فضای منظم

در توپولوژی و زمینه های مرتبط با ریاضیات ، یک فضای توپولوژیک X به عنوان فضای منظم نامیده می شود، اگر هر زیرمجموعه C از X و یک نقطه P در C قرار نداشته باشد، غیر همپوشانی محله های باز . [1] بنابراین P و C را می توان از طریق محله ها جدا کرد . این وضعیت به نامAxiom T 3 شناخته شده است . اصطلاح " فضای T 3 " معمولا به معنی " فضای معمول هوسدورف" است"این شرایط نمونه هایی از محرک های جدایی است .

فهرست

• 1تعاریف
• 2روابط با سایر اصطلاحات جدایی
• 3نمونه ها و نمونه های نمونه
• 4خواص اولیه
• 5منابع

تعاریف [ ویرایش ]

نقطه X که توسط یک نقطه به سمت چپ تصویر و یک مجموعه بسته F که توسط یک دیسک بسته به سمت راست تصویر نشان داده شده است، توسط محله های U و V ، که توسط دیسک های باز بزرگتر نمایان می شوند، جدا شده اند .نقطه X دارای مقدار زیادی از اتاق را به تکان دادن در اطراف دیسک باز U ، و دیسک بسته F دارای مقدار زیادی از اتاق را به تکان دادن در اطراف باز دیسک V ، هنوز Uو V یکدیگر را لمس نمی کند.

یک فضای توپولوژیک X یک فضای منظم است ، به شرطی که هر مجموعه بسته F و هر نقطه x که به F تعلق ندارند ، یک محله U از x وجود دارد و یک محله V از F که یکپارچه نیست . به طور خلاصه، آن باید امکان پذیر باشد جدا X و F با محله مجزا.

T 3 فضای یا فضای هاسدورف به طور منظم یک فضای توپولوژیکی است که هر دو به طور منظم و یک است فضای هاسدورف . (A فضای هاسدورف و یا T 2 فضا یک فضای توپولوژیکی که در آن هر دو نقطه مجزا توسط محله جدا شده است.) به نظر می رسد که یک فضای T است 3 اگر و تنها اگر آن است که هر دو به طور منظم و T 0 . (AT 0 یا فضای Kolmogorov یک فضای توپولوژیک است که در آن هر دو نقطه متمایز از لحاظ توپولوژی قابل تشخیص هستند ، یعنی برای هر جفت نقطه مشخص، حداقل یکی از آنها دارای یکمحله بازدر واقع اگر یک فضایی هوسدورف باشد، آن را T 0 است و هر T 0 فضای منظم Hausdorff است: با توجه به دو نقطه متمایز، حداقل یکی از آنها بسته شدن یکی دیگر را نادیده می گیرد، بنابراین (به صورت منظم ) محله های غیر مجزا وجود دارند که از نقطه (بسته شدن) یک نقطه جدا می شوند.

اگر چه تعاریف ارائه شده در اینجا برای "منظم" و "T 3 " غیر معمول نیست، در ادبیات متنوعی وجود دارد: برخی از نویسندگان تعاریف "منظم" و "T 3 " را تغییر می دهند، همانطور که در اینجا استفاده می شوند، یا از هر دو اصطلاح استفاده می کنند تعویض در این مقاله، ما اصطلاح "منظم" را به صورت آزادانه استفاده می کنیم، اما معمولا "هوسدورف منظم" را می گویند، که به وضوح به جز دقیق تر "T 3 " نیست. برای اطلاعات بیشتر در مورد این موضوع، تاریخچه تمثیل را ببینید .

یک فضای منظم محلی یک فضای توپولوژیک است که هر نقطه دارای یک محدوده باز است که به طور منظم است. هر فضای منظم محلی به طور منظم است، اما گفتگو درست نیست. مثال کلاسیک از یک فضای منظم محلی که به طور منظم نیست خط خطای خط چشم است .

ارتباط با سایر اصطلاحات جدایی [ ویرایش ]

فضای منظم نیز لزوما پیش فرض است ، یعنی هر دو نقاط قابل تشخیص از لحاظ توپولوژیکی می توانند توسط محله ها جدا شوند. از آنجا که یک فضای هاسدورف به عنوان یک preregular است T 0 فضا ، یک فضای به طور منظم که آن هم T 0 باید هاسدورف (و در نتیجه T باشد 3 ). در حقیقت، یک فضای معمولی Hausdorff شرایط تند و تیزتر T 2½ را رفع می کند . (با این حال، چنین فضایی به طور کامل Hausdorff نیست .) بنابراین، تعریف T 3 ممکن است T 0 ، T 1 یا T 2½ را به جای T 2(Hausdorffness)؛ همه در متن فضاهای منظم معادل هستند.

به طور تئوری بیشتر، شرایط منظم و T 3 -newn توسط مقادیر کولموگروف ارتباط دارند . فضای منظم است اگر و فقط اگر فاکتور کلموگروف آن T 3 باشد ؛ و، همانطور که ذکر شد، فضای T 3 استاگر و فقط اگر آن هم منظم و T 0 باشد. بنابراین فضای منظم در عمل معمولا با فرض جایگزینی فضای با فاکتور کلموگروف، T 3 فرض می شود .

نتایج زیادی برای فضاهای توپولوژیکی وجود دارد که برای فضاهای منظم و هسدورف نگهداری می شود. اغلب این نتایج برای تمام فضاهای پیش فرض نگهداری می شود. آنها به طور جداگانه برای فضاهای منظم و هوسدورف فهرست شده اند، زیرا بعد از آن ایده فضاهای پیش رونده به وجود آمد. از سوی دیگر، آن نتایج که واقعا در مورد منظم بودن به طور کلی نیز به فضاهای هادسفری غیر منظم اعمال می شود.

موقعیت های بسیاری وجود دارد که وضعیت دیگری از فضاهای توپولوژیکی (مانند عادی ، پوزیترونومالی ، پارا کمپلکت یا فشرده سازی محلی) اگر منظر جدایی ضعیف تر مثل پیش شرطی راضی باشد، به صورت منظم تلقی می شود. چنین شرایطی معمولا در دو نسخه ارائه می شود: نسخه معمولی و یک نسخه هوسدورف. اگرچه فضاهای Hausdorff به طور کلی به طور منظم نیستند، فضای Hausdorff نیز (به عنوان مثال) محلی فشرده به طور منظم خواهد بود، زیرا هر فضای هوسدورف پیش فرض است. بنابراین از یک منظر خاص، منظم بودن این مسئله واقعا در اینجا نیست و ما می توانیم یک شرایط ضعیف تر را تحمیل کنیم تا نتایج مشابهی بگیریم. با این حال، تعاریف معمولا با توجه به منظم بیان می شوند، زیرا این شرایط بیشتر از همه ضعیف تر شناخته شده است.

بیشتر فضاهای توپولوژیکی مورد مطالعه در تجزیه و تحلیل ریاضی به طور منظم هستند؛ در واقع، آنها معمولا کاملا منظم هستند ، که یک وضعیت قوی تر است. فضاهای منظم نیز باید با فضاهای طبیعی متناسب باشد .

مثالها و نمونههای دیگری [ ویرایش ]

فضای صفر بعدی با توجه به ابعاد کوچک القایی دارای پایه متشکل از مجموعه clopen . هر فضایی به طور منظم است.

همانطور که در بالا توضیح داده شد، هر فضای منظم به طور منظم به طور منظم است و هر فضای T 0 که Hausdorff نیست (و بنابراین پیش فرض نیست) می تواند منظم نباشد. بیشتر نمونه هایی از فضاهای منظم و غیر منظم در ریاضیات مورد مطالعه در این دو مقاله یافت می شود. از سوی دیگر، فضاهای منظم، اما به طور کامل منظم و یا پیش فرض، اما نه منظم، معمولا فقط برای ارائه نمونه های مخالف به conjectures، نشان دادن مرزهای قواعد ممکن است . البته، به راحتی می توانید فضاهای منظم را که T 0 نیستند و بنابراین هوسدورف، مانند یک فضای نامحدود ، پیدا کنید، اما این مثال ها بینش بیشتری در مورد T 0axiom نسبت به منظم بودن یک نمونه از یک فضای منظم که به طور کامل منظم نیست، کورکش Tychonoff است .

فضای جالب در ریاضیات که به طور منظم نیز برخی شرایط قوی را برآورده می کند. بنابراین، فضاهای منظم معمولا برای پیدا کردن خواص و قضیه، مانند موارد زیر، که در واقع برای فضاهای کاملا منظم، معمولا در تجزیه و تحلیل، مورد استفاده قرار می گیرد.

فضاهای Hausdorff وجود دارد که به طور منظم نیستند. یک مثال R مجموعه با توپولوژی تولید شده توسط مجموعه ای از فرم U - C ، جایی که U یک مجموعه باز به معنای معمول است، و C هر زیر مجموعه قابل شمارش از U است .

خواص اولیه [ ویرایش ]

فرض کنید X یک فضای منظم است. سپس با توجه به هر نقطه x و محله G از x ، یک محدوده بسته E از x وجود دارد که یک زیر مجموعه از G است . در حالت عجیب، محدوده بسته از x یکپایگاه محلی در x را تشکیل می دهند . در واقع، این ویژگی ویژگی های فضای منظم است. اگر محدوده بسته هر نقطه در یک فضای توپولوژی یک پایگاه محلی در آن نقطه را تشکیل می دهند، فضای باید به طور منظم باشد.

با توجه به فضای داخلی این محله بسته، ما می بینیم که مجموعه های باز به طور منظم تشکیل یک پایه برای مجموعه باز از فضا به طور منظم X . این ویژگی در واقع ضعیف تر از منظم بودن است؛ یک فضای توپولوژیک که مجموعه های منظم باز آن یک پایه را تشکیل می دهند، نیمه رگولار است .