فضای تحلیلی

​

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

این مقاله شامل فهرستی از مراجع ، خواندن مرتبط یا پیوندهای خارجی است ، اما منابع آن نامشخص است زیرا فاقد نقل قول های درون خطی است . لطفا با معرفی نقل قول های دقیق تر به بهبود این مقاله کمک کنید. ( ژانویه 2024 ) ( نحوه و زمان حذف این پیام الگو را بیاموزید )

برای فضاهای تحلیلی غیر ارمیدسی، به فضای برکوویچ مراجعه کنید .

فضای تحلیلی تعمیم یک منیفولد تحلیلی است که امکان تکینگی ها را فراهم می کند . فضای تحلیلی به فضایی گفته می شود که به صورت محلی با انواع تحلیلی یکسان است . آنها در مطالعه چندین متغیر مختلط برجسته هستند ، اما در زمینه های دیگر نیز ظاهر می شوند.

تعریف [ ویرایش ]

فیلد k را با ارزش گذاری ثابت کنید. فرض کنید که فیلد کامل است و با توجه به این ارزش گذاری گسسته نیست. به عنوان مثال، این شامل R و C با توجه به مقادیر مطلق معمول آنها، و همچنین فیلدهای سری Puiseux با توجه به ارزش گذاری طبیعی آنها می شود.

فرض کنید U یک زیرمجموعه باز از k n باشد و f 1 , ..., f k مجموعه ای از توابع تحلیلی روی U باشد . مکان ناپدید شدن مشترک f 1 , ..., f k را با Z نشان دهید ، یعنی اجازه دهید Z = { x | f 1 ( x ) = ... = f k ( x ) = 0 }. Z یک واریته تحلیلی است.

فرض کنید که شیف ساختار U است. سپس Z یک شیف ساختاری دارد، جایی کهایده آل تولید شده توسط f 1 ، ...، f k است . به عبارت دیگر، شیف ساختار Z شامل تمام توابع روی مدول U است که راه های ممکنی که می توانند در خارج از Z متفاوت باشند .

فضای تحلیلی یک فضای حلقه دار محلی استبه طوری که در اطراف هر نقطه x از X یک همسایه باز U وجود دارد به طوری کههم‌شکل (به عنوان فضاهای حلقه‌دار محلی) به یک واریته تحلیلی با ساختار ساختاری آن است. چنین ایزومورفیسمی یک مدل محلی برای X در x نامیده می شود .

نگاشت تحلیلی یا مورفیسم فضاهای تحلیلی شکلی از فضاهای حلقه ای محلی است.

این تعریف شبیه به تعریف یک طرح است . تنها تفاوت این است که برای یک طرح، مدل‌های محلی طیف‌هایی از حلقه‌ها هستند ، در حالی که برای یک فضای تحلیلی، مدل‌های محلی انواع تحلیلی هستند. به همین دلیل، نظریه‌های اساسی فضاهای تحلیلی و طرح‌ها بسیار مشابه هستند. علاوه بر این، انواع تحلیلی رفتار بسیار ساده‌تری نسبت به حلقه‌های جابجایی دلخواه دارند (به عنوان مثال، انواع تحلیلی بر روی میدان‌ها تعریف می‌شوند و همیشه با ابعاد محدود هستند)، بنابراین فضاهای تحلیلی بسیار شبیه به طرح‌های نوع محدود روی یک میدان عمل می‌کنند.

نتایج اولیه [ ویرایش ]

هر نقطه در یک فضای تحلیلی یک بعد محلی دارد. بعد در x با انتخاب یک مدل محلی در x و تعیین بعد محلی واریته تحلیلی در نقطه مربوط به x پیدا می‌شود .

هر نقطه در یک فضای تحلیلی یک فضای مماس دارد . اگر x نقطه ای از X باشد و mx شیف ایده آلی از تمام توابع است که در x ناپدید می شوند ، آنگاه فضای کتانژانت در x m x / m x 2 است . فضای مماس ( m x / m x 2 ) * است ، فضای برداری دوگانه به فضای کتانژانت. نگاشتهای تحلیلی، نقشه‌های فشاری را در فضاهای مماس و نقشه‌های عقب‌نشینی در فضاهای هم‌تانژانت القا می‌کنند.

بعد فضای مماس در x را بعد تعبیه شده در x می گویند . با نگاه کردن به یک مدل محلی، به راحتی می توان دریافت که بعد همیشه کمتر یا برابر با بعد تعبیه شده است.

نرمی [ ویرایش ]

یک فضای تحلیلی در x صاف نامیده می شود اگر یک مدل محلی در x داشته باشد که زیرمجموعه باز k n برای برخی n باشد . فضای تحلیلی اگر در هر نقطه صاف باشد صاف نامیده می شود و در این حالت یک منیفولد تحلیلی است . زیرمجموعه نقاطی که فضای تحلیلی در آنها صاف نیست، یک زیر مجموعه تحلیلی بسته است.

در صورتی که هر مدل محلی برای فضا با مجموعه ای از ایده آل ها تعریف شود، فضای تحلیلی کاهش می یابد. یک فضای تحلیلی X که کاهش نمی‌یابد دارای یک کاهش قرمز X است ، یک فضای تحلیلی کاهش‌یافته با همان فضای توپولوژیکی زیرین. یک مورفیسم متعارف r وجود دارد : X قرمز → X. هر مورفیسم از X به کاهش عوامل فضای تحلیلی از طریق r .

فضای تحلیلی در صورتی طبیعی است که هر ساقه از شیف سازه یک حلقه معمولی باشد (به معنی یک دامنه انتگرال یکپارچه بسته). در یک فضای تحلیلی معمولی، مکان منفرد حداقل دارای دو بعد است. وقتی X یک تقاطع کامل محلی در x است ، X در x نرمال است .

فضاهای تحلیلی غیر عادی را می توان به روشی متعارف به فضاهای عادی هموار کرد. این ساخت و ساز نرمال سازی نامیده می شود . نرمال سازی N ( X ) یک فضای تحلیلی X همراه با یک نقشه متعارف ν: N ( X ) → X است . هر مورفیسم غالب از یک فضای تحلیلی نرمال تا عامل X از طریق ν.

نوارهای منسجم [ ویرایش ]

یک فضای تحلیلی در صورتی منسجم است که ساختار آن شیف باشدیک شیف منسجم است . یک نوار منسجم ازمدول ها را یک شیف تحلیلی منسجم می نامند . به عنوان مثال، در یک فضای منسجم، قفسه‌های آزاد محلی و غلاف ایده الها، قفسه‌های تحلیلی منسجم هستند.

فضاهای تحلیلی روی میدان های بسته جبری منسجم هستند. در حالت مختلط، این به عنوان قضیه انسجام Oka شناخته می شود . این در مورد زمینه های غیر جبری بسته صادق نیست. نمونه هایی از فضاهای تحلیلی حقیقی وجود دارد که منسجم نیستند.

کلیات [ ویرایش ]

در برخی شرایط، مفهوم فضای تحلیلی بسیار محدود کننده است. این اغلب به این دلیل است که میدان زمین دارای ساختار اضافی است که توسط مجموعه های تحلیلی گرفته نمی شود. در این شرایط، تعمیم فضاهای تحلیلی وجود دارد که امکان انعطاف پذیری بیشتری را در فضاهای مدل محلی فراهم می کند.

برای مثال، روی اعداد حقیقی، دایره x^ 2 + y ^2 = 1 را در نظر بگیرید . دایره یک زیر مجموعه تحلیلی از فضای تحلیلی R^ 2 است . اما طرح آن بر روی محور x بازه بسته [1, 1-] است که یک مجموعه تحلیلی نیست. بنابراین تصویر یک مجموعه تحلیلی در زیر یک نقشه تحلیلی لزوما یک مجموعه تحلیلی نیست. با کار کردن با مجموعه‌های زیر تحلیلی ، که بسیار سخت‌تر از مجموعه‌های تحلیلی هستند، اما در زمینه‌های دلخواه تعریف نشده‌اند، می‌توان از این امر اجتناب کرد . تعمیم متناظر یک فضای تحلیلی یک فضای زیر تحلیلی است. (با این حال، تحت فرضیه های توپولوژی مجموعه نقطه ای ضعیف ، معلوم می شود که فضاهای زیر تحلیلی اساساً معادل مجموعه های زیر تحلیلی هستند.)

همچنین ببینید [ ویرایش ]

• واریته تحلیلی
• فضای تحلیلی مختلط

منابع [ ویرایش ]

• Onishchik، AL (2001) [1994]، "فضای تحلیلی" ، دایره المعارف ریاضیات ، EMS Press
• پونومارف، DA (2001) [1994]، "فضای تحلیلی حقیقی" ، دایره المعارف ریاضیات ، چاپ EMS

دسته بندی :

• هندسه جبری

https://en.wikipedia.org/wiki/Analytic_space

​