آخرین مطالب
امکانات وب
تاریخچه تعریف [ ویرایش ]
فضای اقلیدسی توسط یونانیان باستان به عنوان انتزاعی از فضای فیزیکی ما معرفی شد . نوآوری بزرگ آنها، که در عناصر اقلیدس ظاهر شد ، ساختن و اثبات تمام هندسه با شروع از چند ویژگی بسیار اساسی بود که از دنیای فیزیکی انتزاع شده است و به دلیل فقدان ابزارهای اساسی تر، نمی توان آنها را از نظر ریاضی اثبات کرد. این ویژگی‌ها در زبان امروزی ، اصل‌ها یا بدیهیات نامیده می‌شوند . این روش برای تعریف فضای اقلیدسی هنوز تحت عنوان هندسه مصنوعی استفاده می شود .
در سال 1637، رنه دکارت مختصات دکارتی را معرفی کرد و نشان داد که این امکان کاهش مسائل هندسی را به محاسبات جبری با اعداد فراهم می کند. این کاهش هندسه به جبر یک تغییر عمده در دیدگاه بود، زیرا تا آن زمان اعداد حقیقی بر حسب طول و فواصل تعریف می شدند.
هندسه اقلیدسی تا قرن نوزدهم در فضاهایی با ابعاد بیش از سه به کار نمی رفت. لودویگ شلافلی هندسه اقلیدسی را به فضاهایی با بعد n تعمیم داد ، با استفاده از هر دو روش مصنوعی و جبری، و تمام چند توپ های منظم (مشابه های با ابعاد بالاتر جامدات افلاطونی ) را که در فضاهای اقلیدسی با هر بعد وجود دارند، کشف کرد. [4]
علیرغم استفاده گسترده از رویکرد دکارت که هندسه تحلیلی نامیده می شد ، تعریف فضای اقلیدسی تا پایان قرن نوزدهم بدون تغییر باقی ماند. معرفی فضاهای برداری انتزاعی امکان استفاده از آنها را در تعریف فضاهای اقلیدسی با یک تعریف صرفا جبری فراهم کرد. نشان داده شده است که این تعریف جدید از نظر بدیهیات هندسی معادل تعریف کلاسیک است. این تعریف جبری است که امروزه بیشتر برای معرفی فضاهای اقلیدسی استفاده می شود.
انگیزه تعریف مدرن [ ویرایش ]
تاریخچه تعریف [ ویرایش ]
فضای اقلیدسی توسط یونانیان باستان به عنوان انتزاعی از فضای فیزیکی ما معرفی شد . نوآوری بزرگ آنها، که در عناصر اقلیدس ظاهر شد ، ساختن و اثبات تمام هندسه با شروع از چند ویژگی بسیار اساسی بود که از دنیای فیزیکی انتزاع شده است و به دلیل فقدان ابزارهای اساسی تر، نمی توان آنها را از نظر ریاضی اثبات کرد. این ویژگی‌ها در زبان امروزی ، اصل‌ها یا بدیهیات نامیده می‌شوند . این روش برای تعریف فضای اقلیدسی هنوز تحت عنوان هندسه مصنوعی استفاده می شود .
در سال 1637، رنه دکارت مختصات دکارتی را معرفی کرد و نشان داد که این امکان کاهش مسائل هندسی را به محاسبات جبری با اعداد فراهم می کند. این کاهش هندسه به جبر یک تغییر عمده در دیدگاه بود، زیرا تا آن زمان اعداد حقیقی بر حسب طول و فواصل تعریف می شدند.
هندسه اقلیدسی تا قرن نوزدهم در فضاهایی با ابعاد بیش از سه به کار نمی رفت. لودویگ شلافلی هندسه اقلیدسی را به فضاهایی با بعد n تعمیم داد ، با استفاده از هر دو روش مصنوعی و جبری، و تمام چند توپ های منظم (مشابه های با ابعاد بالاتر جامدات افلاطونی ) را که در فضاهای اقلیدسی با هر بعد وجود دارند، کشف کرد. [4]
علیرغم استفاده گسترده از رویکرد دکارت که هندسه تحلیلی نامیده می شد ، تعریف فضای اقلیدسی تا پایان قرن نوزدهم بدون تغییر باقی ماند. معرفی فضاهای برداری انتزاعی امکان استفاده از آنها را در تعریف فضاهای اقلیدسی با یک تعریف صرفا جبری فراهم کرد. نشان داده شده است که این تعریف جدید از نظر بدیهیات هندسی معادل تعریف کلاسیک است. این تعریف جبری است که امروزه بیشتر برای معرفی فضاهای اقلیدسی استفاده می شود.
انگیزه تعریف مدرن [ ویرایش ]
یکی از راه‌هایی که می‌توان صفحه اقلیدسی را در نظر گرفت، مجموعه‌ای از نقاط است که روابط خاصی را برآورده می‌کنند، که بر حسب فاصله و زاویه قابل بیان است. به عنوان مثال، دو عملیات اساسی (که به آنها حرکت گفته می شود ) در فضا وجود دارد . یکی ترجمه است که به معنای جابجایی صفحه است به طوری که هر نقطه در یک جهت و به همان فاصله جابجا شود. دیگری چرخش حول یک نقطه ثابت در صفحه است که در آن تمام نقاط صفحه از یک زاویه به دور آن نقطه ثابت می چرخند. یکی از اصول اولیه هندسه اقلیدسی این است که دو شکل (معمولاً به عنوان زیرمجموعه در نظر گرفته می شوند ) از صفحه باید معادل ( همسان) در نظر گرفته شوند.) اگر بتوان یکی را با توالی ترجمه، چرخش و بازتاب به دیگری تبدیل کرد (به زیر مراجعه کنید ).
برای اینکه همه اینها از نظر ریاضی دقیق شود، این نظریه باید به وضوح آنچه فضای اقلیدسی است و مفاهیم مربوط به فاصله، زاویه، ترجمه و چرخش را تعریف کند. حتی زمانی که در تئوری های فیزیکی استفاده می شود ، فضای اقلیدسی انتزاعی است که از مکان های فیزیکی حقیقی، چارچوب های مرجع خاص ، ابزار اندازه گیری و غیره جدا شده است. یک تعریف کاملاً ریاضی از فضای اقلیدسی نیز سوالات مربوط به واحدهای طول و سایر ابعاد فیزیکی را نادیده می گیرد : فاصله در یک فضای "ریاضی" یک عدد است ، نه چیزی که در اینچ یا متر بیان می شود.
روش استاندارد برای تعریف ریاضی فضای اقلیدسی، همانطور که در ادامه این مقاله انجام شد، به عنوان مجموعه ای از نقاط است که یک فضای برداری حقیقی بر روی آنها عمل می کند ، فضای ترجمه ها که مجهز به یک ضرب درونی است . [1] عمل ترجمه ها فضا را به یک فضای همبند تبدیل می کند و این امکان تعریف خطوط، سطوح، فضاهای فرعی، بعد و موازی را فراهم می کند . ضرب داخلی امکان تعیین فاصله و زاویه را فراهم می کند.
مجموعه
نتیجه این است که هر چیزی که در مورد فضای اقلیدسی می توان گفت می توان در مورد آن نیز گفت.
دلیلی برای ارائه چنین تعریف انتزاعی از فضاهای اقلیدسی و کار با آن به جای
یکی از راه‌هایی که می‌توان صفحه اقلیدسی را در نظر گرفت، مجموعه‌ای از نقاط است که روابط خاصی را برآورده می‌کنند، که بر حسب فاصله و زاویه قابل بیان است. به عنوان مثال، دو عملیات اساسی (که به آنها حرکت گفته می شود ) در هواپیما وجود دارد . یکی ترجمه است که به معنای جابجایی صفحه است به طوری که هر نقطه در یک جهت و به همان فاصله جابجا شود. دیگری چرخش حول یک نقطه ثابت در صفحه است که در آن تمام نقاط صفحه از یک زاویه به دور آن نقطه ثابت می چرخند. یکی از اصول اولیه هندسه اقلیدسی این است که دو شکل (معمولاً به عنوان زیرمجموعه در نظر گرفته می شوند ) از صفحه باید معادل ( همسان) در نظر گرفته شوند.) اگر بتوان یکی را با توالی ترجمه، چرخش و بازتاب به دیگری تبدیل کرد (به زیر مراجعه کنید ).
برای اینکه همه اینها از نظر ریاضی دقیق شود، این نظریه باید به وضوح آنچه فضای اقلیدسی است و مفاهیم مربوط به فاصله، زاویه، ترجمه و چرخش را تعریف کند. حتی زمانی که در تئوری های فیزیکی استفاده می شود ، فضای اقلیدسی انتزاعی است که از مکان های فیزیکی حقیقی، چارچوب های مرجع خاص ، ابزار اندازه گیری و غیره جدا شده است. یک تعریف کاملاً ریاضی از فضای اقلیدسی نیز سوالات مربوط به واحدهای طول و سایر ابعاد فیزیکی را نادیده می گیرد : فاصله در یک فضای "ریاضی" یک عدد است ، نه چیزی که در اینچ یا متر بیان می شود.
روش استاندارد برای تعریف ریاضی فضای اقلیدسی، همانطور که در ادامه این مقاله انجام شد، به عنوان مجموعه ای از نقاط است که یک فضای برداری حقیقی بر روی آنها عمل می کند ، فضای ترجمه ها که مجهز به یک ضرب درونی است . [1] عمل ترجمه ها فضا را به یک فضای همبند تبدیل می کند و این امکان تعریف خطوط، سطوح، فضاهای فرعی، بعد و موازی را فراهم می کند . ضرب داخلی امکان تعیین فاصله و زاویه را فراهم می کند.
مجموعه
نتیجه این است که هر چیزی که در مورد فضای اقلیدسی می توان گفت می توان در مورد آن نیز گفت.
دلیلی برای ارائه چنین تعریف انتزاعی از فضاهای اقلیدسی و کار با آن به جای
ریاضیات...
برچسب : نویسنده : 9math1342d بازدید : 124