4-فضای اقلیدسی

آخرین مطالب

امکانات وب

4-فضای اقلیدسی

ساختار آفین [ ویرایش ]

مقاله اصلی: فضای آفین

برخی از خصوصیات اساسی فضاهای اقلیدسی تنها به این حقیقیت بستگی دارد که فضای اقلیدسی یک فضای وابسته است . به آنها ویژگی های آفین گفته می شود و شامل مفاهیم خطوط، فضاهای فرعی و موازی است که در بخش های بعدی به تفصیل توضیح داده می شود.

فضاهای فرعی [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: تخت (هندسه)

بگذارید E یک فضای اقلیدسی باشد و ${displaystyle {overright arrow {E}}}$ فضای برداری همبند با آن

یک زیرفضای مسطح ، اقلیدسی یا زیرفضای وابسته E زیرمجموعه F از E است به طوری که

${displaystyle {overrightarrow {F}}=left{{overrightarrow {PQ}}mid Pin F,Qin Fright}}$

همانطور که فضای برداری همبند F یک زیرفضای خطی (زیرزفضای برداری) از. ${displaystyle {overright arrow {E}}.}$ یک زیرفضای اقلیدسی F یک فضای اقلیدسی با $overrightarrow F$ به عنوان فضای برداری همبند. این زیرفضای خطی $overrightarrow F$ جهت F نیز نامیده می شود .

اگر P نقطه ای از F باشد ،

${displaystyle F=left{P+vmid vin {overright arrow {F}}right}.}$

برعکس، اگر P نقطه ای از E و باشد ${displaystyle {overright arrow {V}}}$ زیر فضای خطی است، ${displaystyle {overright arrow {E}},}$ سپس

${displaystyle P+V=left{P+vmid vin Vright}}$

یک زیر فضای اقلیدسی جهت است ${displaystyle {overright arrow {V}}}$ . (فضای برداری همبند این زیرفضا است ${displaystyle {overright arrow {V}}}$ .)

فضای برداری اقلیدسی ${displaystyle {overright arrow {E}}}$ (یعنی یک فضای اقلیدسی که برابر است با ${displaystyle {overright arrow {E}}}$ ) دارای دو نوع زیرفضا است: زیرفضاهای اقلیدسی و زیرفضاهای خطی آن. زیرفضاهای خطی زیرفضاهای اقلیدسی هستند و یک زیرفضای اقلیدسی یک زیرفضای خطی است اگر و فقط اگر حاوی بردار صفر باشد.

خطوط و بخش ها [ ویرایش ]

در یک فضای اقلیدسی، یک خط یک زیرفضای اقلیدسی از بعد یک است. از آنجایی که یک فضای برداری با بعد یک توسط هر بردار غیر صفر پوشیده شده است، یک خط مجموعه ای از فرم است

${displaystyle left{P+lambda {overrightarrow {PQ}}mid lambda in mathbb {R} right},}$

که در آن P و Q دو نقطه متمایز از فضای اقلیدسی به عنوان بخشی از خط هستند.

نتیجه این است که دقیقاً یک خط وجود دارد که از دو نقطه متمایز (شامل) می گذرد. این بدان معناست که دو خط مجزا حداکثر در یک نقطه قطع می شوند.

یک نمایش متقارن تر از خط عبوری از P و Q است

${displaystyle left{O+(1-lambda ){overrightarrow {OP}}+lambda {overrightarrow {OQ}}mid lambda in mathbb {R} right},}$

جایی که O یک نقطه دلخواه است (لازم نیست در خط).

در فضای برداری اقلیدسی، بردار صفر معمولاً برای O انتخاب می شود . این اجازه می دهد تا فرمول قبلی را ساده کنید

${displaystyle left{(1-lambda )P+lambda Qmid lambda in mathbb {R} right}.}$

یک قرارداد استاندارد اجازه استفاده از این فرمول را در هر فضای اقلیدسی می دهد، به فضای آفین § ترکیبات آفین و barycenter مراجعه کنید .

پاره خط ، یا به سادگی پاره ، که به نقاط P و Q می پیوندد ، زیرمجموعه نقاطی است که 0 ≤ ≤ ≤ 1 در فرمول های قبلی است. PQ یا QP نشان داده می شود . به این معنا که

${displaystyle PQ=QP=left{P+lambda {overrightarrow {PQ}}mid 0leq lambda leq 1right}.}$

موازی سازی [ ویرایش ]

دو فضای فرعی S و T با ابعاد یکسان در فضای اقلیدسی اگر جهت یکسانی داشته باشند (یعنی فضای برداری همبند یکسان) موازی هستند. [a] به طور معادل، اگر بردار ترجمه v وجود داشته باشد که یکی را به دیگری ترسیم کند، موازی هستند:

${displaystyle T=S+v.}$

با توجه به یک نقطه P و یک زیرفضای S ، دقیقاً یک زیر فضای وجود دارد که حاوی P و موازی با S است ، که ${displaystyle P+{overright arrow {S}}.}$ در موردی که S یک خط است (زیرزفضای بعد یک)، این ویژگی بدیهیات Playfair است .

نتیجه این است که در یک صفحه اقلیدسی، دو خط یا در یک نقطه به هم می رسند یا موازی هستند.

مفهوم زیرفضاهای موازی به زیرفضاهای با ابعاد مختلف تعمیم داده شده است: اگر جهت یکی از آنها در جهت دیگری باشد، دو زیرفضا موازی هستند.

ساختار متریک [ ویرایش ]

فضای برداری ${displaystyle {overright arrow {E}}}$ همبند با فضای اقلیدسی E یک فضای ضرب درونی است . این به معنای یک فرم دوخطی متقارن است

${displaystyle {begin{aligned}{overrightarrow {E}}times {overrightarrow {E}}&to mathbb {R} (x,y)&mapsto langle x,yrangle end{تراز شده}}}$

که قطعی مثبت است (یعنی $langle x,xrangle$ همیشه برای x ≠ 0 مثبت است ).

حاصلضرب درونی فضای اقلیدسی اغلب حاصل ضرب نقطه ای نامیده می شود و x ⋅ y نشان داده می شود . این به ویژه زمانی است که یک سیستم مختصات دکارتی انتخاب شده باشد، زیرا در این مورد، حاصل ضرب داخلی دو بردار حاصل ضرب نقطه بردار مختصات آنها است . به همین دلیل و به دلایل تاریخی، نماد نقطه بیشتر از نماد براکت برای حاصل ضرب داخلی فضاهای اقلیدسی استفاده می شود. این مقاله این استفاده را دنبال خواهد کرد. به این معنا که $langle x,yrangle$ در ادامه این مقاله x ⋅ y نشان داده می شود .

نرم اقلیدسی بردار x است

${displaystyle |x|={sqrt {xcdot x}}.}$

حاصل ضرب درونی و نرم امکان بیان و اثبات خواص متریک و توپولوژیکی هندسه اقلیدسی را فراهم می کند . زیربخش بعدی اساسی ترین آنها را شرح می دهد. در این بخش‌ها، E یک فضای اقلیدسی دلخواه را نشان می‌دهد و ${displaystyle {overright arrow {E}}}$ فضای برداری ترجمه آن را نشان می دهد.

فاصله و طول [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: فاصله اقلیدسی

فاصله (به طور دقیق تر فاصله اقلیدسی ) بین دو نقطه از فضای اقلیدسی، نرم بردار ترجمه است که یک نقطه را به نقطه دیگر نگاشت می کند . به این معنا که

${displaystyle d(P,Q)={Bigl |}{overrightarrow {PQ}}{vphantom {frac {|}{}}}{Bigr |}.}$

طول یک قطعه PQ فاصله d ( P , Q ) بین نقاط انتهایی آن P و Q است . اغلب نشان داده می شود|پس| ${displaystyle |PQ|}$ .

فاصله یک متریک است ، زیرا قطعی مثبت، متقارن است و نابرابری مثلث را برآورده می کند.

${displaystyle d(P,Q)leq d(P,R)+d(R,Q).}$

علاوه بر این، تساوی درست است اگر و تنها در صورتی که یک نقطه R متعلق به بخش PQ باشد . این نابرابری به این معنی است که طول هر یال یک مثلث کوچکتر از مجموع طول یال های دیگر است. این خاستگاه اصطلاح نابرابری مثلثی است .

با فاصله اقلیدسی، هر فضای اقلیدسی یک فضای متریک کامل است .

متعامد بودن [ ویرایش ]

نوشتارهای اصلی: عمود و متعامد

دو بردار غیر صفر u و v از ${displaystyle {overright arrow {E}}}$ (فضای برداری همبند فضای اقلیدسی E ) عمود یا متعامد هستند اگر حاصل ضرب درونی آنها صفر باشد:

${displaystyle ucdot v=0}$

دو زیرفضای خطی از ${displaystyle {overright arrow {E}}}$ اگر هر بردار غیر صفر بردار اول عمود بر هر بردار غیر صفر بردار دوم باشد متعامد هستند. این بدان معناست که تقاطع زیرفضاهای خطی به بردار صفر کاهش می یابد.

دو خط و به طور کلی دو زیرفضای اقلیدسی (یک خط را می توان به عنوان یک زیرفضای اقلیدسی در نظر گرفت.) متعامد هستند اگر جهت آنها (فضاهای برداری همبند زیرفضاهای اقلیدسی) متعامد باشند. دو خط متعامد را که قطع می کنند عمود می گویند .

دو بخش AB و AC که نقطه پایانی مشترک A دارند عمود هستند یا زاویه قائمه تشکیل می دهند اگر بردارها ${displaystyle {overright arrow {AB}}}$ و ${displaystyle {overright arrow {AC}}}$ متعامد هستند.

اگر AB و AC یک زاویه قائمه تشکیل دهند، یک زاویه دارد

${displaystyle |BC|^{2}=|AB|^{2}+|AC|^{2}.}$

این قضیه فیثاغورث است . اثبات آن در این زمینه آسان است، زیرا با بیان این موضوع بر حسب حاصلضرب درونی، با استفاده از دوخطی بودن و تقارن حاصلضرب داخلی، می توان گفت:

${displaystyle {begin{aligned}|BC|^{2}&={overrightarrow {BC}}cdot {overrightarrow {BC}}&=left({overrightarrow {BA}}+{ overrightarrow {AC}}right)cdot left({overrightarrow {BA}}+{overrightarrow {AC}}right)&={overrightarrow {BA}}cdot {overrightarrow {BA }}+{overrightarrow {AC}}cdot {overrightarrow {AC}}-2{overrightarrow {AB}}cdot {overrightarrow {AC}}&={overrightarrow {AB}}cdot {overrightarrow {AB}}+{overrightarrow {AC}}cdot {overrightarrow {AC}}&=|AB|^{2}+|AC|^{2}.end{تراز شده}} }$

${displaystyle {overrightarrow {AB}}cdot {overrightarrow {AC}}=0}$ از آنجایی که این دو بردار متعامد هستند استفاده می شود.

زاویه [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: زاویه

زوایای مثبت و منفی در صفحه جهت دار

زاویه θ (غیر جهت‌دار) بین دو بردار غیرصفر x و y در ${displaystyle {overright arrow {E}}}$ است

${displaystyle theta =arccos left({frac {xcdot y}{left|xright|left|yright|}}right)}$

که در آن arccos مقدار اصلی تابع آرکوزین است . با نابرابری کوشی-شوارتز ، استدلال آرکوزین در بازه [-1، 1] است . بنابراین θ حقیقی است و 0 ≤ θ ≤ π (یا 0 ≤ θ ≤ 180 اگر زاویه ها بر حسب درجه اندازه گیری شوند).

زاویه ها در خط اقلیدسی مفید نیستند، زیرا می توانند فقط 0 یا π باشند .

در یک صفحه اقلیدسی جهت دار ، می توان زاویه جهت دو بردار را تعریف کرد. سپس زاویه جهت دو بردار x و y مخالف زاویه جهت y و x است . در این حالت، زاویه دو بردار می تواند هر مقدار مدول یک مضرب صحیح 2 π داشته باشد . به طور خاص، یک زاویه بازتابی π θ 2 π برابر با زاویه منفی - π θ - 2 π 0 است .

زاویه دو بردار اگر در اعداد مثبت ضرب شوند تغییر نمی کند. به طور دقیق تر، اگر x و y دو بردار باشند و λ و μ اعداد حقیقی باشند، آنگاه

${displaystyle operatorname {angle} (lambda x,mu y)={begin{cases}operatorname {angle} (x,y)qquad qquad {text{if }}lambda {text { و }}mu {text{ علامت یکسانی دارند}}pi -operatorname {angle} (x,y)qquad {text{در غیر این صورت}}.end{موارد}}}$

اگر A ، B و C سه نقطه در فضای اقلیدسی باشند، زاویه قطعات AB و AC زاویه بردارها است. ${displaystyle {overright arrow {AB}}}$ ${displaystyle {overrightarrow {AC}}.}$ از آنجایی که ضرب بردارها در اعداد مثبت زاویه را تغییر نمی دهد، می توان زاویه دو نیم خط با نقطه اولیه A را تعریف کرد: زاویه پاره های AB و AC است که در آن B و C نقاط دلخواه هستند، یک روی هر نیم خط اگرچه کمتر مورد استفاده قرار می گیرد، می توان به طور مشابه زاویه پاره ها یا نیم خطوطی را که نقطه اولیه مشترکی ندارند تعریف کرد.

زاویه دو خط به صورت زیر تعریف می شود. اگر θ زاویه دو پاره، یکی روی هر خط باشد، زاویه هر دو پاره دیگر، یکی در هر خط، θ یا π - θ است . یکی از این زوایا در بازه [0, π /2] و دیگری در [ π /2, π ] است . زاویه غیر جهت‌دار دو خط، در بازه [0, π /2] است . در یک صفحه اقلیدسی گرا، زاویه جهت دو خط متعلق به بازه [- π /2، π/2] است..

مختصات دکارتی [ ویرایش ]

همچنین ببینید: سیستم مختصات دکارتی

هر فضای برداری اقلیدسی دارای یک مبنای متعامد است (در واقع، بی نهایت در بعد بالاتر از یک، و دو در بعد یک)، که یک مبنای است. ${displaystyle (e_{1},dots,e_{n})}$ بردارهای واحد ( ${displaystyle |e_{i}|=1}$ ) که متعامد جفتی هستند ( ${displaystyle e_{i}cdot e_{j}=0}$ برای i ≠ j ). به طور دقیق تر، با توجه به هر مبنایی ${displaystyle (b_{1},dots,b_{n})،}$ فرآیند گرم اشمیت یک مبنای متعارف را محاسبه می کند به طوری که برای هر i ، گستره های خطی(ه1،…،همن) ${displaystyle (e_{1},dots,e_{i})}$ و ${displaystyle (b_{1},dots,b_{i})}$ برابر هستند. [7]

با توجه به فضای اقلیدسی E ، یک قاب دکارتی مجموعه ای از داده های متشکل از یک مبنای متعارف از، ${displaystyle {overright arrow {E}},}$ و نقطه ای از E که مبدأ نامیده می شود و اغلب به او نشان داده می شود . یک قاب دکارتی ${displaystyle (O,e_{1},dots,e_{n})}$ امکان تعریف مختصات دکارتی برای هر دو E و ${displaystyle {overright arrow {E}}}$ به روش زیر.

مختصات دکارتی بردار v از ${displaystyle {overright arrow {E}}}$ ضرایب v بر اساس متعارف هستند. ${displaystyle e_{1},dots,e_{n}.}$ برای مثال مختصات دکارتی یک بردار $v$ بر اساس متعارف(ه1،ه2،ه3) ${displaystyle (e_{1},e_{2},e_{3})}$ (که ممکن است به عنوان نامگذاری شود $(x,y,z)$ به عنوان یک قرارداد) در یک فضای اقلیدسی 3 بعدی است ${displaystyle (alpha _{1},alpha _{2},alpha _{3})}$ اگر ${displaystyle v=alpha _{1}e_{1}+alpha _{2}e_{2}+alpha _{3}e_{3}}$ . از آنجایی که مبنای متعارف است، ضریب i-امین است $alpha _{i}$ برابر حاصلضرب نقطه است ${displaystyle vcdot e_{i}.}$

مختصات دکارتی نقطه P از E مختصات دکارتی بردار هستند ${displaystyle {overrightarrow {OP}}.}$

سایر مختصات [ ویرایش ]

مختصات کج سه بعدی

مقاله اصلی: سیستم مختصات

از آنجایی که فضای اقلیدسی یک فضای آفین است ، می توان یک قاب آفین را روی آن در نظر گرفت که همان قاب اقلیدسی است، با این تفاوت که نیازی نیست که اساس متعامد باشد. این مختصات وابسته را تعریف می‌کند که گاهی مختصات کج نامیده می‌شود تا تاکید شود بردارهای پایه متعامد زوجی نیستند.

یک مبنای وابسته به فضای اقلیدسی با بعد n مجموعه ای از n + 1 نقطه است که در یک ابرصفحه وجود ندارد. یک پایه وابسته مختصات باری مرکزی را برای هر نقطه تعریف می کند.

بسیاری از سیستم های مختصات دیگر را می توان بر روی فضای اقلیدسی E با بعد n به روش زیر تعریف کرد. فرض کنید f یک همومورفیسم (یا اغلب یک دیفئومورفیسم ) از یک زیرمجموعه باز متراکم از E به یک زیر مجموعه باز از. $mathbb{R} ^{n}.$ مختصات یک نقطه x از E اجزای f ( x ) هستند . سیستم مختصات قطبی (بعد 2) و سیستم مختصات کروی و استوانه ای (بعد 3) به این ترتیب تعریف می شوند.

برای نقاطی که خارج از دامنه f هستند، مختصات ممکن است گاهی اوقات به عنوان حد مختصات نقاط همسایه تعریف شوند، اما این مختصات ممکن است به طور یکتا تعریف نشده باشند و ممکن است در همسایگی نقطه پیوسته نباشند. به عنوان مثال، برای سیستم مختصات کروی، طول جغرافیایی در قطب تعریف نشده است، و در ضد نصف النهار ، طول جغرافیایی به طور ناپیوسته از -180 درجه تا +180 درجه عبور می کند.

این روش برای تعریف مختصات به راحتی به سایر ساختارهای ریاضی و به ویژه به منیفولدها گسترش می یابد .

ایزومتریکی بین دو فضای متریک یک بهی ک و پوشا است که فاصله را حفظ می کند، یعنی [ b]

${displaystyle d(f(x),f(y))=d(x,y).}$

در مورد فضای برداری اقلیدسی، ایزومتری که مبدأ را به مبدأ ترسیم می کند، نرم را حفظ می کند.

${displaystyle |f(x)|=|x|,}$

زیرا نرم یک بردار فاصله آن از بردار صفر است. همچنین ضرب داخلی را حفظ می کند

${displaystyle f(x)cdot f(y)=xcdot y,}$

از آنجا که

${displaystyle xcdot y={frac {1}{2}}left(|x+y|^{2}-|x|^{2}-|y|^{ 2}راست).}$

ایزومتریک فضاهای برداری اقلیدسی یک ایزومورفیسم خطی است . [ج] [8]

یک ایزومتری ${displaystyle fcolon Eto F}$ فضاهای اقلیدسی ایزومتری را تعریف می کند:→ ${displaystyle {overrightarrow {f}}colon {overrightarrow {E}}to {overrightarrow {F}}}$ فضاهای برداری اقلیدسی همبند. این بدان معناست که دو فضای اقلیدسی ایزومتریک دارای ابعاد یکسانی هستند. برعکس، اگر E و F فضاهای اقلیدسی باشند ، O ∈ E , O ∈ F و:→ ${displaystyle {overrightarrow {f}}colon {overrightarrow {E}}to {overrightarrow {F}}}$ یک ایزومتریک است، سپس نقشه ${displaystyle fcolon Eto F}$ تعریف شده بوسیله ی

${displaystyle f(P)=O'+{overrightarrow {f}}left({overrightarrow {OP}}right)}$

ایزومتری از فضاهای اقلیدسی است.

از نتایج قبلی چنین برمی‌آید که ایزومتریکی از فضاهای اقلیدسی خطوط را به خطوط، و به طور کلی‌تر زیرفضاهای اقلیدسی را به زیرفضاهای اقلیدسی با همان بعد، ترسیم می‌کند، و اینکه محدودیت ایزومتریک در این زیرفضاها، ایزومتریک‌های این زیرفضاها هستند.

ایزومتریک با نمونه های اولیه [ ویرایش ]

اگر E یک فضای اقلیدسی است، فضای برداری همبند با آن ${displaystyle {overright arrow {E}}}$ را می توان به عنوان فضای اقلیدسی در نظر گرفت. هر نقطه O ∈ E ایزومتریک فضاهای اقلیدسی را تعریف می کند

${displaystyle Pmapsto {overrightarrow {OP}},}$

که O را به بردار صفر نگاشت می کند و هویت نقشه خطی همبند را دارد. ایزومتریک معکوس نقشه است

${displaystyle vmapsto O+v.}$

یک قاب اقلیدسی ${displaystyle (O,e_{1},dots,e_{n})}$ امکان تعریف نقشه را فراهم می کند

${displaystyle {begin{aligned}E&to mathbb {R} ^{n}P&mapsto left(e_{1}cdot {overright arrow {OP}},dots ,e_{n} cdot {overrightarrow {OP}}right),end{aligned}}}$

که ایزومتری از فضاهای اقلیدسی است. ایزومتریک معکوس است

${displaystyle {begin{aligned}mathbb {R} ^{n}&to E(x_{1}dots,x_{n})&mapsto left(O+x_{1}e_ {1}+dots +x_{n}e_{n}right).end{تراز شده}}}$

این بدان معنی است که تا یک هم شکلی، دقیقاً یک فضای اقلیدسی از یک بعد معین وجود دارد.

این توجیهی است که بسیاری از نویسندگان درباره آن صحبت می کنند $mathbb {R} ^{n}$ به عنوان فضای اقلیدسی بعد n .

گروه اقلیدسی [ ویرایش ]

مقالات اصلی: گروه اقلیدسی و تبدیل صلب

ایزومتری از فضای اقلیدسی به خود را ایزومتریک اقلیدسی ، تبدیل اقلیدسی یا تبدیل صلب می نامند . دگرگونی های صلب فضای اقلیدسی یک گروه (تحت ترکیب ) را تشکیل می دهد که گروه اقلیدسی نامیده می شود و اغلب با E( n ) ISO( n ) نشان داده می شود .

ساده ترین تبدیل های اقلیدسی ترجمه ها هستند

${displaystyle Pto P+v.}$

آنها با بردارها مطابقت دوگانه دارند. این دلیلی است برای نامیدن فضای ترجمه ها فضای برداری همبند با فضای اقلیدسی. ترجمه ها یک زیر گروه عادی از گروه اقلیدسی را تشکیل می دهند.

ایزومتریک اقلیدسی f فضای اقلیدسی E یک ایزومتری خطی را تعریف می کند. ${displaystyle {overright arrow {f}}}$ فضای برداری همبند (منظور از ایزومتری خطی ، ایزومتری است که یک نقشه خطی نیز هست ) به صورت زیر: نشان دادن بردار با ${displaystyle {overrightarrow {PQ}}}$ ، اگر O یک نقطه دلخواه از E باشد ، یکی دارد

${displaystyle {overrightarrow {f}}({overrightarrow {OP}})=f(P)-f(O).}$

اثبات اینکه این یک نقشه خطی است که به انتخاب O بستگی ندارد، ساده است.

نقشه ${displaystyle fto {overright arrow {f}}}$ یک هممورفیسم گروهی از گروه اقلیدسی به گروه ایزومتریک های خطی است که به آن گروه متعامد می گویند . هسته این هممورفیسم گروه ترجمه است که نشان می دهد زیرگروه عادی از گروه اقلیدسی است.

ایزومتریک هایی که نقطه معین P را ثابت می کنند، زیر گروه تثبیت کننده گروه اقلیدسی را نسبت به P تشکیل می دهند . محدودیت این تثبیت کننده هممورفیسم گروه فوق یک هم شکلی است. بنابراین ایزومتریک هایی که نقطه معین را ثابت می کنند، گروهی هم شکل با گروه متعامد تشکیل می دهند.

فرض کنید P یک نقطه، f یک ایزومتری، و t ترجمه ای باشد که P را به f ( P ) نشان می دهد . ایزومتری ${displaystyle g=t^{-1}circ f}$ P را رفع می کند . بنابراین ${displaystyle f=tcirc g,}$ و گروه اقلیدسی ضرب نیمه مستقیم گروه ترجمه و گروه متعامد است.

گروه متعامد ویژه زیرگروه عادی گروه متعامد است که دستی را حفظ می کند . زیر گروهی از شاخص دو از گروه متعامد است . تصویر معکوس آن توسط گروه هممورفیسم ${displaystyle fto {overright arrow {f}}}$ یک زیرگروه عادی از شاخص دو از گروه اقلیدسی است که گروه اقلیدسی ویژه یا گروه جابجایی نامیده می شود . عناصر آن را حرکات صلب یا جابجایی می نامند .

حرکات صلب شامل هویت ، ترجمه، چرخش (حرکات صلب که حداقل یک نقطه را ثابت می کنند) و همچنین حرکات پیچی می باشد .

نمونه‌های معمولی از تبدیل‌های صلب که حرکات صلب نیستند، بازتاب‌ها هستند، که تبدیل‌های صلب هستند که یک ابر صفحه را ثابت می‌کنند و هویت نیستند. آنها همچنین دگرگونی هایی هستند که شامل تغییر علامت یک مختصات در چارچوب اقلیدسی می شوند.

از آنجایی که گروه اقلیدسی ویژه زیر گروهی از شاخص دو از گروه اقلیدسی است، با توجه به بازتاب r ، هر تبدیل صلب که حرکت صلب نیست حاصل ضرب r و حرکت صلب است. بازتاب لغزشی نمونه ای از تبدیل صلب است که یک حرکت صلب یا بازتاب نیست.

تمام گروه هایی که در این بخش در نظر گرفته شده اند، گروه های دروغ و گروه های جبری هستند .

مقاله اصلی: فضای n حقیقی § خواص توپولوژیکی

فاصله اقلیدسی فضای اقلیدسی را به یک فضای متریک و در نتیجه فضای توپولوژیکی تبدیل می کند . این توپولوژی را توپولوژی اقلیدسی می نامند . در شرایطی که، $mathbb {R} ^{n}،$ این توپولوژی همچنین توپولوژی ضرب است .

مجموعه های باز زیرمجموعه هایی هستند که شامل یک توپ باز در اطراف هر یک از نقاط خود هستند. به عبارت دیگر، توپ های باز پایه توپولوژی را تشکیل می دهند .

بعد توپولوژیکی فضای اقلیدسی برابر با بعد آن است. این بدان معناست که فضاهای اقلیدسی با ابعاد مختلف همومورف نیستند . علاوه بر این، قضیه تغییرناپذیری دامنه بیان می‌کند که زیرمجموعه‌ای از فضای اقلیدسی باز است (برای توپولوژی زیرفضا ) اگر و تنها در صورتی که به زیرمجموعه باز فضای اقلیدسی با همان بعد همومورف باشد.

فضاهای اقلیدسی کامل و به صورت محلی فشرده هستند . یعنی یک زیرمجموعه بسته از فضای اقلیدسی اگر محدود باشد (یعنی در یک توپ موجود باشد) فشرده است. به طور خاص، توپ های بسته فشرده هستند.

تعاریف بدیهی [ ویرایش ]

تعریف فضاهای اقلیدسی که در این مقاله توضیح داده شده است اساساً با تعریف اقلیدس متفاوت است . در واقع، اقلیدس به طور رسمی فضا را تعریف نکرد، زیرا تصور می شد که این فضا توصیفی از جهان فیزیکی است که مستقل از ذهن انسان وجود دارد. نیاز به یک تعریف رسمی تنها در پایان قرن نوزدهم، با معرفی هندسه های غیر اقلیدسی ظاهر شد .

دو رویکرد متفاوت استفاده شده است. فلیکس کلاین پیشنهاد کرد که هندسه ها را از طریق تقارن آنها تعریف کنیم . ارائه فضاهای اقلیدسی ارائه شده در این مقاله، اساساً از برنامه ارلانگن او با تأکید بر گروه های ترجمه و ایزومتریک صادر شده است.

از سوی دیگر، دیوید هیلبرت مجموعه ای از بدیهیات را با الهام از فرضیات اقلیدس پیشنهاد کرد . آنها به هندسه مصنوعی تعلق دارند، زیرا هیچ تعریفی از اعداد حقیقی ندارند . بعدها جی دی بیرکوف و آلفرد تارسکی مجموعه های ساده تری از بدیهیات را پیشنهاد کردند که از اعداد حقیقی استفاده می کنند (به بدیهیات بیرکوف و بدیهیات تارسکی مراجعه کنید ).

امیل آرتین در جبر هندسی ثابت کرده است که همه این تعاریف از فضای اقلیدسی معادل هستند. [9] اثبات اینکه همه تعاریف فضاهای اقلیدسی اصول هیلبرت را برآورده می‌کنند و آنهایی که شامل اعداد حقیقی (از جمله تعریف فوق) هستند، تقریباً آسان است. بخش دشوار اثبات آرتین به شرح زیر است. در بدیهیات هیلبرت، همخوانی یک رابطه هم ارزی در بخش ها است. بنابراین می توان طول یک قطعه را به عنوان کلاس هم ارزی آن تعریف کرد. بنابراین باید ثابت کرد که این طول دارای ویژگیهایی است که اعداد حقیقی غیرمنفی را مشخص می کنند. آرتین این را با بدیهیاتی معادل بدیهیات هیلبرت ثابت کرد.

از زمان یونان باستان ، فضای اقلیدسی برای مدل سازی اشکال در دنیای فیزیکی استفاده می شد. بنابراین در بسیاری از علوم مانند فیزیک , مکانیک , و ستاره شناسی استفاده می شود . همچنین به طور گسترده در تمام زمینه های فنی که مربوط به اشکال، شکل، مکان و موقعیت هستند، مانند معماری ، ژئودزی ، توپوگرافی ، ناوبری ، طراحی صنعتی یا نقشه کشی فنی استفاده می شود .

فضای ابعاد بالاتر از سه در چندین نظریه مدرن فیزیک رخ می دهد. بعد بالاتر را ببینید . آنها همچنین در فضاهای پیکربندی سیستم های فیزیکی رخ می دهند .

علاوه بر هندسه اقلیدسی ، فضاهای اقلیدسی نیز به طور گسترده در سایر زمینه های ریاضیات استفاده می شود. فضاهای مماس منیفولدهای دیفرانسیل پذیر ، فضاهای برداری اقلیدسی هستند. به طور کلی، منیفولد فضایی است که به صورت محلی با فضاهای اقلیدسی تقریب می شود. بیشتر هندسه های غیر اقلیدسی را می توان با یک منیفولد مدل کرد و در فضای اقلیدسی با ابعاد بالاتر جاسازی کرد . به عنوان مثال، یک فضای بیضوی را می توان با یک بیضی مدل کرد . در فضای اقلیدسی نمایش اشیایی ریاضی که ماهیت هندسی پیشینی ندارند معمول است. یک مثال در میان بسیاری، نمایش معمولی است نمودارها _

سایر فضاهای هندسی [ ویرایش ]

از زمان معرفی هندسه‌های غیراقلیدسی در پایان قرن نوزدهم ، فضاهای زیادی در نظر گرفته شده‌اند که می‌توان در مورد آن‌ها استدلال هندسی را مانند فضاهای اقلیدسی انجام داد. به طور کلی، آنها برخی از ویژگی ها را با فضاهای اقلیدسی به اشتراک می گذارند، اما ممکن است ویژگیهایی نیز داشته باشند که می توانند نسبتاً عجیب به نظر برسند. برخی از این فضاها از هندسه اقلیدسی برای تعریف خود استفاده می کنند یا می توانند به عنوان زیرفضاهای فضای اقلیدسی با ابعاد بالاتر مدل شوند. هنگامی که چنین فضایی با بدیهیات هندسی تعریف می شود ، جاسازی فضا در فضای اقلیدسی یک راه استاندارد برای اثبات سازگاری تعریف آن است، یا به طور دقیق تر برای اثبات سازگاری نظریه آن، اگر هندسه اقلیدسی سازگار است (که قابل اثبات نیست).

فضای آفین [ ویرایش ]

مقاله اصلی: فضای آفین

فضای اقلیدسی فضایی وابسته به متریک است . فضاهای آفین کاربردهای بسیار دیگری در ریاضیات دارند. به طور خاص، همانطور که آنها در هر زمینه تعریف می شوند ، امکان انجام هندسه را در زمینه های دیگر فراهم می کنند.

به محض در نظر گرفتن سؤالات غیر خطی، به طور کلی مفید است که فضاهای وابسته را روی اعداد مختلط به عنوان بسط فضاهای اقلیدسی در نظر بگیریم. برای مثال، یک دایره و یک خط همیشه دارای دو نقطه تقاطع (احتمالاً متمایز نیستند) در فضای ترکیبی مختلط هستند. بنابراین، بیشتر هندسه جبری در فضاهای وابسته مختلط و فضاهای وابسته بر روی میدان‌های بسته جبری ساخته می‌شود . بنابراین اشکالی که در هندسه جبری در این فضاهای نزدیک مورد مطالعه قرار می گیرند، انواع جبری آفین نامیده می شوند .

فضاهای وابسته روی اعداد گویا و به طور کلی بر روی فیلدهای اعداد جبری پیوندی بین هندسه (جبری) و نظریه اعداد ایجاد می کنند . به عنوان مثال، آخرین قضیه فرما را می توان بیان کرد: "یک منحنی فرما با درجه بالاتر از دو، هیچ نقطه ای در صفحه وابستگی بر روی منطقی ها ندارد."

هندسه در فضاهای وابسته در یک میدان محدود نیز به طور گسترده مورد مطالعه قرار گرفته است. به عنوان مثال، منحنی های بیضوی بر روی میدان های محدود به طور گسترده در رمزنگاری استفاده می شود .

فضای تصویری [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: فضای تصویری

در اصل، فضاهای تصویری با افزودن « نقاط در بی‌نهایت » به فضاهای اقلیدسی، و به‌طور کلی به فضاهای وابسته، معرفی شده‌اند تا ادعای «دو خط همسطح دقیقاً در یک نقطه به هم می‌رسند» درست باشد. فضای تصویری با فضاهای اقلیدسی و وابسته در خاصیت همسانگرد بودن اشتراک دارد، یعنی هیچ خاصیتی از فضا وجود ندارد که امکان تمایز بین دو نقطه یا دو خط را فراهم کند. بنابراین، معمولاً از یک تعریف همسانگرد تر استفاده می شود که شامل تعریف فضای تصویری به عنوان مجموعه خطوط برداری در یک فضای برداری با ابعاد یک دیگر است.

در مورد فضاهای وابسته، فضاهای تصویری بر روی هر میدانی تعریف می شوند و فضاهای اساسی هندسه جبری هستند .

هندسه های غیر اقلیدسی [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: هندسه نااقلیدسی

هندسه نااقلیدسی معمولاً به فضاهای هندسی اطلاق می شود که در آن فرض موازی نادرست است. آنها شامل هندسه بیضوی ، که در آن مجموع زوایای یک مثلث بیش از 180 درجه است، و هندسه هذلولی ، که در آن این مجموع کمتر از 180 درجه است. معرفی آنها در نیمه دوم قرن نوزدهم و اثبات سازگاری نظریه آنها ( اگر هندسه اقلیدسی متناقض نباشد) یکی از پارادوکس هایی است که منشأ بحران اساسی در ریاضیات ابتدای قرن بیستم است. انگیزه نظام‌سازی نظریه‌های بدیهی در ریاضیات را برانگیخت.

فضاهای منحنی [ ویرایش ]

مقالات اصلی: منیفولد و منیفولد ریمانی

منیفولد فضایی است که در مجاورت هر نقطه شبیه فضای اقلیدسی است. از نظر فنی، منیفولد یک فضای توپولوژیکی است ، به طوری که هر نقطه دارای یک همسایگی است که به زیر مجموعه باز فضای اقلیدسی همومورف است. منیفولدها را می‌توان با افزایش درجه این "شباهت" به منیفولدهای توپولوژیکی ، منیفولدهای متمایز ، منیفولدهای صاف و منیفولدهای تحلیلی طبقه‌بندی کرد . با این حال، هیچ یک از این نوع «شباهت ها» به فاصله ها و زاویه ها، حتی تقریباً، احترام نمی گذارند.

فواصل و زوایا را می توان بر روی یک منیفولد صاف با ارائه یک متریک اقلیدسی متغییر بر روی فضاهای مماس در نقاط منیفولد تعریف کرد (این فضاهای مماس فضاهای برداری اقلیدسی هستند). این منجر به منیفولد ریمانی می شود . به طور کلی، خطوط مستقیم در منیفولد ریمانی وجود ندارند، اما نقش آنها توسط ژئودزیک ها ، که "کوتاه ترین مسیرها" بین دو نقطه هستند، ایفا می شود. این اجازه می دهد تا فواصل را که در امتداد ژئودزیک ها اندازه گیری می شوند، و زوایای بین ژئودزیک ها، که زاویه مماس آنها در فضای مماس در محل تقاطع آنها است، تعیین کنیم. بنابراین، منیفولدهای ریمانی به صورت محلی مانند فضای اقلیدسی که خم شده است رفتار می کنند.

فضاهای اقلیدسی به طور پیش پا افتاده ای منیفولدهای ریمانی هستند. نمونه ای که این خوب را نشان می دهد، سطح یک کره است . در این حالت ژئودزیک ها کمان های دایره ای بزرگ هستند که در زمینه جهت یابی به آن ها ارتودوم می گویند . به طور کلی، فضاهای هندسه های غیر اقلیدسی را می توان به صورت منیفولدهای ریمانی درک کرد.

فضای شبه اقلیدسی [ ویرایش ]

حاصل ضرب درونی یک فضای برداری حقیقی یک فرم دوخطی قطعی مثبت است و بنابراین با یک فرم درجه دوم قطعی مثبت مشخص می شود . یک فضای شبه اقلیدسی یک فضای وابسته با یک فضای برداری حقیقی همبند با یک فرم درجه دوم غیر منحط است (که ممکن است نامعین باشد ).

یک مثال اساسی از چنین فضایی، فضای مینکوفسکی است که فضا-زمان نسبیت خاص اینشتین است . این یک فضای چهار بعدی است که متریک با فرم درجه دوم تعریف می شود

${displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}،}$

که در آن آخرین مختصات ( t ) زمانی است و سه مختصات دیگر ( x , y , z ) مکانی هستند.

برای در نظر گرفتن گرانش ، نسبیت عام از یک منیفولد شبه ریمانی استفاده می کند که دارای فضاهای مینکوفسکی به عنوان فضاهای مماس است . انحنای این منیفولد در یک نقطه تابعی از مقدار میدان گرانشی در این نقطه است.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

^ ممکن است به زمینه یا نویسنده بستگی داشته باشد که آیا یک زیرفضا با خودش موازی است یا خیر
^ اگر شرط یک به یک و پوشا بودن حذف شود، تابعی که فاصله را حفظ می کند، لزوماً تزریقی است و ایزومتری از دامنه آن تا تصویر آن است.
^ اثبات: باید آن را ثابت کرد ${displaystyle f(lambda x+mu y)-lambda f(x)-mu f(y)=0}$ . برای آن کافی است ثابت کنیم که مربع نرم سمت چپ صفر است. با استفاده از دوخطی بودن حاصلضرب داخلی، این نرم مربع را می توان به یک ترکیب خطی از، ${displaystyle |f(x)|^{2}،}$ ${displaystyle |f(y)|^{2}،}$ و ${displaystyle f(x)cdot f(y).}$ از آنجایی که f یک ایزومتری است، این ترکیب خطی از ${displaystyle |x|^{2}،|y|^{2}،}$ و ${displaystyle xcdot y,}$ که به صفر ساده می شود.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_space

ریاضیات...

ما را در سایت ریاضیات دنبال می کنید

برچسب : نویسنده : 9math1342d بازدید : 236 تاريخ : پنجشنبه 4 اسفند 1401 ساعت: 14:54

4-فضای اقلیدسی

آخرین مطالب

امکانات وب