ریاضیات

​از ویکیپدیا، دانشنامه آزاداین مقاله شامل فهرستی از مراجع ، خواندن مرتبط یا پیوندهای خارجی است ، اما منابع آن نامشخص است زیرا فاقد نقل قول های درون خطی است . لطفا با معرفی نقل قول های دقیق تر به بهبود این مقاله کمک کنید. ( ژانویه 2024 ) ( نحوه و زمان حذف این پیام الگو را بیاموزید )برای فضاهای تحلیلی غیر ارمیدسی، به فضای برکوویچ مراجعه کنید .فضای تحلیلی تعمیم یک منیفولد تحلیلی است که امکان تکینگی ها را فراهم می کند . فضای تحلیلی به فضایی گفته می شود که به صورت محلی با انواع تحلیلی یکسان است . آنها در مطالعه چندین متغیر مختلط برجسته هستند ، اما در زمینه های دیگر نیز ظاهر می شوند.تعریف [ ویرایش ]فیلد k را با ارزش گذاری ثابت کنید. فرض کنید که فیلد کامل است و با توجه به این ارزش گذاری گسسته نیست. به عنوان مثال، این شامل R و C با توجه به مقادیر مطلق معمول آنها، و همچنین فیلدهای سری Puiseux با توجه به ارزش گذاری طبیعی آنها می شود.فرض کنید U یک زیرمجموعه باز از k n باشد و f 1 , ..., f k مجموعه ای از توابع تحلیلی روی U باشد . مکان ناپدید شدن مشترک f 1 , ..., f k را با Z نشان دهید ، یعنی اجازه دهید Z = { x | f 1 ( x ) = ... = f k ( x ) = 0 }. Z یک واریته تحلیلی است.فرض کنید که شیف ساختار U است. سپس Z یک شیف ساختاری دارد، جایی کهایده آل تولید شده توسط f 1 ، ...، f k است . به عبارت دیگر، شیف ساختار Z شامل تمام توابع روی مدول U است که راه های ممکنی که می توانند در خارج از Z متفاوت باشند .فضای تحلیلی یک فضای حلقه دار محلی استبه طوری که در اطراف هر نقطه x از X یک همسایه باز U وجود دارد به طوری کههم‌شکل (به عنوان فضاهای حلقه‌دار محلی) به یک واریته تحلیلی با ساختار ساختاری آن است. چنین ایزومو, ...ادامه مطلب

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاددر تحلیل تابعی و حوزه‌های مرتبط ریاضیات ، فضای برداری توپولوژیکی قابل اندازه‌گیری (مثلاً شبه‌سنجی ) (TVS) TV است که توپولوژی آن توسط یک متریک (مثلاً شبه‌سنجی ) القا می‌شود. یک فضای LM یک حد القایی از دنباله ای از تلویزیون های متریزاسیون محدب محلی است .شبه سنجی و متریک [ ویرایش ]یک شبه سنجی روی یک مجموعهیک نقشه استد:ارضای خواص زیر:;تقارن : برای همه ،;زیرافزودنی : برای همه .یک شبه سنجی در صورتی متریک نامیده می شود که:هویت غیر قابل تشخیص : برای همه،،اگرسپس.اولتراپسودومترییک شبه سنجیبراگر موارد زیر را برآورده کند، اولتراپسودومتری یا شبه سنجی قوی نامیده می شود :نابرابری مثلث قوی .فضای شبه سنجیفضای شبه سنجی یک جفت استمتشکل از یک مجموعهو یک شبه سنجیبربه طوری کهتوپولوژی 's با توپولوژی on یکسان استالقا شده توسطد.فضای لی را می نامیمیک فضای متریک (مثلاً فضای فراسودومتری ) زمانی کهیک متریک است (به عنوان مثال اولتراپسودومتری).توپولوژی القا شده توسط شبه سنجی [ ویرایش ]اگردیک شبه سنجی روی یک مجموعه استسپس مجموعه ای از توپ های باز :مانندمحدوده بیش ازومحدوده بیش از اعداد حقیقی مثبت، پایه ای برای توپولوژی در تشکیل می دهدکه نامیده می شوددتوپولوژی یا توپولوژی شبه سنجی درالقا شده توسطد.کنوانسیون : اگریک فضای شبه سنجی است وبه عنوان یک فضای توپولوژیکی در نظر گرفته می شود ، پس مگر اینکه خلاف آن نشان داده شود، باید فرض شود کهدارای توپولوژی القا شده توسطد.فضای لی سنجیفضای توپولوژیکیدر صورت وجود شبه سنجی (مثلا متریک ، اولتراپسئومتریک ) قابل لی (مثلاً متریک، فراسودومتریک) نامیده می شود .دبربه طوری کهبرابر است با توپولوژی القا شده توسطد.[1]شبه سنجی و مقادیر در گروه های توپولوژی, ...ادامه مطلب

​زیر مجموعه ها و دنباله ها [ ویرایش ]اجازه دهیدمیک فضای برداری توپولوژیکی متریک پذیر محلی محدب قابل جدازی باشد و اجازه دهیدتکمیل آن باشد. اگریک زیر مجموعه محدود از سپس یک زیر مجموعه محدود وجود داردآرازبه طوری کهاسسی⁡آر.[41]هر زیر مجموعه کاملاً محدود از یک TV متریزاسیون محدب محلیدر بدنه متعادل محدب بسته از تعدادی دنباله در وجود داردکه همگرا می شود.در TV های شبه سنجی، هر مولدخوار محله ای از شاء است. [42]اگردیک متریک ثابت ترجمه در یک فضای برداری است، سپس برای همه∈و هر عدد صحیح مثبت.[43]اگریک دنباله تهی است (یعنی به مبدأ همگرا می شود) در یک TVS قابل اندازه گیری پس یک دنباله وجود دارداز اعداد حقیقی مثبت واگرا بهبه طوری که.[43]زیر مجموعه ای از یک فضای متریک کامل بسته می شود اگر و فقط اگر کامل باشد. اگر یک فضایپس کامل نیستزیر مجموعه ای بسته ازکه کامل نیستاگریک TVS محدب محلی قابل متریک پذیر شدن برای هر زیر مجموعه محدود اساز،یک دیسک محدود وجود دارد که دربه طوری کهو هر دوو فضای هنجار کمکی همان توپولوژی زیرفضا را القا کنید[44]قضیه باناخ-ساک [45] - اگردنباله ای در یک TV متریزیون محدب محلی استکه ضعیف به برخی همگرا می شود سپس یک دنباله وجود دارد∙=که دربه طوری که∙که درو هر کدامترکیبی محدب از تعداد محدودی است.شرط شمارش پذیری مکی [14] - فرض کنید کهیک TV متریزاسیون محدب محلی است و ایندنباله ای قابل شمارش از زیر مجموعه های محدود شده است. سپس یک زیر مجموعه محدود وجود داردازو یک دنبالهاز اعداد حقیقی مثبت به طوری کهببرای همه.سریال تعمیم یتههمانطور که در بخش این مقاله در مورد سری های تعمیم یته ، برای هر توضیح داده شده است- خانواده خانواده شاخصبردارها از یک TVS،می توان مجموع آنها را تعریف کردبه عنوا, ...ادامه مطلب

​ ​تاریخچه تعریف [ ویرایش ]فضای اقلیدسی توسط یونانیان باستان به عنوان انتزاعی از فضای فیزیکی ما معرفی شد . نوآوری بزرگ آنها، که در عناصر اقلیدس ظاهر شد ، ساختن و اثبات تمام هندسه با شروع از چند ویژگی بسیار اساسی بود که از دنیای فیزیکی انتزاع شده است و به دلیل فقدان ابزارهای اساسی تر، نمی توان آنها را از نظر ریاضی اثبات کرد. این ویژگی‌ها در زبان امروزی ، اصل‌ها یا بدیهیات نامیده می‌شوند . این روش برای تعریف فضای اقلیدسی هنوز تحت عنوان هندسه مصنوعی استفاده می شود .در سال 1637، رنه دکارت مختصات دکارتی را معرفی کرد و نشان داد که این امکان کاهش مسائل هندسی را به محاسبات جبری با اعداد فراهم می کند. این کاهش هندسه به جبر یک تغییر عمده در دیدگاه بود، زیرا تا آن زمان اعداد حقیقی بر حسب طول و فواصل تعریف می شدند.هندسه اقلیدسی تا قرن نوزدهم در فضاهایی با ابعاد بیش از سه به کار نمی رفت. لودویگ شلافلی هندسه اقلیدسی را به فضاهایی با بعد n تعمیم داد ، با استفاده از هر دو روش مصنوعی و جبری، و تمام چند توپ های منظم (مشابه های با ابعاد بالاتر جامدات افلاطونی ) را که در فضاهای اقلیدسی با هر بعد وجود دارند، کشف کرد. [4]علیرغم استفاده گسترده از رویکرد دکارت که هندسه تحلیلی نامیده می شد ، تعریف فضای اقلیدسی تا پایان قرن نوزدهم بدون تغییر باقی ماند. معرفی فضاهای برداری انتزاعی امکان استفاده از آنها را در تعریف فضاهای اقلیدسی با یک تعریف صرفا جبری فراهم کرد. نشان داده شده است که این تعریف جدید از نظر بدیهیات هندسی معادل تعریف کلاسیک است. این تعریف جبری است که امروزه بیشتر برای معرفی فضاهای اقلیدسی استفاده می شود.انگیزه تعریف مدرن [ ویرایش ]​ ​تاریخچه تعریف [ ویرایش ]فضای اقلیدسی توسط یونانیان باستان, ...ادامه مطلب

تعریف فنی [ ویرایش ]آفضای برداری اقلیدسی یک فضای حاصلضرب داخلی با ابعاد محدودبر رو یا عداد حقیقی. [6]یک فضای اقلیدسی یک فضای نزدیک بر روی حقیقی است به طوری که فضای برداری مرتبط یک فضای برداری اقلیدسی است. فضاهای اقلیدسی را گاهی فضاهای همبسته اقلیدسی می نامند تا آنها را از فضاهای برداری اقلیدسی متمایز کند. [6]اگر E یک فضای اقلیدسی باشد، فضای برداری مرتبط با آن (فضای برداری اقلیدسی) اغلب نشان داده می شود.بعد فضای اقلیدسی، بعد فضای برداری مرتبط با آن است.عناصر E نقطه نامیده می شوند و معمولا با حروف بزرگ نشان داده می شوند. عناصر ازبردارهای اقلیدسی یا بردارهای آزاد نامیده می شوند . آنها را ترجمه نیز می نامند ، اگرچه، به بیان درست، ترجمه تبدیل هندسی است که حاصل عمل یک بردار اقلیدسی در فضای اقلیدسی است.عمل ترجمه v روی نقطه P نقطه ای را ایجاد می کند که P + v نشان داده می شود . این عمل راضی می کندنکته: + دوم در سمت چپ یک جمع برداری است. all other + نشان دهنده عمل یک بردار روی یک نقطه است. این نماد مبهم نیست، زیرا برای تمایز بین دو معنای + کافی است به ماهیت استدلال سمت چپ آن نگاه کنیم.این حقیقیت که عمل آزاد و متعدی است به این معنی است که برای هر جفت نقطه ( P , Q ) دقیقا یک بردار جابجایی v وجود دارد به طوری که P + v = Q . این بردار v را Q - P یا نشان می دهندپس→.همانطور که قبلا توضیح داده شد، برخی از خصوصیات اساسی فضاهای اقلیدسی ناشی از ساختار فضای نزدیک است. آنها در § ساختار Affine و زیربخش های آن توضیح داده شده اند. خواص حاصل از ضرب داخلی در § ساختار متریک و زیربخش های آن توضیح داده شده است.نمونه های اولیه [ ویرایش ]برای هر فضای برداری، جمع آزادانه و گذرا روی خود فضای برداری عمل می کند, ...ادامه مطلب

​ساختار آفین [ ویرایش ]مقاله اصلی: فضای آفینبرخی از خصوصیات اساسی فضاهای اقلیدسی تنها به این حقیقیت بستگی دارد که فضای اقلیدسی یک فضای وابسته است . به آنها ویژگی های آفین گفته می شود و شامل مفاهیم خطوط، فضاهای فرعی و موازی است که در بخش های بعدی به تفصیل توضیح داده می شود.فضاهای فرعی [ ویرایش ]نوشتار اصلی: تخت (هندسه)بگذارید E یک فضای اقلیدسی باشد وفضای برداری همبند با آنیک زیرفضای مسطح ، اقلیدسی یا زیرفضای وابسته E زیرمجموعه F از E است به طوری کههمانطور که فضای برداری همبند F یک زیرفضای خطی (زیرزفضای برداری) از.یک زیرفضای اقلیدسی F یک فضای اقلیدسی بابه عنوان فضای برداری همبند. این زیرفضای خطیجهت F نیز نامیده می شود .اگر P نقطه ای از F باشد ،برعکس، اگر P نقطه ای از E و باشدزیر فضای خطی است،سپسیک زیر فضای اقلیدسی جهت است. (فضای برداری همبند این زیرفضا است.)فضای برداری اقلیدسی(یعنی یک فضای اقلیدسی که برابر است با) دارای دو نوع زیرفضا است: زیرفضاهای اقلیدسی و زیرفضاهای خطی آن. زیرفضاهای خطی زیرفضاهای اقلیدسی هستند و یک زیرفضای اقلیدسی یک زیرفضای خطی است اگر و فقط اگر حاوی بردار صفر باشد.خطوط و بخش ها [ ویرایش ]در یک فضای اقلیدسی، یک خط یک زیرفضای اقلیدسی از بعد یک است. از آنجایی که یک فضای برداری با بعد یک توسط هر بردار غیر صفر پوشیده شده است، یک خط مجموعه ای از فرم استکه در آن P و Q دو نقطه متمایز از فضای اقلیدسی به عنوان بخشی از خط هستند.نتیجه این است که دقیقاً یک خط وجود دارد که از دو نقطه متمایز (شامل) می گذرد. این بدان معناست که دو خط مجزا حداکثر در یک نقطه قطع می شوند.یک نمایش متقارن تر از خط عبوری از P و Q استجایی که O یک نقطه دلخواه است (لازم نیست در خط).در فضای برداری ا, ...ادامه مطلب

​ کواترنیون های واحد که به عنوان ورسور شناخته می شوند ، یک نماد ریاضی مناسب برای نمایش جهت گیری های فضایی و چرخش عناصر در فضای سه بعدی ارائه می دهند. به طور خاص، آنها اطلاعات مربوط به یک چرخش محور-زاویه حول یک محور دلخواه را رمزگذاری می کنند . ربع‌های چرخشی و جهت‌یابی در گرافیک کامپیوتری ، [1] بینایی کامپیوتر ، رباتیک ، [2] ناوبری ، دینامیک مولکولی ، دینامیک پرواز ، [3] مکانیک مداری ماهواره‌ها کاربرد دارند.، [4] و تجزیه و تحلیل بافت کریستالوگرافی . [5]هنگامی که برای نشان دادن چرخش استفاده می شود، کواترنیون های واحد نیز به عنوان چهارتایی چرخشی نامیده می شوند زیرا آنها گروه چرخش سه بعدی را نشان می دهند . هنگامی که برای نشان دادن یک جهت (چرخش نسبت به یک سیستم مختصات مرجع) استفاده می شود، به آنها چهارتایی جهت گیری یا چهارگانه های نگرش می گویند . چرخش فضایی حول یک نقطه ثابت ازرادیان حول محور واحدکه نشان دهنده محور اویلر است با کواترنیون داده می شود، و.در مقایسه با ماتریس های چرخشی ، کواترنیون ها فشرده تر، کارآمدتر و از نظر عددی پایدارتر هستند . در مقایسه با زوایای اویلر ، آهنگسازی آنها ساده تر است. با این حال، آنها به اندازه شهودی و درک آسان نیستند و به دلیل ماهیت تناوبی سینوس و کسینوس، زوایای چرخش که دقیقاً بر اساس دوره طبیعی متفاوت است در ربع‌های یکسان کدگذاری می‌شوند و زوایای بازیابی شده بر حسب رادیان محدود می‌شوند..استفاده از کواترنیون ها به عنوان چرخش [ ویرایش ]این بخش به نقل قول های اضافی برای تأیید نیاز دارد . لطفاً با افزودن نقل قول به منابع معتبر به بهبود این مقاله کمک کنید . اطلاعات بدون مرجع ممکن است مشکل ایجاد کرده و پاک شوند. ( ژانویه 2022 ) ( نحوه و زمان حذف این پیام, ...ادامه مطلب

ازیابی نمایش زاویه محور [ ویرایش ]بیانهر کواترنیون برداری را می چرخاندحول محوری که بردار داده می شودتوسط زاویه، جایی که وبستگی به کواترنیون دارد.واز معادلات زیر بدست می آید:جایی کهآتان 2متقاطع دو آرگومان است .هنگامی که کواترنیون به یک اسکالر نزدیک می شود باید مراقب بود ، زیرا به دلیل انحطاط محور چرخش همانی به خوبی تعریف نشده است.ترکیب چرخش های فضایی [ ویرایش ]یکی از مزایای فرمول کواترنیون ترکیب دو چرخش R B و R A این است که مستقیماً محور چرخش و زاویه چرخش مرکب R C = R B R A را ایجاد می کند.اجازه دهید کواترنیون مرتبط با یک چرخش فضایی R از محور چرخش S با زاویه چرخش ساخته شود.حول این محور کواترنیون مرتبط توسطسپس ترکیب چرخش R B با R A ، چرخش R C = R B R A با محور چرخش و زاویه تعریف شده توسط حاصل ضرب ربع‌ها است.به این معنا کهبرای به دست آوردن این ضرب را گسترش دهیددو طرف این معادله را بر همانی تقسیم کنید، که قانون کسینوس روی یک کره است .و محاسبه کنیداین فرمول رودریگز برای محور چرخش مرکب است که بر حسب محورهای دو چرخش تعریف شده است. او این فرمول را در سال 1840 استخراج کرد (به صفحه 408 مراجعه کنید). [7]سه محور چرخش A , B , C یک مثلث کروی را تشکیل می دهند و زوایای دو وجهی بین صفحاتی که توسط اضلاع این مثلث تشکیل شده اند با زوایای چرخش مشخص می شوند. همیلتون [8] فرم مؤلفه این معادلات را ارائه کرد که نشان می‌دهد حاصل ضرب کواترنیون، راس سوم یک مثلث کروی را از دو راس داده شده و طول قوس مرتبط با آنها محاسبه می‌کند، که همچنین جبری برای نقاط در هندسه بیضوی تعریف می‌کند.ترکیب محور-زاویه [ ویرایش ]محور چرخش نرمال شده، از بین بردناز ضرب منبسط شده، بردار را که محور چرخش است، چند برابر ثابت ترک می ک, ...ادامه مطلب

کواترنیون ها [ ویرایش ]نوشتار اصلی: کواترنیون هااعداد مختلط را می توان با معرفی یک نماد انتزاعی i که قوانین معمول جبر را برآورده می کند و همچنین قانون i 2 = -1 را تعریف کرد. این برای بازتولید همه قوانین حسابی اعداد مختلط کافی است: به عنوان مثال:به همین ترتیب، چهارتایی ها را می توان با معرفی نمادهای انتزاعی i ، j ، k تعریف کرد که قوانین i 2 = j 2 = k 2 = i j k = −1 و قوانین جبری معمول به جز قانون جابجایی ضرب را برآورده می کند (مثال آشنا از چنین ضرب غیر تعویضی، ضرب ماتریسی است ). از این همه قواعد محاسباتی کواترنیونی پیروی می شود، مانند قواعد ضرب عناصر پایه کواترنیونی . با استفاده از این قوانین می توان نشان داد که:قسمت خیالی یک کواترنیون مانند یک بردار رفتار می کنددر فضای برداری سه بعدی ، و قسمت حقیقی a مانند یک اسکالر در R عمل می کند. وقتی از ربات ها در هندسه استفاده می شود، راحت تر است که آنها را به عنوان یک اسکالر به اضافه یک بردار تعریف کنیم :برای برخی ممکن است عجیب باشد که یک عدد را به یک بردار اضافه کنند، زیرا آنها اشیایی با طبیعت بسیار متفاوت هستند، یا ضرب دو بردار در یکدیگر، زیرا این عمل معمولاً تعریف نشده است. با این حال، اگر به یاد داشته باشید که این یک نماد صرف برای بخش های حقیقی و خیالی یک کواترنیون است، مشروع تر می شود. به عبارت دیگر، استدلال صحیح، جمع دو چهارتایی است، یکی با بردار/قسمت خیالی صفر و دیگری با بخش اسکالر/حقیقی صفر:ما می‌توانیم ضرب کواترنیون را به زبان امروزی حاصل ضربات بردار و نقطه‌ای بیان کنیم (که در وهله اول از کواترنیون‌ها الهام گرفته‌اند [ 10] ). هنگام ضرب بردار/قطعات خیالی، به جای قواعد i 2 = j 2 = k 2 = ijk = -1 ، قانون ضرب چهارگانه را داریم:جایی, ...ادامه مطلب

فضای عادیاز ویکیپدیا، دانشنامه آزادپرش به ناوبریپرش به جستجوبرای فضای بردار عادی، عادی (هندسه) را ببینید .axioms جداییدر فضاهای توپولوژیکیطبقه بندی کلموگروفT 0 (کلموگروف)ت 1 (Fréchet)T 2 (هاستورف)T 2 , ...ادامه مطلب

فضای Tychonoffaxioms جداییدر فضاهای توپولوژیکیطبقه بندی کلموگروفT 0 (کلموگروف)ت 1 (Fréchet)T 2 (هاستورف)T 2 ½(اروسوهن)به طور کامل T 2 (کاملا Hausdorff)T 3 (Hausdorff به طور منظم)T 3½(Tychonoff)T 4 (Ha, ...ادامه مطلب

فضای منظم axioms جداییدر فضاهای توپولوژیکیطبقه بندی کلموگروفT 0 (کلموگروف)ت 1 (Fréchet)T 2 (هاستورف)T 2 ½(اروسوهن)به طور کامل T 2 (کاملا Hausdorff)T 3 (Hausdorff به طور منظم)T 3½(Tychonoff)T 4 (Hausdo, ...ادامه مطلب

فضای Hausdorffaxioms جداییدر فضاهای توپولوژیکیطبقه بندی کلموگروفT 0 (کلموگروف)ت 1 (Fréchet)T 2 (هاستورف)T 2 ½(اروسوهن)به طور کامل T 2 (کاملا Hausdorff)T 3 (Hausdorff به طور منظم)T 3½(Tychonoff)T 4 (Ha, ...ادامه مطلب

  (تغییر مسیر از فضای T0 )پرش به ناوبریپرش به جستجوaxioms جداییدر فضاهای توپولوژیکیطبقه بندی کلموگروفT 0 (کلموگروف)ت 1 (Fréchet)T 2 (هاستورف)T 2 ½(اروسوهن)به طور کامل T 2 (کاملا Hausdorff)T 3 (Hausdor, ...ادامه مطلب