فضای کلموگروف

پرش به ناوبریپرش به جستجو

در توپولوژی و شاخه های مرتبط با ریاضیات ، یک فضای توپولوژیک X یک فضای T 0 یا فضای کولموگروف (به نام Andrey Kolmogorovنامیده می شود) اگر برای هر جفت نقطه متمایز از X ، حداقل یکی از آنها دارای محله ای نیست که دارای دیگری باشد. در یک فضای T 0 ، همه نقاط از لحاظ توپولوژی قابل تشخیص هستند .

این وضعیت، به نام T 0 شرایط ، از ضعیف ترین است بدیهیات جدایی . تقریبا تمام فضاهای توپولوژیکی که به طور معمول در ریاضیات مورد مطالعه قرار می گیرند فضاهای T 0 هستند. به طور خاص، تمام فضاهای T 1 ، یعنی تمام فضاهای که در آن برای هر جفت نقاط متمایز، هر کدام دارای یک محله نیستند، فضاهای T 0 هستند. این شامل تمام فضاهای T 2 (یا Hausdorff) است ، یعنی همه فضاهای توپولوژیکی که در آن نقاط متمایز محله های غیر مجاور هستند. با توجه به فضای توپولوژیکی می توان یک فضای T 0 را با شناسایی نقاط غیر قابل تشخیص از لحاظ توپولوژیک ساخت.

T 0 فضاهای که T نمی 1 فضاهای دقیقا کسانی که فضاهای که پیش فروش تخصصی کوچک اما با اهمیت است ترتیب جزئی . این فضاها به طور طبیعی در علوم کامپیوتری رخ می دهد ، به ویژه در معانی معانی .

فهرست

• 1تعریف
• 2نمونه ها و مثال های متقابل
  • 2.1فضاهای غیر T 0
  • 2.2فضایی که T 0 است اما نه T 1
• 3با فضاهای T 0 کار می کند
• 4فاکتور کلموگروف
• 5حذف T 0

تعریف [ ویرایش ]

یک فضای T 0 یک فضای توپولوژی است که در آن هر جفت نقطه مشخص از لحاظ توپولوژی قابل تشخیص است . یعنی، برای هر دو نقطه مختلف x و y یک مجموعه باز است که حاوی یکی از این نکات است و نه دیگری.

توجه داشته باشید که نقاط قابل تشخیص توپولوژیک به طور خودکار متمایز می باشند. از سوی دیگر، اگر singleton مجموعه { x } و { y } را از هم جدا کنند ، نقاط x و y باید از لحاظ توپولوژی قابل تشخیص باشند. به این معنا که،

⇒ جداگانه ⇒ قابل تشخیص topologically ⇒ مجزا

به طور کلی، ویژگی تمایزات توپولوژیک، قوی تر از جدا شدن، اما ضعیف تر از جدا شدن است. در فضایی T 0 ، فلش دوم بالا سمت چپ؛ نقاط مشخص هستند اگر و فقط اگر آنها قابل تشخیص باشند. این به این معنی است که اصل T 0 با بقیه محورهای جداسازی همخوانی دارد .

نمونه ها و نمونه های مخالف [ ویرایش ]

تقریبا تمام فضاهای توپولوژیکی که به طور معمول در ریاضیات مورد مطالعه قرار می گیرند T 0 هستند . به طور خاص، تمام فضاهای Hausdorff (T 2 ) و T 1 فضاهای T 0 هستند .

فضاهای غیر T 0 [ ویرایش ]

• مجموعه ای با بیش از یک عنصر، با توپولوژی نهایی . هیچ نقشی قابل تشخیص نیست
• مجموعه R 2 که در آن مجموعه باز حاصلضرب دکارتی مجموعه باز در R و R خود، به عنوان مثال، توپولوژی کالا از R با توپولوژی معمول و R را با توپولوژی بدیهی؛ نقاط ( a ، b ) و ( a ، c ) قابل تشخیص نیستند.
• فضای تمام توابع قابل اندازه گیری f از خط واقعی R به یک سیگنال پیچیده C به طوری که انتگرال Lebesgue از | f ( x ) | 2 در سراسر خط واقعی محدود است . دو توابع تقریبا همه جابرابر هستند قابل تشخیص نیستند. همچنین زیر را ببینید.

فضایی که T 0 است اما نه T 1 [ ویرایش ]

• توپولوژی ملاقات Zariski در تنظیمات ( R )، این طیف نخست از یک حلقه جابجایی R همیشه T 0 اما به طور کلی T نمی 1 . نقاط غیر بسته به ایده های اولیه که حداکثر نیستند، مطابق است. آنها برای درک طرح ها مهم هستند .
• توپولوژی نقطه خاص در هر مجموعه ای با حداقل دو عنصر T است 0 اما نه T 1 از نقطه خاص بسته نشده است (بسته شدن آن فضای کل است). یک مورد خاص مهم، فضای Sierpiński است که توپولوژی خاصی در مجموعه {0،1} است.
• توپولوژی نقطه از مطالعه حذف شدند در هر مجموعه ای با حداقل دو عنصر T است 0 اما T نمی 1 . تنها نقطه بسته، نقطه نادیده گرفته شده است.
• توپولوژی الکساندروف در مجموعه ای پاره مرتب T است 0 اما نمی خواهد باشد T 1 مگر اینکه سفارش گسسته است (موافق با برابری). هر فضای محدود T 0 از این نوع است. این همچنین شامل نقطه خاص و توپولوژی نقطه حذف شده به عنوان موارد خاص است.
• توپولوژی جهت سمت راست را بر روی یک مجموعه کاملا مرتب و یک مثال مرتبط است.
• توپولوژی فاصله با هم تداخل دارند شبیه به توپولوژی نقطه خاص است چرا که هر مجموعه باز شامل 0.
• به طور کلی، یک فضای توپولوژیک X T 0 خواهد بود اگر و فقط اگر پیشوند تخصص بر روی X یک نظم جزئی است . با این وجود، X فقط T 1 خواهد بود اگر منظور است گسسته (یعنی موافق با برابری). بنابراین فضای T 0، اما نه T 1 اگر و فقط اگر پیشوند تخصص در X یک دستور جزئی جزئی گسسته است.

عملیات با T 0 فضاهای [ ویرایش ]

نمونه هایی از فضای توپولوژی به طور معمول مورد مطالعه قرار T 0 هستند . در حقیقت، وقتی ریاضیدانان در بسیاری از زمینه ها، به ویژه تجزیه و تحلیل ، به طور طبیعی در فضاهای غیر T 0 اجرا می شوند، معمولا آنها را با فضاهای T 0 جایگزین می کنند ، به نحوی که در زیر توضیح داده شود. برای ایجاد انگیزه ایده ها، یک مثال مشهور را در نظر بگیرید. فضای L 2 ( R ) به معنای فضای تمام توابع قابل اندازه گیری f از خط واقعی R به C پیچیده است، به طوری که انتگرال Lebesgue از | f ( x ) | 2بیش از تمام خط واقعی محدود است . این فضا باید یک تبدیل فضای برداری رو هنجار با تعریف هنجار || f || می شود ریشه مربع که انتگرال. مشکل این است که این واقعا یک هنجار نیست، فقط یک سینمور است ، زیرا توابع دیگری غیر از عملکرد صفر وجود داردکه (نیمه) هنجار صفر است . راه حل استاندارد اینست که L 2 ( R ) را تعریف کنیم که مجموعه ای از کلاس های هم ارز توابع به جای مجموعه ای از توابع به طور مستقیم است. این یک فضای فضایی ایجاد می کنداز فضای بردار اصلی cognomm، و این فاکتور یک فضای بردار ناحیه است. چندین ویژگی راحت از فضای semicomed به ارث برده است؛ زیر را ببینید

به طور کلی، هنگام برخورد با یک توپولوژی ثابت T در مجموعه X ، اگر این توپولوژی T 0 باشد ، مفید است . از سوی دیگر، هنگامی که X ثابت است اما T مجاز است در مرزهای مشخصی متفاوت باشد، T به T 0 ممکن است ناخوشایند باشد، زیرا توپولوژی غیر T 0 اغلب موارد خاص مهمی است. بنابراین، می تواند برای درک هر دو نسخه T 0 و غیر T 0 از شرایط مختلف که می تواند در یک فضای توپولوژیک قرار داده شود، مهم باشد.

مقیاس کلموگروف [ ویرایش ]

عدم تمایز توپولوژیکی نقاط یک رابطه همبستگی است . مهم نیست که چه فضایی توپولوژیکی X ممکن است شروع شود، فضای تقریبی زیر این رابطه همبستگی همیشه T 0 است . این فضا خارج قسمت است به نام بهره کولموگروف از X ، که ما KQ (دلالت X ). البته، اگر X برای شروع از T 0 باشد ، پس KQ ( X ) و X به طور طبیعی هومورفیک هستند . به طور دسته جمعی، فضاهای کلموگروف یک زیرمجموعه بازتابنده از فضاهای توپولوژیک است و فاکتور کلموگروف بازتابنده است.

فضاهای توپولوژیکی X و Y هستند کولموگروف معادل که خارج قسمت کولموگروف خود homeomorphic هستند. بسیاری از خواص فضاهای توپولوژیکی با این معادله حفظ می شوند؛ یعنی اگرX و Y معادل Kolmogorov باشند، X دارای چنین اموری است اگر و فقط اگر Y باشد. از سوی دیگر، بسیاری از دیگر خواص فضاهای توپولوژیک اشاره T 0 -ness؛ یعنی اگر X چنین اموری داشته باشد، X باید T 0 باشد. فقط چند خواص، مانند یک فضای نامطلوب، به استثنای این قانون انگشت شست است. حتی بهتر است که بسیاری از ساختارهای تعریف شده در فضاهای توپولوژیکی بین X و KQ ( X ) منتقل شوند. نتیجه این است که اگر شما یک فضای توپولوژیک غیر T 0 با ساختار یا ویژگی خاص داشته باشید، معمولا می توانید یک فضای T 0 با ساختارها و خواص مشابه با در نظر گرفتن فاکتور Kolmogorov ایجاد کنید.

مثال L 2 ( R ) این ویژگی ها را نمایش می دهد. از نقطه نظر توپولوژی، فضای بردار semiconmed که ما با آن شروع کردیم، ساختار اضافی زیادی دارد؛ به عنوان مثال، آن را به یک استفضای برداری ، و آن را تا seminorm، و این تعریف یک pseudometric و یک ساختار یکنواخت که سازگار با توپولوژی است. همچنین خواص چندین ساختار وجود دارد؛ به عنوان مثال، سمینار منطبق با هویت یکسان است و ساختار یکنواخت کامل است . فضای T 0 از هر دو تابع در L 2 ( R ) که در تقریبا همه جا برابر است نیستبا این توپولوژی قابل تشخیص نیستند. هنگامی که ما فاکتور کلموگروف را تشکیل می دهیم، واقعی L 2 ( R )، این سازه ها و خواص حفظ می شوند. بنابراین، L 2 ( R ) همچنین یک فضای برداری کامل semiconmedis رضایت هویت parallelogram است. اما ما واقعا کمی بیشتر از آنجایی که فضا اکنون T 0 است ، کمی بیشتر می شود . یک سونگومتر یک عنصر است اگر و فقط اگر توپولوژی زیر آن T 0 باشد ، بنابراین L 2 ( R ) در واقع یک فضای بردار نوری ساده است که منطبق با هویت رگلاتورم است - در غیر این صورت به عنوان یک فضای هیلبرت شناخته می شود . و این یک فضای هیلبرت است که ریاضیدانان (و فیزیکدانان ، درمکانیک کوانتومی ) معمولا میخواهید مطالعه کنید. توجه داشته باشید که علامت L 2 ( R ) معمولا فاکتور Kolmogorov را تعریف می کند، مجموعه ای از کلاس های هم ارزاز توابع یکپارچه مربع که در مجموعه های اندازه گیری صفر متفاوت است، و نه فقط فضای بردار توابع یکپارچه مربع که نشان می دهد.

حذف T 0 [ ویرایش ]

اگر چه هنجارها به طور تاریخی تعریف شده بودند، مردم نیز با تعریف سمینار شناخته می شدند، که نوعی نسخه غیر استاندارد T 0 است. به طور کلی، می توان نسخه های غیر T 0 از هر دو ویژگی و ساختار فضاهای توپولوژیکی را تعریف کرد. ابتدا یک ویژگی از فضاهای توپولوژیکی مانند Hausdorff را در نظر بگیرید . سپس می توان یک ویژگی دیگر از فضاهای توپولوژیک را با تعریف فضایی X برای رضایت ملک تعریف کرد اگر و فقط اگر فاکتور کلموگروف KQ ( X ) Hausdorff باشد. این معقول و معقول است، هرچند کمتر مشهور است؛ در این مورد، از جمله فضای X نامیده می شود preregular. (حتی معلوم می شود که تعریف مستقیم از مقدمه پیشین وجود دارد). در حال حاضر یک ساختار را می توان در فضاهای توپولوژیکی مانند یک متریک قرار داد . ما می توانیم یک ساختار جدید را در فضاهای توپولوژیکی تعریف کنیم و اجازه دهیم نمونه ای از ساختار در X به سادگی یک متریک در KQ ( X ) باشد. این یک ساختار منطقی در X است؛ این یک شبه شمار است (باز هم، تعریف مستقیمتری از شبه سنجی وجود دارد.)

به این ترتیب، یک روش طبیعی برای حذف T 0 -ness از الزامات برای یک دارایی یا ساختار وجود دارد. به طور کلی ساده تر است که فضایی را که T 0 است ، مطالعه کنید، اما ممکن است ساده تر اجازه دادن به ساختارهایی که T 0 نیستند برای گرفتن تصویر کامل تر باشد. الزامات T 0 را می توان با استفاده از مفهوم فاکتور Kolmogorov به طور خودسرانه اضافه یا حذف کرد.