3-فضای اقلیدسی

تعریف فنی [ ویرایش ]

آفضای برداری اقلیدسی یک فضای حاصلضرب داخلی با ابعاد محدودبر رو یا عداد حقیقی. [6]

یک فضای اقلیدسی یک فضای نزدیک بر روی حقیقی است به طوری که فضای برداری مرتبط یک فضای برداری اقلیدسی است. فضاهای اقلیدسی را گاهی فضاهای همبسته اقلیدسی می نامند تا آنها را از فضاهای برداری اقلیدسی متمایز کند. [6]

اگر E یک فضای اقلیدسی باشد، فضای برداری مرتبط با آن (فضای برداری اقلیدسی) اغلب نشان داده می شود.بعد فضای اقلیدسی، بعد فضای برداری مرتبط با آن است.

عناصر E نقطه نامیده می شوند و معمولا با حروف بزرگ نشان داده می شوند. عناصر ازبردارهای اقلیدسی یا بردارهای آزاد نامیده می شوند . آنها را ترجمه نیز می نامند ، اگرچه، به بیان درست، ترجمه تبدیل هندسی است که حاصل عمل یک بردار اقلیدسی در فضای اقلیدسی است.

عمل ترجمه v روی نقطه P نقطه ای را ایجاد می کند که P + v نشان داده می شود . این عمل راضی می کند

نکته: + دوم در سمت چپ یک جمع برداری است. all other + نشان دهنده عمل یک بردار روی یک نقطه است. این نماد مبهم نیست، زیرا برای تمایز بین دو معنای + کافی است به ماهیت استدلال سمت چپ آن نگاه کنیم.

این حقیقیت که عمل آزاد و متعدی است به این معنی است که برای هر جفت نقطه ( P , Q ) دقیقا یک بردار جابجایی v وجود دارد به طوری که P + v = Q . این بردار v را Q - P یا نشان می دهندپس→.

همانطور که قبلا توضیح داده شد، برخی از خصوصیات اساسی فضاهای اقلیدسی ناشی از ساختار فضای نزدیک است. آنها در § ساختار Affine و زیربخش های آن توضیح داده شده اند. خواص حاصل از ضرب داخلی در § ساختار متریک و زیربخش های آن توضیح داده شده است.

نمونه های اولیه [ ویرایش ]

برای هر فضای برداری، جمع آزادانه و گذرا روی خود فضای برداری عمل می کند. بنابراین یک فضای برداری اقلیدسی را می توان به عنوان یک فضای اقلیدسی مشاهده کرد که خود را به عنوان فضای برداری مرتبط دارد.

یک مورد معمولی از فضای برداری اقلیدسی استبه عنوان یک فضای برداری مجهز به ضرب نقطه به عنوان یک ضرب داخلی مشاهده می شود . اهمیت این مثال خاص از فضای اقلیدسی در این حقیقیت است که هر فضای اقلیدسی نسبت به آن هم شکل است . به طور دقیق‌تر، با توجه به فضای اقلیدسی E با بعد n ، انتخاب نقطه‌ای به نام مبدا و مبنای متعارفایزومورفیسم فضاهای اقلیدسی از E تا را تعریف می کند.

از آنجایی که هر فضای اقلیدسی با بعد n نسبت به آن هم شکل است، فضای اقلیدسیگاهی اوقات فضای استاندارد اقلیدسی با بعد n نامیده می شود . [5]