مجدد برای حل برای b برای دادن

{displaystyle mathbf {b} ={frac {mathbf {c} times mathbf {a} }{left|mathbf {a} right|^{2}}}+{frac {mathbf {a} cdot mathbf {b} }{left|mathbf {a} right|^{2}}}mathbf {a} }

ضریب جمله آخر را می توان به ثابت دلخواه t ساده کرد تا نتیجه نشان داده شده در بالا به دست آید.

اتحاد لاگرانژ [ ویرایش ]

ارتباط

{displaystyle left|mathbf {a} times mathbf {b} right|^{2}equiv det {begin{bmatrix}mathbf {a} cdot mathbf {a} و mathbf {a} cdot mathbf {b} mathbf {a} cdot mathbf {b} &mathbf {b} cdot mathbf {b} end{bmatrix}}equiv چپ|mathbf {a} راست|^{2}چپ|mathbf {b} راست|^{2}-(mathbf {a} cdot mathbf {b} )^{ 2}}

را می توان با رابطه دیگری که مربوط به سمت راست است، یعنی اتحاد لاگرانژ که به صورت [14] بیان می شود، مقایسه کرد.

{displaystyle sum _{1leq i<jleq n}left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}right)^{2}equiv left| mathbf {a} right|^{2}left|mathbf {b} right|^{2}-(mathbf {acdot b} )^{2}،}

که در آن a و b ممکن است بردارهای n بعدی باشند . این همچنین نشان می دهد که فرم حجمی ریمانی برای سطوح دقیقاً عنصر سطحی از حساب برداری است. در موردی که n = 3 ، ترکیب این دو معادله منجر به بیان بزرگی حاصلضرب خارجی بر حسب اجزای آن می شود: [15]

{displaystyle {begin{aligned}|mathbf {a} times mathbf {b} |^{2}&equiv sum _{1leq i<jleq 3}(a_{i }b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}&equiv (a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2})^{2}+(a_ {2}b_{3}-a_{3}b_{2})^{2}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})^{2}.end{تراز }}}

همین نتیجه مستقیماً با استفاده از اجزای ضرب خارجی یافت شده از پیدا شده است

{displaystyle mathbf {a} times mathbf {b} equiv det {begin{bmatrix}{hat {mathbf {i} }}&{hat {mathbf {j} }}&{ hat {mathbf {k} }}a_{1}&a_{2}&a_{3}_{1}&b_{2}&b_{3}end{bmatrix}}.}

در R 3 ، معادله لاگرانژ یک مورد خاص از چند برابری | vw | = | v || w | هنجار در جبر رباعی .

این یک مورد خاص از فرمول دیگری است که گاهی اوقات اتحاد لاگرانژ نیز نامیده می شود، که حالت سه بعدی اتحاد بینه-کوشی است : [16] [17]

{displaystyle (mathbf {a} times mathbf {b} )cdot (mathbf {c} times mathbf {d})equiv (mathbf {a} cdot mathbf {c})( mathbf {b} cdot mathbf {d} )-(mathbf {a} cdot mathbf {d})(mathbf {b} cdot mathbf {c}).}

اگر a = c و b = d ، این به فرمول بالا ساده می شود.

مولدهای بی نهایت کوچک چرخش [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: ماتریس چرخش بی نهایت کوچک § مولدهای چرخش

ضرب خارجی به راحتی مولدهای بینهایت کوچک چرخش را در R3 توصیف می کند . به طور خاص، اگر n یک بردار واحد در R 3 باشد و R ( φ ,  n ) نشان دهنده چرخش حول محور از طریق مبدا مشخص شده توسط n ، با زاویه φ (برحسب رادیان اندازه گیری می شود، در خلاف جهت عقربه های ساعت وقتی از نوک n مشاهده می شود )، سپس

{displaystyle left.{d over dphi }right|_{phi =0}R(phi ,{boldsymbol {n}}){boldsymbol {x}}={boldsymbol {n }}times {boldsymbol {x}}}

برای هر بردار x در R3 . حاصل ضرب خارجی با n بنابراین مولد بینهایت کوچک چرخش های حدود n را توصیف می کند . این مولدهای بینهایت کوچک جبر Lie so (3) از گروه چرخشی SO(3) را تشکیل می دهند ، و نتیجه را بدست می آوریم که جبر Lie R 3 با ضرب ضربدر جبر Lie so (3) هم شکل است.

روش های جایگزین برای محاسبه [ ویرایش ]

تبدیل به ضرب ماتریس [ ویرایش ]

حاصلضرب خارجی برداری را می توان به صورت حاصل ضرب یک ماتریس متقارن و یک بردار بیان کرد: [16]

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {a} times mathbf {b} =[mathbf {a} ]_{times }mathbf {b} &={begin{bmatrix},0& !-a_{3}&,,a_{2},,a_{3}&0&!-a_{1}-a_{2}&,,a_{1} &,0end{bmatrix}}{begin{bmatrix}b_{1}_{2}_{3}end{bmatrix}}mathbf {a} times mathbf { b} ={[mathbf {b} ]_{times }}^{mathrm {!!T} }mathbf {a} &={begin{bmatrix},0&,,b_ {3}&!-b_{2}-b_{3}&0&,,b_{1},,b_{2}&!-b_{1}&,0 end{bmatrix}}{begin{bmatrix}a_{1}a_{2}a_{3}end{bmatrix}}،end{تراز شده}}}

که در آن بالا T به عملیات جابجایی اشاره دارد و [ a ] × توسط:

{displaystyle [mathbf {a} ]_{times }{stackrel {rm {def}}{=}}{begin{bmatrix},,0&!-a_{3}&, ,,a_{2},,,a_{3}&0&!-a_{1}!-a_{2}&,,a_{1}&, ,0end{bmatrix}}.}

ستون های [ a ] ×,i ماتریس چوله متقارن برای یک بردار a را نیز می توان با محاسبه حاصلضرب خارجی با بردارهای واحد به دست آورد . به این معنا که،

{displaystyle [mathbf {a} ]_{times ,i}=mathbf {a} times mathbf {{hat {e}}_{i}} ,;iin {1, 2،3}}

یا

{displaystyle [mathbf {a} ]_{times }=sum _{i=1}^{3}left(mathbf {a} times mathbf {{hat {e}}_{ i}} right)otimes mathbf {{hat {e}}_{i}}،}

جایی که{displaystyle otimes }اپراتور ضرب خارجی است .

همچنین، اگر a خود به عنوان یک ضرب خارجی بیان شود:

{displaystyle mathbf {a} =mathbf {c} times mathbf {d} }

سپس

{displaystyle [mathbf {a} ]_{times }=mathbf {d} mathbf {c} ^{mathrm {T} }-mathbf {c} mathbf {d} ^{mathrm { T}}.}

اثبات با تعویض

ارزیابی ضرب خارجی می دهد

{displaystyle mathbf {a} =mathbf {c} times mathbf {d} ={begin{pmatrix}c_{2}d_{3}-c_{3}d_{2}c_{3 }d_{1}-c_{1}d_{3}c_{1}d_{2}-c_{2}d_{1}end{pmatrix}}}

بنابراین، سمت چپ برابر است

{displaystyle [mathbf {a} ]_{times }={begin{bmatrix}0&c_{2}d_{1}-c_{1}d_{2}&c_{3}d_{1}-c_{ 1}d_{3}c_{1}d_{2}-c_{2}d_{1}&0&c_{3}d_{2}-c_{2}d_{3}c_{1}d_{ 3}-c_{3}d_{1}&c_{2}d_{3}-c_{3}d_{2}&0end{bmatrix}}}

حالا برای سمت راست،

{displaystyle mathbf {c} mathbf {d} ^{mathrm {T} }={begin{bmatrix}c_{1}d_{1}&c_{1}d_{2}&c_{1}d_{ 3}c_{2}d_{1}&c_{2}d_{2}&c_{2}d_{3}c_{3}d_{1}&c_{3}d_{2}&c_{3} d_{3}end{bmatrix}}}

و جابجایی آن است

{displaystyle mathbf {d} mathbf {c} ^{mathrm {T} }={begin{bmatrix}c_{1}d_{1}&c_{2}d_{1}&c_{3}d_{ 1}c_{1}d_{2}&c_{2}d_{2}&c_{3}d_{2}c_{1}d_{3}&c_{2}d_{3}&c_{3} d_{3}end{bmatrix}}}

ارزیابی سمت راست می دهد

{displaystyle mathbf {d} mathbf {c} ^{mathrm {T} }-mathbf {c} mathbf {d} ^{mathrm {T} }={begin{bmatrix}0&c_{2 }d_{1}-c_{1}d_{2}&c_{3}d_{1}-c_{1}d_{3}c_{1}d_{2}-c_{2}d_{1} &0&c_{3}d_{2}-c_{2}d_{3}c_{1}d_{3}-c_{3}d_{1}&c_{2}d_{3}-c_{3}d_ {2}&0end{bmatrix}}}

مقایسه نشان می دهد که سمت چپ با سمت راست برابر است.

این نتیجه را می توان با استفاده از جبر هندسی به ابعاد بالاتر تعمیم داد . به طور خاص در هر بعد دو بردارها را می توان با ماتریس های متقارن چولوی شناسایی کرد، بنابراین حاصلضرب بین یک ماتریس متقارن چوله و بردار معادل درجه 1 قسمت حاصلضرب دو بردار و بردار است. [18] در سه بعدی دوبردارها دوتایی به بردار هستند، بنابراین حاصلضرب معادل حاصلضرب خارجی است، با دو بردار به جای بردار دوگانه آن. در ابعاد بالاتر، حاصلضرب هنوز قابل محاسبه است، اما دو بردار درجات آزادی بیشتری دارند و معادل بردارها نیستند. [18]

کار با این نماد اغلب بسیار ساده تر است، به عنوان مثال، در هندسه اپی قطبی .

از خواص کلی ضرب خارجی بلافاصله این نتیجه می گیرد که

{displaystyle [mathbf {a} ]_{times },mathbf {a} =mathbf {0} }

و

{displaystyle mathbf {a} ^{mathrm {T} },[mathbf {a} ]_{times }=mathbf {0} }

و از این واقعیت که [ a ] ​​× متقارن است، نتیجه می شود که

{displaystyle mathbf {b} ^{mathrm {T} },[mathbf {a} ]_{times },mathbf {b} =0.}

توسعه ضرب سه گانه فوق الذکر (قانون bac-cab) را می توان به راحتی با استفاده از این نماد ثابت کرد.

همانطور که در بالا ذکر شد ، جبر Lie R3 با ضرب ضربدری با جبر Lie so(3) هم شکل است ، که عناصر آن را می توان با ماتریس های 3×3 چوله متقارن شناسایی کرد. نقشه a → [ a ] × یک هم ریختی بین R 3 و so(3) ارائه می دهد . در این نقشه، حاصلضرب خارجی 3 بردار مربوط به جابجایی ماتریس های 3×3 چوله متقارن است.

نشان می دهدتبدیل ماتریس برای ضرب خارجی با بردارهای پایه متعارف

نماد نمایه برای تانسورها [ ویرایش ]

حاصل ضرب خارجی را می‌توان بر حسب تانسور لوی- سویتا E ijk و ضرب نقطه‌ای η mi تعریف کرد که در تبدیل نماد برداری برای کاربردهای تانسور مفید هستند:

{displaystyle mathbf {c} =mathbf {atimes b} فلش راست چپ c^{m}=sum _{i=1}^{3}sum _{j=1}^{3} sum _{k=1}^{3}eta ^{mi}E_{ijk}a^{j}b^{k}}

جایی که شاخص ها {displaystyle i,j,k}با اجزای برداری مطابقت دارد. این توصیف ضرب خارجی اغلب با استفاده از قرارداد جمع انیشتین به صورت فشرده تر بیان می شود

{displaystyle mathbf {c} =mathbf {atimes b} Leftrightarrow c^{m}=eta ^{mi}E_{ijk}a^{j}b^{k}}

که در آن شاخص های مکرر بر روی مقادیر 1 تا 3 جمع می شوند.

در یک مبنای متعارف مثبت گرا η mi = δ mi ( دلتای کرونکر ) و{displaystyle E_{ijk}=varepsilon _{ijk}} ( نماد لوی-سیویتا ). در آن صورت، این نمایش شکل دیگری از نمایش متقارن متقارن حاصلضرب خارجی است:

{displaystyle [varepsilon _{ijk}a^{j}]=[mathbf {a} ]_{times }.}

در مکانیک کلاسیک : نشان دادن ضرب خارجی با استفاده از نماد لوی- سویتا می تواند باعث شود که تقارن های مکانیکی در زمانی که سیستم های فیزیکی همسانگرد هستند آشکار شود . (مثال: یک ذره را در یک پتانسیل قانون هوک در سه فضای در نظر بگیرید، آزاد است که در سه بعد نوسان کند؛ هیچ یک از این ابعاد به هیچ وجه «ویژه» نیستند، بنابراین تقارن ها در تکانه زاویه ای نشان داده شده از ضرب خارجی نهفته است. توسط نمایندگی لوی- سویتا فوق الذکر مشخص شده است). [ نیازمند منبع ]

یادگاری [ ویرایش ]

Mnemonic برای محاسبه یک ضرب خارجی به صورت برداری

"Xyzzy (مانمونیک)" به اینجا هدایت می شود. برای دیگر کاربردها، Xyzzy را ببینید .

برای یادآوری تعریف ضرب خارجی می توان از کلمه "xyzzy" استفاده کرد.

اگر

{displaystyle mathbf {a} =mathbf {b} times mathbf {c} }

جایی که:

{displaystyle mathbf {a} ={begin{bmatrix}a_{x}a_{y}a_{z}end{bmatrix}}, mathbf {b} ={begin{bmatrix }b_{x}_{y}_{z}end{bmatrix}}، mathbf {c} ={ begin{bmatrix}c_{x}c_{y}c_ {z}end{bmatrix}}}

سپس:

{displaystyle a_{x}=b_{y}c_{z}-b_{z}c_{y}}

{displaystyle a_{y}=b_{z}c_{x}-b_{x}c_{z}}

{displaystyle a_{z}=b_{x}c_{y}-b_{y}c_{x}.}

معادلات دوم و سوم را می‌توان با چرخش عمودی زیرنویس‌ها، x → y → z → x به دست آورد . البته مشکل این است که چگونه معادله اول را به خاطر بسپاریم و دو گزینه برای این منظور در دسترس است: یا به خاطر سپردن دو مورب مربوط به طرح ساروس (آنهایی که حاوی i هستند )، یا به خاطر سپردن دنباله xyzzy.

از آنجایی که اولین مورب در طرح ساروس فقط قطر اصلی ماتریس 3×3 فوق الذکر است، سه حرف اول کلمه xyzzy را می توان به راحتی به خاطر آورد.

تجسم خارجی [ ویرایش ]

مشابه دستگاه یادگاری بالا، یک "صلیب" یا X را می توان بین دو بردار در معادله تجسم کرد. این ممکن است برای به خاطر سپردن فرمول صحیح ضرب خارجی مفید باشد.

اگر

{displaystyle mathbf {a} =mathbf {b} times mathbf {c} }

سپس:

{displaystyle mathbf {a} ={begin{bmatrix}b_{x}_{y}_{z}end{bmatrix}}times {begin{bmatrix}c_{x} c_{y}c_{z}end{bmatrix}}.}

اگر بخواهیم فرمول برای{displaystyle a_{x}}ما به سادگی آن را رها می کنیم{displaystyle b_{x}}و{displaystyle c_{x}}از فرمول، و دو جزء بعدی را پایین بیاورید:

{displaystyle a_{x}={begin{bmatrix}b_{y}_{z}end{bmatrix}}times {begin{bmatrix}c_{y}c_{z}end {bmatrix}}.}

هنگام انجام این کار برای {displaystyle a_{y}}دو عنصر بعدی باید به دور ماتریس بپیچند تا بعد از مولفه z، جزء x بیاید. برای وضوح، هنگام انجام این عملیات برای {displaystyle a_{y}}، دو جزء بعدی باید z و x باشند (به ترتیب). در حالی که برای {displaystyle a_{z}}دو جزء بعدی باید x و y در نظر گرفته شوند.

{displaystyle a_{y}={begin{bmatrix}b_{z}_{x}end{bmatrix}}times {begin{bmatrix}c_{z}c_{x}end {bmatrix}}، a_{z}={begin{bmatrix}b_{x}_{y}end{bmatrix}}times {begin{bmatrix}c_{x}c_{y }end{bmatrix}}}

برای{displaystyle a_{x}}سپس، اگر عملگر خارجی را از یک عنصر در سمت چپ به یک عنصر در سمت راست تجسم کنیم، می‌توانیم اولین عنصر را در سمت چپ بگیریم و به سادگی در عنصری که ضربدر به آن اشاره می‌کند در ماتریس سمت راست ضرب کنیم. سپس عنصر بعدی را در سمت چپ کم می کنیم، در عنصری که ضربدر در اینجا نیز به آن اشاره می کند ضرب می کنیم. این منجر به ما می شود{displaystyle a_{x}}فرمول –

{displaystyle a_{x}=b_{y}c_{z}-b_{z}c_{y}.}

ما می توانیم این کار را به همین روش انجام دهیم {displaystyle a_{y}}و{displaystyle a_{z}}برای ساخت فرمول های مرتبط با آنها.

ریاضیات...
ما را در سایت ریاضیات دنبال می کنید

برچسب : نویسنده : 9math1342d بازدید : 15 تاريخ : چهارشنبه 12 ارديبهشت 1403 ساعت: 18:47

آرشیو مطالب

پيوندهای روزانه

لینک دوستان

خبرنامه