3-فضای برداری توپولوژیکی متریک پذیر

ساخت وبلاگ

آخرین مطالب

امکانات وب

3-فضای برداری توپولوژیکی متریک پذیر

​

زیر مجموعه ها و دنباله ها [ ویرایش ]

  • اجازه دهیدممیک فضای برداری توپولوژیکی متریک پذیر محلی محدب قابل جدازی باشد و اجازه دهیدسیتکمیل آن باشد. اگراسیک زیر مجموعه محدود ازسی سپس یک زیر مجموعه محدود وجود داردآرآرازایکسبه طوری کهاسسی⁡آر.{displaystyle Ssubseteq operatorname {cl} _{C}R.}[41]
  • هر زیر مجموعه کاملاً محدود از یک TV متریزاسیون محدب محلیایکسدر بدنه متعادل محدب بسته از تعدادی دنباله در وجود داردایکسکه همگرا می شود.{displaystyle 0.}
  • در TV های شبه سنجی، هر مولدخوار محله ای از شاء است. [42]
  • اگرددیک متریک ثابت ترجمه در یک فضای برداری است،ایکس، سپس{displaystyle d(nx,0)leq nd(x,0)} برای همه∈xدر Xو هر عدد صحیح مثبت.n[43]
  • اگر{displaystyle left(x_{i}right)_{i=1}^{infty }}یک دنباله تهی است (یعنی به مبدأ همگرا می شود) در یک TVS قابل اندازه گیری پس یک دنباله وجود دارد{displaystyle left(r_{i}right)_{i=1}^{infty }}از اعداد حقیقی مثبت واگرا بهکوچکبه طوری که.{displaystyle left(r_{i}x_{i}right)_{i=1}^{infty }to 0.}[43]
  • زیر مجموعه ای از یک فضای متریک کامل بسته می شود اگر و فقط اگر کامل باشد. اگر یک فضایایکسپس کامل نیستایکسزیر مجموعه ای بسته ازایکسکه کامل نیست
  • اگرایکسیک TVS محدب محلی قابل متریک پذیر شدن برای هر زیر مجموعه محدود اسباز،ایکس،یک دیسک محدود وجود دارد Dکه درایکسبه طوری که{displaystyle Bsubsetq X_{D},}و هر دوایکسو فضای هنجار کمکی X_{D}همان توپولوژی زیرفضا را القا کنیدب.[44]

قضیه باناخ-ساک [45] - اگر{displaystyle left(x_{n}right)_{n=1}^{infty }}دنباله ای در یک TV متریزیون محدب محلی است(X, tau)که ضعیف به برخی همگرا می شود{displaystyle xin X,} سپس یک دنباله وجود دارد∙={displaystyle y_{bullet }=left(y_{i}right)_{i=1}^{infty }}که درایکسبه طوری که∙{displaystyle y_{bullet }to x}که در(X, tau)و هر کدامy_{i}ترکیبی محدب از تعداد محدودی است.{displaystyle x_{n}.}

شرط شمارش پذیری مکی [14] - فرض کنید کهایکسیک TV متریزاسیون محدب محلی است و این{displaystyle left(B_{i}right)_{i=1}^{infty }}دنباله ای قابل شمارش از زیر مجموعه های محدود شده است.ایکس. سپس یک زیر مجموعه محدود وجود داردبازایکسو یک دنباله{displaystyle left(r_{i}right)_{i=1}^{infty }}از اعداد حقیقی مثبت به طوری کهب{displaystyle B_{i}subseteq r_{i}B}برای همه.من.

سریال تعمیم یته

همانطور که در بخش این مقاله در مورد سری های تعمیم یته ، برای هر توضیح داده شده استمن- خانواده خانواده شاخص{displaystyle left(r_{i}right)_{iin I}}بردارها از یک TVS،ایکس،می توان مجموع آنها را تعریف کرد{displaystyle textstyle sum limits _{iin I}r_{i}}به عنوان حد خالص مجموع جزئی محدود∈زیر مجموعه های محدود⁡{displaystyle Fin operatorname {FiniteSubsets} (I)mapsto textstyle sum limits _{iin F}r_{i}}جایی که داهزیر مجموعه های محدود⁡(){displaystyle operatorname {FiniteSubsets} (I)}توسط {displaystyle ,subsetq .,} اگر=ن{displaystyle I=mathbb {N} }و{displaystyle X=mathbb {R}،}به عنوان مثال، سپس سری تعمیم {displaystyle textstyle sum limits _{iin mathbb {N} }r_{i}}اگر و فقط اگر همگرا می شودن{displaystyle textstyle sum limits _{i=1}^{infty }r_{i}} بدون قید و شرط به معنای معمول همگرا می شود (که برای اعداد حقیقی معادل همگرایی مطلق است ). اگر سریال تعمیم یته است{displaystyle textstyle sum limits _{iin I}r_{i}}در یک TVS قابل اندازه گیری همگرا می شود، سپس مجموعه{displaystyle left{iin I:r_{i}neq 0right}}لزوماً قابل شمارش است (یعنی متناهی یا نامتناهی قابل شمارش ). [اثبات 1] به عبارت دیگر، همه، اما حداکثر قابل شمارشr_{i}صفر خواهد بود و بنابراین این سری تعمیم است{displaystyle textstyle sum limits _{iin I}r_{i}~=~textstyle sum limits _{stackrel {iin I}{r_{i}neq 0}}r_ {من}}در واقع مجموع بسیاری از عبارات غیر صفر است.

نقشه های خطی [ ویرایش ]

اگرایکسیک TVS قابل لی است وآآنقشه های محدود زیر مجموعه ازایکسبه زیر مجموعه های محدود شده از،Y، سپسآپیوسته است. [14] توابع خطی ناپیوسته در هر TV شبه سنجی بی بعدی وجود دارد. [46] بنابراین، یک TVS لی سنجیبعدی محدود است اگر و تنها در صور که فضای دوگانه پیوسته آن برابر با فضای دوگانه جبری آن باشد . [46]

اگر:→{displaystyle F:Xto Y}یک نقشه خطی بین TVS ها وایکسقابل متریز شدن است پس موارد زیر معادل هستند:

  1. افپیوسته است؛
  2. افیک نقشه محدود (محلی) است (یعنیافنقشه ها (فون نیو) زیر مجموعه های محدود شده ازایکسبه زیر مجموعه های محدود شده ازY) [12]
  3. افبه صورت متوالی پیوسته است . [12]
  4. تصویر زیرافاز هر دنباله تهی درایکسیک مجموعه محدود [12] است که طبق تعریف، دنباله تهی دنباله ای است که به مبدأ همگرا می شود.
  5. افتوالی های پوچ را به دنباله های پوچ نگاشت می کند.

نقشه های باز و تقریباً باز

قضیه : اگرایکسیک TV کامل شبه سنجی است،Yهاسدورف TVS است و{displaystyle T:Xto Y}پس یک سورجکشن خطی بسته و تقریباً باز استتییک نقشه باز است [47]

قضیه : اگر{displaystyle T:Xto Y}یک عملگر خطی سطحی از یک فضای محدب محلی استایکسروی یک فضای بشکه ای Y(مثلاً هر فضای لی سنجی کامل بشکه می شود) سپستیتقریبا باز است [47]

قضیه : اگر{displaystyle T:Xto Y}یک عملگر خطی سوجکو از یک TVS استایکسروی فضای بیر Y سپستیتقریبا باز است [47]

قضیه : فرض کنید{displaystyle T:Xto Y}یک عملگر خطی پیوسته از یک TVS قابل لی کامل استایکسبه هاسدورف TVS.Y.اگر تصویر ازتیدر غیر ناچیز استY سپس{displaystyle T:Xto Y}یک نقشه باز سوجکتیو است وYیک فضای متریزاسیون کامل است. [47]

ویژگی پسوند Hahn-Banach [ ویرایش ]

مقاله اصلی: قضیه هان-باناخ

یک زیرفضای برداریمماز یک TVSایکساگر تابع خطی پیوسته روشن باشد، دارای خاصیت گسترش استمرا می توان به یک تابع خطی پیوسته در گسترش داد.ایکس.[22] بگویید که یک TVSایکسدارای ویژگی پسوند هان-باناخ ( HBEP ) است اگر هر زیرفضای برداری ازایکسدارای ویژگی پسوند است. [22]

قضیه هان-باناخ تضمین می کند که هر فضای محدب محلی هاسدورف دارای HBEP است. برای TV‌های متریک پذیر‌پذیر کامل یک عکس وجود دارد:

قضیه (کالتون) - هر TV متریک پذیر شدنی کامل با ویژگی پسوند هان-باناخ به صورت محلی محدب است. [22]

اگر فضای برداریایکسدارای ابعاد غیرقابل شمارش است و اگر بهترین توپولوژی برداری را به آن اختصاص دهیم ، این یک TVS با HBEP است که نه به صورت محلی محدب است و نه متریک پذیر شدنی. [22]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

  • هنجار نامتقارن - تعمیم مفهوم هنجار
  • فضای متریک کامل - هندسه متریک
  • فضای برداری توپولوژیکی کامل - TV که در آن نقاطی که به تدریج به یکدیگر نزدیکتر می شوند همیشه به یک نقطه همگرا می شوند.
  • معادل سازی معیارها
  • فضای F – فضای برداری توپولوژیکی با متریک کامل ترجمه ثابت
  • فضای Fréchet - یک فضای برداری توپولوژیکی محدب محلی که همچنین یک فضای متریک کامل است
  • متریک تعمیم یته - هندسه متریک
  • فضای K (تحلیل عملکردی)
  • فضای برداری توپولوژیکی محدب محلی - فضای برداری با توپولوژی تعریف شده توسط مجموعه های باز محدب
  • فضای متریک - فضای ریاضی با مفهوم فاصله
  • فضای شبه سنجی - تعمیم فضاهای متریک در ریاضیات
  • رابطه هنجارها و معیارها - فضای ریاضی با مفهوم فاصله
  • Seminorm - تابع غیرفی-حقیقی در فضای برداری حقیقی یا مختلط که نابرابری مثلث را برآورده می کند و کاملاً همگن است.
  • تابع زیرخطی
  • فضای یکنواخت - فضای توپولوژیکی با مفهوم خصوصیات یکنواخت
  • قضیه اورسسکو - تعمیم گر بسته، نگاشت باز و قضیه کرانه یکنواخت

​

ریاضیات...
ما را در سایت ریاضیات دنبال می کنید

برچسب : نویسنده : 9math1342d بازدید : 108 تاريخ : شنبه 27 آبان 1402 ساعت: 16:58

آرشیو مطالب

پيوندهای روزانه

لینک دوستان

خبرنامه