فضای Hausdorff

در توپولوژی و شاخه های مرتبط با ریاضیات ، یک فضای هاسدورف ، فاصله از هم جدا و یا T 2 فضای یک فضای توپولوژیک که در آن برای هر دو نقطه مجزا وجود دارد وجود دارد یک محله از هر که از متلاشی شدن از این محله ها از سوی دیگر است. از بسیاری از عبارات جدایی که می توان در یک فضای توپولوژیک تحمیل کرد، "شرایط هوادارف" (T 2 ) بیشتر مورد استفاده و بحث قرار می گیرد. این امر منحصر به فرد محدودیت های توالی ها ، شبکه ها و فیلترها است.

فضاهای Hausdorff به نام فلیکس هاستورف ، یکی از بنیانگذاران توپولوژی نامگذاری شده اند . تعریف اولیه Hausdorff از فضای توپولوژیکی (در سال 1914) شامل شرایط Hausdorff به عنوان یک اصل است .

فهرست

• 1تعاریف
• 2معادل
• 3نمونه و غیر نمونه
• 4خواص
• 5پیشگویی در مقابل منظم بودن
• 6گزینه
• 7جبر توابع
• 8طنز علمی
• 9همچنین نگاه کنید
• 10یادداشت
• 11منابع

تعاریف [ ویرایش ]

نقاط x و y، توسط محله های مربوط U و V جدا می شوند.

امتیاز X و Y در یک فضای توپولوژیک X می توان توسط محله جدا اگر وجود دارد وجود دارد محله U از X و یک محله V از Y که U و Vهستند متلاشی شدن ( U ∩ V = ∅ ). X یک فضای Hausdorff است اگر تمام نقاط متمایز در X جفت محله جدا باشد. این شرایط سومین جدایی جدایی است (بعد از T 0و T 1 )، به همین دلیل است که فضاهای Hausdorff نیز فضاهای T 2 نامیده می شود . فضای نامی نیز استفاده شده است.

یک مفهوم مرتبط، اما ضعیفتر، یک فضای پیشگیرانه است . X یک فضای پیش فرض است اگر هر دو نقاط قابل تشخیص از لحاظ توپولوژیکی می توانند با محله های مجزا جدا شوند. فضاهای Preregular نیز نامیده می شود R 1 فضاهای .

رابطه بین این دو شرایط به شرح زیر است. فضای توپولوژیک Hausdorff است اگر و فقط اگر آن دو پیش رگولار (یعنی نقاط قابل تشخیص از لحاظ توپولوژی توسط محله ها جدا شده) و Kolmogorov (یعنی نقاط متمایز از لحاظ توپولوژی قابل تشخیص). فضای توپولوژیک پیشگویی شده است اگر و فقط اگر فاکتور کلموگروف آن هوسردورباشد.

معادل سازی [ ویرایش ]

برای یک فضای توپولوژیک X ، زیر معادل هستند:

• X یک فضای Hausdorff است.
• محدودیت های شبکه در X منحصر به فرد است. [1]
• محدودیت های فیلتر در X منحصر به فرد است. [2]
• هر مجموعه تک تک { x } ⊂ X برابر با تقاطع همه محدوده های بسته از x است . [3] (یک محدوده بسته از x یک مجموعه بسته است که حاوی مجموعه باز است که حاوی x است .)
• مورب Δ = {( x ، x ) | X ∈ X } است بسته به عنوان یک زیر مجموعه از فضای X × X .

مثالها و غیر نمونه [ ویرایش ]

تقریبا تمام فضاهای موجود در تجزیه و تحلیل ، Hausdorff هستند؛ مهمتر از همه، اعداد واقعی (تحت توپولوژی استاندارد متریک بر روی اعداد واقعی) یک فضای هوسدورف هستند. به طور کلی، همه فضاهای متریک Hausdorff هستند. در حقیقت، بسیاری از فضاهای استفاده در تجزیه و تحلیل، مانند گروه توپولوژیکی و چندجملهای توپولوژیک ، شرایط هوسدورف را به صراحت در تعاریف آنها بیان می کنند.

یک نمونه ساده از یک توپولوژی که T 1 است اما Hausdorff نیست، توپولوژی مختلط است که در مجموعه بی نهایت تعریف شده است .

فضاهای پهلوانی معمولا هوسردور نیستند، اما آنها پیش زمینه هستند و استفاده از آنها در تجزیه و تحلیل معمولا تنها در ساخت فضاهای سنجنده هادسون است . در حقیقت، زمانی که تحلیلگران در یک فضای غیر هوسدورف حرکت می کنند، هنوز هم احتمالا حداقل مقدمه ای است، و پس از آن آنها به سادگی جایگزین آن با فاکتور کلموگروف می شوند، که هادسفورد است. [4]

در مقابل، فضاهای غیر رگولار اغلب در جبر انتزاعی و هندسه جبری ، به ویژه به عنوان توپولوژی Zariski در تنوع جبری یا طیف حلقه، مواجه می شوند . آنها همچنین در بوجود می آیند نظریه مدلاز منطق شهودی : هر کامل جبر هیتینگ جبر است مجموعه باز برخی از فضای توپولوژیک، اما این فضای لازم نیست preregular، بسیار کمتر هاسدورف، و در واقع معمولا نه است. مفهوم مرتبطدامنه اسکات همچنین شامل فضاهای غیر جسورانه است.

در حالی که وجود محدودیت منحصر به فرد برای شبکه همگرا و فیلتر نشان میدهد که یک فضای هاسدورف است، غیر هاسدورف T وجود دارد 1 فضاهای که در آن هر دنباله همگرا دارای محدودیت منحصر به فرد. [5]

خواص [ ویرایش ]

زیرسیستمها و محصولات فضاهای هوسدورف Hausdorff هستند، [6] اما فضاهای فضایی فضاهای Hausdorff باید Hausdorff نیست. در حقیقت، هر فضای توپولوژیک می تواند به عنوان فاکتور فضایی هوسدورف شناخته شود. [7]

فضاهای Hausdorff T 1 است ، به این معنی که تمام تک سلول ها بسته شده اند. به طور مشابه، فضاهای پیش رونده R 0 است .

یکی دیگر از خصوصیات فضاهای هادسفرد این است که مجموعه های جمع و جور همیشه بسته هستند. [8] این ممکن است در فضاهای غیر هوسدورف مانند فضای Sierpiński شکست بخورد .

تعریف یک فضای هوسدرف می گوید که نقاط می توانند توسط محله ها جدا شوند. به نظر می رسد که این به معنی این چیزی است که به ظاهر قوی تر: در یک فضای هاسدورف هر جفت از مجموعه جمع و جور مجزا نیز می تواند با محله از هم جدا شوند، [9] به عبارت دیگر یک محله از یک مجموعه و یک محله از دیگر، از جمله وجود دارد که دو محله بی ارتباط هستند. این یک مثال از قاعده کلی است که مجموعه های جمع و جوری اغلب مانند نقاط رفتار می کنند.

شرایط کامپکتیو همراه با پیش شرطی اغلب به معنی تمایل جدایی جدی تر است. به عنوان مثال، هر فضای پیش فرض محلی جمع و جور به طور کامل منظم است . جمع و جور فضاهای preregular هستند طبیعی ، به این معنی که آنها برآورده لم Urysohn و در و Tietze قضیه پسوند و پارتیشن وحدت تابع محلی محدود را پوشش می دهد باز . نسخه های Hausdorff این اظهارات عبارتند از: هر فضای Hausdorff فضای محلی Tychonoff است ، و هر فضای Hausdorff جمع و جور Hausdorff طبیعی است.

نتایج زیر برخی از ویژگی های فنی در مورد نقشه ( مستمر و در غیر این صورت) و از فضاهای Hausdorff است.

اجازه دهید f  : X → Y یک تابع پیوسته و فرض کنیم Y Hausdorff است. سپس نمودار از F ،{ displaystyle ((x، f (x)) mid x in X }}، زیر مجموعه ای از X × Y است .

اجازه دهید f  : X → Y یک تابع باشد و اجازه دهید{ displaystyle operatorname {ker} (f) triangleq ((x، x ') mid f (x) = f (x') }}هسته آن به عنوان زیرمجموعه X × X در نظر گرفته می شود .

• اگر f ثابت باشد و Y Hausdorff باشد، ker ( f ) بسته است.
• اگر f یک جسم باز است و ker ( f ) بسته است، Y Hausdorff است.
• اگر f یک سرکوب مستمر و باز است (به عنوان مثال یک نقشه توزیع باز)، Y Hausdorff است اگر و فقط اگر ker (f) بسته باشد.

اگر f، g  : X → Y نقشه های پیوسته و Y Hausdorff و سپس اکولایزر باشد { displaystyle { mbox {eq}} (f، g) = {x mid f (x) = g (x) }}در X بسته است این شرح است که اگر Y هاسدورف است و F و G در دیدن همه موارد متراکم زیر مجموعه ای از X پس از آن F = G . به عبارت دیگر، توابع پیوسته به فضاهای Hausdorff با ارزش های خود را در زیر مجموعه های متراکم تعیین می شود.

اجازه دهید F  : X → Y یک بسته تابع پوشا به طوری که F -1 ( Y ) است جمع و جور برای همه Y ∈ Y . سپس X اگر Hausdorff است، بنابراین Y است .

اجازه دهید f  : X → Y یک نقشه تقریبی با X یک فضای Hausdorff فشرده باشد. بعدی ها برابر هستند:

• Y Hausdorff است.
• f یک نقشه بسته است .
• ker ( f ) بسته است

Preregularity در مقابل نظم [ ویرایش ]

همه فضاهای منظم ، پیش فرض هستند، همانطور که همه فضاهای Hausdorff هستند. نتایج زیادی برای فضاهای توپولوژیکی وجود دارد که برای فضاهای منظم و هسدورف نگهداری می شود. اغلب این نتایج برای تمام فضاهای پیش فرض نگهداری می شود. آنها به طور جداگانه برای فضاهای منظم و هوسدورف فهرست شده اند، زیرا بعد از آن ایده فضاهای پیش رونده به وجود آمد. از سوی دیگر، آن نتایج که واقعا در مورد منظم بودن به طور کلی نیز به فضاهای هادسفری غیر منظم اعمال می شود.

موقعیت های زیادی وجود دارد که شرایط دیگری از فضاهای توپولوژیکی (مانند پارا کمپلکت یا فشرده سازی محلی ) به صورت منظم، اگر پیش شرطی راضی باشد، وجود دارد. چنین شرایطی معمولا در دو نسخه ارائه می شود: نسخه معمولی و یک نسخه هوسدورف. فضاهای Hausdorff معمولا به طور منظم نیستند، فضایی Hausdorff نیز (به عنوان مثال) به طور محلی جمع می شود به طور منظم، زیرا هر فضای هوسدورف پیش فرض است. بنابراین از دیدگاه خاصی، این امر به جای منظم بودن، پیش شرطی است که در این شرایط مهم است. با این حال، تعاریف معمولا با توجه به منظم بیان می شوند، زیرا این شرایط بهتر از پیش گرایی شناخته شده است.

برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد این موضوع، تاریخچه مفاهیم جدایی را ببینید .

واژگان [ ویرایش ]

اصطلاحات "هاوسدورف"، "جدا شده" و "مقدمه" نیز می تواند به چنین گونه هایی در فضاهای توپولوژیکی به عنوان فضاهای یکنواخت ، فضاهای کوشی و فضاهای همگرایی استفاده شود . مشخصه ای که مفهوم را در همۀ این نمونه ها متحد می سازد این است که محدودیت های شبکه ها و فیلترها (در صورت وجود) منحصر به فرد هستند (برای فضاهای جدا شده) و یا منحصر به فرد به تناقض توپولوژیکی (برای فضاهای پیش فرض).

همانطور که معلوم است، فضای یکنواخت، و به طور کلی فضاهای کوشی، همیشه preregular، به طوری که شرایط هاسدورف در این موارد را کاهش می دهد به آن T 0 وضعیت. این ها همچنین فضایی هستند که کامل بودن آن را معنی می دهد و Hausdorffness ترکیبی طبیعی برای تکمیل این موارد است. به طور خاص، یک فضای کامل اگر و تنها اگر هر خالص کوشی است در استحداقل یکی از این محدودیت، در حالی که یک فضای هاسدورف است اگر و تنها اگر هر خالص کوشی است در بسیاری از یکی از این محدودیت (از آنجا که تنها شبکه کوشی می توانید محدودیت در وهله اول).

جبر توابع [ ویرایش ]

جبر عملیات پیوسته (واقعی یا پیچیده) در فضایی هادسفورد فشرده یک C-algebra تعاملی است ، و بر خلاف قضیه Banach-Stone می توان توپولوژی فضا را از خواص جبری جبر آن تابع پیوسته بازیابی کرد. این به هندسه غیرقابل جبری منجر می شود ، جایی که یک C-algebras غیر غیر قابل خواندن را به عنوان جبری از توابع در یک فضای غیرمنتظره نشان می دهد.

طنز علمی [ ویرایش ]

• شرایط Hausdorff توسط pun نشان داده شده است که در فضاهای Hausdorff هر دو نقطه می تواند "جدا" از یکدیگر توسط مجموعه های باز . [10]
• در موسسه ریاضی دانشگاه بن ، که در آن فلیکس هاستورف تحقیق و سخنرانی کرده است، یک اتاق مشخص وجود دارد که Hausdorff-Raum را تعیین می کند . این پانویس است، به عنوانRaum معنی هر دو اتاق و فضا در آلمان است.

همچنین نگاه کنید به [ ویرایش ]

• فضای کوازیتوپولوژیک
• فضای هوسردور ضعیف
• فضای نقطه ثابت ، یک فضای Hausdorff X به طوری که هر تابع مداوم f  : X → X یک نقطه ثابت دارد.