فضای Tychonoff

در توپولوژی و شاخه های مرتبط ریاضیات ، فضاهای Tychonoff و فضاهای کاملا منظم انواع فضاهای توپولوژی است . این شرایط نمونه هایی ازاصول تفکیک است .

فضاهای Tychonoff نامگذاری شده اند، به نام آندری نیکولایویچ تیکونوف نامیده می شود که نام روسی آن (Тихонов) به صورت «تیشونوف»، «تیکونوف»، «تیونوف»، «تیشونوف» و غیره به کار رفته است.

فهرست

• 1تعاریف
• 2کنوانسیون نامگذاری
• 3نمونه و نمونه های مخدر
• 4خواص
  • 4.1حفظ
  • 4.2توابع مستمر ارزشمند
  • 4.3درونه گیریها
  • 4.4تسویه حساب
  • 4.5ساختارهای یکنواخت
• 5منابع

تعاریف [ ویرایش ]

فضای توپولوژی، { displaystyle X}، دقیقا به طور دقیق به طور منظم نامیده می شود در صورتی که نقاط می توانند از مجموعه های بسته از طریق (محدود) توابع واقعی پیوسته پیوسته جدا شوند . در شرایط فنی این بدان معنی است: برای هر مجموعه بسته { displaystyle A subseteq X}و هر نقطه ای { displaystyle x in X setminus A}، پس از آن وجود دارد وجود دارد حقیقی تابع پیوسته { displaystyle f: X longrightarrow mathbb {R}} به طوری که { displaystyle f (x) = 1} و { displaystyle f mid A equiv 0}. (به طور برابر می توان هر دو مقدار را به جای آن انتخاب کرد{ displaystyle 0} و { displaystyle 1} و حتی خواستار آن هستیم { displaystyle f} یک تابع محدود باشد.)

فضای توپولوژی، { displaystyle X}، علاوه بر این، فضای Tychonoff (به ترتیب: T 3½ فضا ، یا T π فضا ، یا به طور کامل فضای T 3 )، در صورت آن است که فضایی کاملا به طور منظم Hausdorff است .

یادداشت فضاهای کاملا منظم و فضاهای Tychonoff از طریق مفهوم معادله کلموگروف ارتباط دارند . فضای توپولوژیک Tychonoff اگر و فقط اگر آن را کاملا به طور منظم و T 0 است . از سوی دیگر، فضای کاملا منظم است اگر و فقط اگر فاکتور Kolmogorov آن Tychonoff باشد.

کنوانسیون نامگذاری [ ویرایش ]

در سراسر ادبیات ریاضی، قراردادهای مختلف در مورد اصطلاح "کاملا منظم" و "T" -Axioms استفاده می شود. تعاریف این بخش در استفاده مدرن مدرن هستند. بعضی از نویسندگان، با این حال، معانی دو نوع اصطلاحات را تغییر می دهند یا از اصطلاحات استفاده می کنند. در ویکیپدیا، اصطلاحات "کاملا منظم" و "Tychonoff" به صورت رایگان استفاده می شود و "T" -notation به طور کلی اجتناب می شود. در ادبیات استاندارد، به این ترتیب، با توجه به تعاریف که نویسنده استفاده می کند، توصیه شده است، توصیه می شود. برای اطلاعات بیشتر در مورد این موضوع، تاریخچه تمثیل را ببینید .

مثالها و نمونه های مخالف [ ویرایش ]

تقریبا هر فضای توپولوژیک در تحلیل ریاضی مورد مطالعه قرار گرفته است Tychonoff یا حداقل به طور کامل منظم است. به عنوان مثال، خط واقعی Tychonoff تحت توپولوژي Euclideanاستاندارد است . مثالهای دیگر عبارتند از:

• هر فضای متریک Tychonoff است؛ هر فضایی شبه سنجی کاملا منظم است.
• هر فضای منظم فضای محلی به طور کامل منظم است و بنابراین هر فضای هوسدورف محلی فشرده Tychonoff است.
• به طور خاص، هر چندفیلم توپولوژیکی Tychonoff است.
• هر کدام از دستورات مرتب با توپولوژی سفارش ، Tychonoff است.
• هر گروه توپولوژیک کاملا منظم است.
• هر فضایی متریک و گروه های توپولوژیکی را به طور کلی به هم متصل می کند، هر فضای یکنواخت کاملا منظم است. گفتگو نیز درست است: هر فضای کاملا به طور منظم uniformisable است.
• هر مجموعه CW Tychonoff است.
• هر نرمال فضای به طور منظم به طور کامل به طور منظم است، و هر فضای عادی هاسدورف Tychonoff است.
• هواپیما Niemytzki نمونه ای از یک فضای Tychonoff است که نه است طبیعی .

خواص [ ویرایش ]

حفظ [ ویرایش ]

منظم بودن کامل و اموال Tychonoff با توجه به توپولوژی های اولیه رفتار خوبی دارند . به طور خاص، منظم بودن کامل با استفاده از توپولوژی های دلخواه اولیه حفظ می شود و ویژگی Tychonoff با استفاده از توپولوژی های اولیه جدا سازی نقطه حفظ می شود. نتیجه می شود که:

• هر زیرمجموعه ای از یک فضای کامل به طور منظم یا Tychonoff دارای همان ویژگی است.
• فضای محصول غیرمستقیم به طور کامل منظم (Tychonoff) است اگر و فقط اگر هر فضای فاکتور به طور کامل منظم (به ترتیب Tychonoff) باشد.

مثل همه اصول تفکیک، با استفاده از توپولوژی های نهایی ، منظم بودن کامل حفظ نمی شود . به طور خاص، فاكتورهاي فضاي كاملا منظم نياز به منظم بودن ندارند . فضاهای فضاهای Tychonoff حتی Hausdorff نیستند . مقادیر بسته ای از هواپیما مور وجود دارد که نمونه های مخالف را ارائه می دهند.

عملیات مستمر ارزشمند [ ویرایش ]

برای هر گونه فضای توپولوژیک X ، اجازه دهید C ( X ) دلالت خانواده حقیقی توابع پیوسته در X و اجازه دهید C ب ( X ) می شود زیر مجموعه ای از محدود توابع پیوسته و حقیقی.

فضاهای کاملا منظم را می توان با این واقعیت مشخص کرد که توپولوژی آنها به طور کامل توسط C ( X ) یا C b ( X ) تعیین می شود. به خصوص:

• فضای X به طور کامل منظم است اگر و فقط اگر آن توپولوژی اولیه ایجاد شده توسط C ( X ) یا C b ( X ) داشته باشد.
• فضای X به طور کامل منظم است اگر و فقط اگر هر مجموعه بسته را می توان به عنوان تقاطع یک خانواده مجموعه صفر در X نوشته (یعنی مجموعه های صفر، یک مبنای مجموعه های بسته ای از X را تشکیل می دهند ).
• فضای X به طور کامل منظم است اگر و فقط اگر مجموعه های cozero از X یک مبنای توپولوژی X باشد.

با توجه به یک فضای توپولوژیک دلخواه ( X ، τ) یک راه جهانی برای ارتباط یک فضای کاملا منظم با ( X ، τ) وجود دارد. اجازه دهید ρ یک توپولوژی اولیه در X است که توسط C τ ( X ) یا معادل آن، توپولوژی تولید شده توسط پایه مجموعه های czero در ( X ، τ) ایجاد می شود. سپس ρ بهترین توپولوژی به طور کلی منظم در X است که از τ بزرگتر است. این ساختار جهانی است به این معنی که هر عملکرد مداوم

{ displaystyle f: (X، tau) to Y}

به یک فضای کاملا منظم Y بطور مداوم روی ( X ، ρ) ادامه خواهد داشت. در زبان تئوری رده از عمل کننده که (می فرستد X ، τ) به ( X ، ρ) است الحاقی چپ به عمل کننده گنجاندن CReg → بالا . بنابراین طبقه بندی فضاهای کاملا منظم CReg یک زیرمجموعه بازتابنده از Top است ، رده فضاهای توپولوژیکی . با در نظر گرفتن مقادیر Kolmogorov ، می بینیم که زیر شاخه فضاهای Tychonoff نیز بازتابنده است.

در واقع می توان نشان می دهد که C τ ( X ) = C ρ ( X ) در ساخت و ساز بالا طوری که حلقه C ( X ) و C ب ( X ) به طور معمول فقط برای فضاهای کاملا به طور منظم مورد مطالعه X .

مجموعه ای از فضای Tychonoff فشرده واقعی ضد معادل با رده حلقه های C ( X ) (جایی که X واقعی است فشرده) همراه با homomorphisms حلقه به عنوان نقشه. به عنوان مثال می توان X را از C ( X ) بازسازی کرد، زمانی که X (واقعی) فشرده است. بنابراین نظریه جبری این حلقه ها موضوع مطالعات شدید است. تعمیم گسترده ای از این کلاس حلقه ها که هنوز هم به خواص بسیاری از فضاهای Tychonoff شباهت دارد، اما همچنین در هندسه جبری واقعی قابل استفاده است ، کلاس حلقه های بسته واقعی است .

پیوندها [ ویرایش ]

Tychonoff فضاهای دقیقا آن فضاهای است که می تواند تعبیه شده در فضاهای هاسدورف فشرده . بطور دقیقتر، برای هر فضای Tychonoff X ، وجود دارد هاسدورف فضای فشرده وجود دارد Kبه طوری که X است homeomorphic به فضا از K .

در حقیقت، همیشه می توانید K را یک مکعب Tychonoff (یعنی یک محصول احتمالی نامحدود از فواصل واحد ) را انتخاب کنید. هر مکعب Tychonoff Hausdorff فشرده به عنوان یک نتیجه از قضیه Tychonoff است . از آنجا که هر زيرمجموعه فضاي هادسفور فشرده، Tychonoff است:

فضای توپولوژی Tychonoff فقط و فقط اگر آن را می توان در یک مکعب Tychonoff جاسازی شده است .

Compactifications [ ویرایش ]

علاقه خاص آن درونه گیریها که در آن تصویر هستند X است متراکم در K ؛ اینها Compactifications Hausdorff از X نامیده می شوند . با توجه به جاسازی فضای Tychonoff X در یک فضای Hausdorff فشرده K ، بسته شدن تصویر X در K ، فشردگی X است .

از جمله ترکیبات Hausdorff، منحصر به فرد "عمومی ترین" وجود دارد، Compactification Stone-Čech β X وجود دارد . این است که توسط مشخص اموال جهانی که با توجه به نقشه مداوم F از X به هر فضای دیگر هاسدورف فشرده Y است، وجود دارد منحصر به فرد مستمر نقشه گرم از β X به Y است که گسترش F به این معنا که F است ترکیب از گرم و J .

ساختارهای یکنواخت [ ویرایش ]

منظم بودن کامل دقیقا شرایط لازم برای وجود ساختارهای یکنواخت در یک فضای توپولوژی است. به عبارت دیگر، هر فضای یکنواخت یک توپولوژی به طور کامل به طور منظم و هر فضای کاملا به طور منظم X است uniformizable . یک فضای توپولوژیک یک ساختار یکنواخت جداگانه را تصویب می کند و تنها اگر Tychonoff باشد.

با توجه به یک فضای کاملا منظم X ، معمولا بیش از یک وحدت در X وجود دارد که سازگار با توپولوژی X است . با این حال، یکنواختی بهتر هماهنگ خواهد شد، که یکنواختی خوب در X نامیده می شود . اگر X Tychonoff باشد، می توان ساختار یکنواخت را انتخاب کرد به طوری که β X به اتمام فضای X یکنواخت می شود .