ریاضیات

​ ​تاریخچه تعریف [ ویرایش ]فضای اقلیدسی توسط یونانیان باستان به عنوان انتزاعی از فضای فیزیکی ما معرفی شد . نوآوری بزرگ آنها، که در عناصر اقلیدس ظاهر شد ، ساختن و اثبات تمام هندسه با شروع از چند ویژگی بسیار اساسی بود که از دنیای فیزیکی انتزاع شده است و به دلیل فقدان ابزارهای اساسی تر، نمی توان آنها را از نظر ریاضی اثبات کرد. این ویژگی‌ها در زبان امروزی ، اصل‌ها یا بدیهیات نامیده می‌شوند . این روش برای تعریف فضای اقلیدسی هنوز تحت عنوان هندسه مصنوعی استفاده می شود .در سال 1637، رنه دکارت مختصات دکارتی را معرفی کرد و نشان داد که این امکان کاهش مسائل هندسی را به محاسبات جبری با اعداد فراهم می کند. این کاهش هندسه به جبر یک تغییر عمده در دیدگاه بود، زیرا تا آن زمان اعداد حقیقی بر حسب طول و فواصل تعریف می شدند.هندسه اقلیدسی تا قرن نوزدهم در فضاهایی با ابعاد بیش از سه به کار نمی رفت. لودویگ شلافلی هندسه اقلیدسی را به فضاهایی با بعد n تعمیم داد ، با استفاده از هر دو روش مصنوعی و جبری، و تمام چند توپ های منظم (مشابه های با ابعاد بالاتر جامدات افلاطونی ) را که در فضاهای اقلیدسی با هر بعد وجود دارند، کشف کرد. [4]علیرغم استفاده گسترده از رویکرد دکارت که هندسه تحلیلی نامیده می شد ، تعریف فضای اقلیدسی تا پایان قرن نوزدهم بدون تغییر باقی ماند. معرفی فضاهای برداری انتزاعی امکان استفاده از آنها را در تعریف فضاهای اقلیدسی با یک تعریف صرفا جبری فراهم کرد. نشان داده شده است که این تعریف جدید از نظر بدیهیات هندسی معادل تعریف کلاسیک است. این تعریف جبری است که امروزه بیشتر برای معرفی فضاهای اقلیدسی استفاده می شود.انگیزه تعریف مدرن [ ویرایش ]​ ​تاریخچه تعریف [ ویرایش ]فضای اقلیدسی توسط یونانیان باستان, ...ادامه مطلب

تعریف فنی [ ویرایش ]آفضای برداری اقلیدسی یک فضای حاصلضرب داخلی با ابعاد محدودبر رو یا عداد حقیقی. [6]یک فضای اقلیدسی یک فضای نزدیک بر روی حقیقی است به طوری که فضای برداری مرتبط یک فضای برداری اقلیدسی است. فضاهای اقلیدسی را گاهی فضاهای همبسته اقلیدسی می نامند تا آنها را از فضاهای برداری اقلیدسی متمایز کند. [6]اگر E یک فضای اقلیدسی باشد، فضای برداری مرتبط با آن (فضای برداری اقلیدسی) اغلب نشان داده می شود.بعد فضای اقلیدسی، بعد فضای برداری مرتبط با آن است.عناصر E نقطه نامیده می شوند و معمولا با حروف بزرگ نشان داده می شوند. عناصر ازبردارهای اقلیدسی یا بردارهای آزاد نامیده می شوند . آنها را ترجمه نیز می نامند ، اگرچه، به بیان درست، ترجمه تبدیل هندسی است که حاصل عمل یک بردار اقلیدسی در فضای اقلیدسی است.عمل ترجمه v روی نقطه P نقطه ای را ایجاد می کند که P + v نشان داده می شود . این عمل راضی می کندنکته: + دوم در سمت چپ یک جمع برداری است. all other + نشان دهنده عمل یک بردار روی یک نقطه است. این نماد مبهم نیست، زیرا برای تمایز بین دو معنای + کافی است به ماهیت استدلال سمت چپ آن نگاه کنیم.این حقیقیت که عمل آزاد و متعدی است به این معنی است که برای هر جفت نقطه ( P , Q ) دقیقا یک بردار جابجایی v وجود دارد به طوری که P + v = Q . این بردار v را Q - P یا نشان می دهندپس→.همانطور که قبلا توضیح داده شد، برخی از خصوصیات اساسی فضاهای اقلیدسی ناشی از ساختار فضای نزدیک است. آنها در § ساختار Affine و زیربخش های آن توضیح داده شده اند. خواص حاصل از ضرب داخلی در § ساختار متریک و زیربخش های آن توضیح داده شده است.نمونه های اولیه [ ویرایش ]برای هر فضای برداری، جمع آزادانه و گذرا روی خود فضای برداری عمل می کند, ...ادامه مطلب

​ساختار آفین [ ویرایش ]مقاله اصلی: فضای آفینبرخی از خصوصیات اساسی فضاهای اقلیدسی تنها به این حقیقیت بستگی دارد که فضای اقلیدسی یک فضای وابسته است . به آنها ویژگی های آفین گفته می شود و شامل مفاهیم خطوط، فضاهای فرعی و موازی است که در بخش های بعدی به تفصیل توضیح داده می شود.فضاهای فرعی [ ویرایش ]نوشتار اصلی: تخت (هندسه)بگذارید E یک فضای اقلیدسی باشد وفضای برداری همبند با آنیک زیرفضای مسطح ، اقلیدسی یا زیرفضای وابسته E زیرمجموعه F از E است به طوری کههمانطور که فضای برداری همبند F یک زیرفضای خطی (زیرزفضای برداری) از.یک زیرفضای اقلیدسی F یک فضای اقلیدسی بابه عنوان فضای برداری همبند. این زیرفضای خطیجهت F نیز نامیده می شود .اگر P نقطه ای از F باشد ،برعکس، اگر P نقطه ای از E و باشدزیر فضای خطی است،سپسیک زیر فضای اقلیدسی جهت است. (فضای برداری همبند این زیرفضا است.)فضای برداری اقلیدسی(یعنی یک فضای اقلیدسی که برابر است با) دارای دو نوع زیرفضا است: زیرفضاهای اقلیدسی و زیرفضاهای خطی آن. زیرفضاهای خطی زیرفضاهای اقلیدسی هستند و یک زیرفضای اقلیدسی یک زیرفضای خطی است اگر و فقط اگر حاوی بردار صفر باشد.خطوط و بخش ها [ ویرایش ]در یک فضای اقلیدسی، یک خط یک زیرفضای اقلیدسی از بعد یک است. از آنجایی که یک فضای برداری با بعد یک توسط هر بردار غیر صفر پوشیده شده است، یک خط مجموعه ای از فرم استکه در آن P و Q دو نقطه متمایز از فضای اقلیدسی به عنوان بخشی از خط هستند.نتیجه این است که دقیقاً یک خط وجود دارد که از دو نقطه متمایز (شامل) می گذرد. این بدان معناست که دو خط مجزا حداکثر در یک نقطه قطع می شوند.یک نمایش متقارن تر از خط عبوری از P و Q استجایی که O یک نقطه دلخواه است (لازم نیست در خط).در فضای برداری ا, ...ادامه مطلب