فضای عادی

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

پرش به ناوبریپرش به جستجو

برای فضای بردار عادی، عادی (هندسه) را ببینید .

در توپولوژی و شاخه های مرتبط با ریاضیات ، یک فضای عادی است فضای توپولوژیک X که ارضا اصل موضوع T 4 هر دو از متلاشی شدن: بسته مجموعه از X دارند متلاشی محله باز . یک فضای طبیعی Hausdorff نیز یک فضای T 4 نامیده می شود . این شرایط نمونه هایی از تمثیل جدایی است و تقویت های بیشتر آنها فضاهای Hausdorff کاملا طبیعی ، یا فضاهای T 5 و کاملا طبیعی Hausdorff را تعریف می کندیا T 6 فضاهای .

فهرست

• 1تعاریف
• 2نمونه هایی از فضاهای طبیعی
• 3نمونه هایی از فضاهای غیر عادی
• 4خواص
• 5روابط با دیگر عبارات جدایی
• 6نقل قول
• 7منابع

تعاریف [ ویرایش ]

فضای توپولوژیک X است فضای عادی اگر، با توجه به هر متلاشی شدن بسته مجموعه E و F وجود دارد محله U از E و V از F است که همچنین متلاشی شدن هستند. به طور مستقیم، این شرایط می گوید که E و F را می توان از طریق محله ها جدا کرد .

مجموعه های بسته E و F، که در اینجا با دیسک های بسته در طرف مقابل تصویر نمایش داده می شوند، توسط محله های مربوطه U و V، که در اینجا به وسیله دیسک های بزرگتر، اما هنوز مجزا نشده اند، جدا شده اند.

T 4 فضای یک T 1 فضای X است که طبیعی؛ این معادل X طبیعی و Hausdorff است .

فضای کاملا طبیعی یا یک فضای ارثی نرمال یک فضای توپولوژیکی است X به طوری که هر فضا از X با توپولوژی فضا یک فضای طبیعی است. معلوم می شود که X به طور کامل طبیعی است اگر و فقط اگر هر دو مجموعه جدا شده را می توان از طریق محله ها جدا شده است.

کاملا T 4 فضای ، و یا T 5 فضای کاملا طبیعی است T 1 فضای توپولوژیک فضا X ، که نشان میدهد که X است هاسدورف ؛ معادل هر زیرمجموعه X باید یک فضای T 4 باشد.

یک فضای کاملا طبیعی فضای توپولوژیک X است که در آن هر دو مجموعه بسته بسته نشده E و F را می توان دقیقا با یک تابع پیوسته f از X به خط واقعی R جدا کرد : پیش نمایشهای {0} و {1} زیر f ، به ترتیب، E و F . (در این تعریف، خط واقعی را می توان با فاصله واحد [0،1] جایگزین کرد .)

معلوم می شود که X کاملا طبیعی است اگر و فقط اگر X طبیعی باشد و هر مجموعه بسته یک مجموعه G δ است . معادل آن، X کاملا طبیعی است اگر و فقط اگر هر مجموعه بسته مجموعه صفر است . هر فضایی کاملا طبیعی به طور کامل طبیعی است. [1]

هاسدورف کاملا طبیعی فضای X است T 6 فضای ، و یا کاملا T 4 فضای .

توجه داشته باشید که اصطلاحات "فضای عادی" و "T 4 " و مفاهیم مشتق شده گاهی معنای دیگری دارند. (با این وجود، "T 5 " همیشه به معنای همان "کاملا T 4 " است، هر چه که باشد ممکن است.) تعاریف داده شده در اینجا همانهایی هستند که معمولا امروز استفاده می شوند. برای اطلاعات بیشتر در مورد این موضوع، تاریخچه تمثیل را ببینید .

شرایطی مانند " فضای منظم عادی " و "فضای هوسدورف عادی" نیز در ادبیات مطرح شده است - آنها به سادگی نشان می دهند که فضا هم عادی است و هم شرایط دیگر ذکر شده را ارضا می کند. به طور خاص، یک فضای طبیعی Hausdorff همان چیزی است که یک فضای T 4 است. با توجه به سردرگمی تاریخی معنی عبارات، توصیف کلامی زمانی که قابل اجرا مفید هستند، این است که، "عادی هاسدورف" به جای "T 4 "، یا "کاملا طبیعی هاسدورف" به جای "T 5 ".

به طور کامل فضاهای طبیعی و کاملا T 4 فضاهای در جای دیگر مورد بحث قرار گرفته؛ آنها مربوط به پاراكامپکتیو هستند .

یک فضای طبیعی محلی یک فضای توپولوژی است که هر نقطه دارای یک محدوده باز است که طبیعی است. هر فضای طبیعی به صورت محلی طبیعی است، اما گفتگو درست نیست. یک نمونه کلاسیک از یک فضای طبیعی به طور منظم طبیعی محلی که طبیعی نیست، هواپیما Nemytskii است .

نمونه هایی از فضاهای طبیعی [ ویرایش ]

بیشتر فضاهای موجود در تجزیه و تحلیل ریاضی ، فضاهای هوسردور طبیعی یا حداقل فضاهای منظم طبیعی هستند:

• تمام فضاهای متریک (و به همین ترتیب تمام فضاهای قابل متریک ) هاوسدورف کاملا طبیعی هستند؛
• تمام فضاهای شبه سنجی (و به همین ترتیب تمام فضاهای پراکنده ) کاملا معمولی هستند، اگرچه به طور کلی هوسدورف نیستند؛
• همه جمع و جور فضاهای هاسدورف طبیعی است؛
• به طور خاص، فشرده سنگ-چک یک فضای Tychonoff طبیعی هاسدورف است.
• به طور کلی نمونه های فوق، همه فضاهای پارس هومورد هوسدورف طبیعی هستند، و همه پارا پارامترهای عادی منظم هستند؛
• تمام چندجملهای توپولوژیکی پاراکوپاتکت هاسدورف کاملا طبیعی هستند. با این حال، منیفولد های غیر پارا کمپکت وجود دارد که حتی طبیعی نیستند.
• تمام توپولوژی های مرتب بر روی مجموعه های کاملا دستورالعاده به صورت عادی و طبیعی Hausdorff هستند.
• هر فضای منظم ثانویه دوم کاملا طبیعی است و هر فضای منظم Lindelöf طبیعی است.

همچنین، تمام فضاهای طبیعی کاملا طبیعی هستند (حتی اگر منظم نیستند). فضای Sierpinski نمونه ای از فضای عادی است که به طور منظم نیست.

نمونه هایی از فضاهای غیر عادی [ ویرایش ]

یک نمونه مهم از توپولوژی غیر عادی به وسیله توپولوژی Zariski بر روی یک نوع جبری یا طیف حلقه که در هندسه جبری استفاده می شود، ارائه می شود .

یک فضای غیر عادی مربوط به تحلیل، فضای بردار توپولوژیک تمام توابع از خط واقعی R به خود، با توپولوژی همگرایی نقطه ای است . به طور کلی، یک قضیه ق سنگ می گوید که کالا از غیر قابل شمارش و غیر فشرده فضاهای متریک هرگز طبیعی است.

خواص [ ویرایش ]

هر زیرمجموعه ای از یک فضای معمولی طبیعی است. تصویر پیوسته و بسته از یک فضای طبیعی طبیعی است. [2]

اهمیت اصلی فضاهای طبیعی در این واقعیت است که آنها اعمال "به اندازه کافی" پیوسته عملکرد واقعی ارزش ، به عنوان بیان شده توسط قواعد زیر برای هر فضای طبیعی X قابل بیان است .

لم Urysohn و در اگر و B دو متلاشی شدن زیر مجموعه ای از بسته X آنگاه یک تابع پیوسته وجود دارد F از X به خط واقعی R به طوری که F ( X ) = 0 برای تمام x را در و F ( X ) = 1 برای تمام X در B . در حقیقت، ما می توانیم مقادیر f را به صورت کامل در فاصله ی واحد [0،1] قرار دهیم. (در شرایط عاشقانه، مجموعه بسته های غیر مجزا نه تنها توسط محله های جدا، بلکه همچنینتوسط یک تابع جدا می شود .)

به طور کلی، پسوند قضیه Tietze : اگر یک زیر مجموعه بسته است X و F یک تابع پیوسته از است به R آنگاه یک تابع پیوسته وجود دارد F : X → R که گسترش F به این معنا که F ( X ) = F ( X ) برای همه X در .

اگر U یک پوشش آزاد محلی محدود از یک فضای طبیعی X است ، پس یک بخش تقسیم وحدت به طور دقیق زیر U وجود دارد . (این نشان می دهد که ارتباط فضاهای طبیعی با پارا کمپلمان )

در واقع هر فضایی که هر یک از این سه شرایط را برآورده می کند باید طبیعی باشد.

یک محصول از فضاهای طبیعی لزوما عادی است. این واقعیت اولین بار توسط رابرت سگنفری ثابت شد . یک مثال از این پدیده، هواپیما Sorgenfrey است . همچنین، یک زیرمجموعه از فضای عادی نیازی به عادی ندارد (یعنی هر فضای معمولی هوسدورف فضایی کاملا طبیعی هوسدورف نیست)، از آنجا که هر فضای Tychonoff یک زیرمجموعه از فشرده سازی استون چچ است (که هوسدورف طبیعی است). مثال صریح تر پلان Tychonoff است . تنها طبقه بزرگ فضای محصول فضاهای طبیعی که به طور عادی شناخته شده هستند، محصولات فضایی هادسفور فشرده هستند، از آنجا که هر دو فشرده سازی ( قضیه تایلوفف ) و قضیه T 2 در محصولات دلخواه حفظ می شوند.[3]

ارتباط با سایر اصطلاحات جدایی [ ویرایش ]

اگر یک فضای طبیعی است R 0 ، سپس آن را در واقع به طور کامل به طور منظم . بنابراین، چیزی که از "R 0 طبیعی " به "کاملا طبیعی" معمول است همان چیزی است که ما معمولا به طور عادی به آن عادت می کنیم . با توجه خارج قسمت کولموگروف ، ما می بینیم که همه طبیعی T 1 فضاهای هستند Tychonoff . این ها چیزی است که ما معمولا فضاهای هادسفور معمولی می نامیم .

یک فضای توپولوژیک است گفته می شود pseudonormal اگر با توجه به دو مجزا مجموعه در آن را بسته که یکی از آنها قابل شمارش است، مجموعه باز متلاشی حاوی آنها وجود دارد. هر فضای طبیعی فضایی است، اما برعکس.

نمونه هایی از بعضی تغییرات در این اظهارات را می توان در لیست های بالا یافت. به طور خاص، فضای Sierpinski طبیعی است، اما به طور منظم نیست، در حالی که فضای توابع از R به خود Tychonoff است، اما نه طبیعی است.