ریاضیات

تعریف رسمی [ ویرایش ]یک مشتق کوواریانت یک اتصال (Koszul) بر روی بسته مماس و سایر بسته‌های تانسور است : میدانهای برداری را به روشی مشابه با دیفرانسیل معمول در توابع متمایز می‌کند. این تعریف به تمایز بر روی میدان‌های برداری دوگانه (یعنی میدان‌های بردار ) و میدان‌های تانسور دلخواه بسط می‌یابد ، به روشی منحصربه‌فرد که سازگاری با ضرب تانسور و عملیات ردیابی (انقباض تانسور) را تضمین می‌کند.توابع [ ویرایش ]با توجه به یک نکتهمنیفولد، یک تابع حقیقیروی منیفولد و بردار مماس، مشتق کوواریانت f در p در امتداد v اسکالر در p است که نشان داده می شود، که نمایانگر بخش اصلی تغییر در مقدار f است که آرگومان f توسط بردار جابجایی بینهایت کوچک v تغییر می کند . (این دیفرانسیل f است که در برابر بردار v ارزیابی می شود .) به طور رسمی، یک منحنی قابل تمایز وجود دارد .به طوری کهو، و مشتق کوواریانت f در p با تعریف می شودچه زمانییک میدان برداری استم، مشتق کوواریانت:تابعی است که با هر نقطه p در حوزه مشترک f و v اسکالر مرتبط است.برای یک تابع اسکالر f و میدان برداری v ، مشتق کوواریانتبا مشتق لی منطبق است و با مشتق بیرونی د.میدانهای برداری [ ویرایش ]با توجه به یک نکتهپمنیفولدم، یک میدان برداریتو:م→تیپمدر همسایگی p و بردار مماس تعریف شده است، مشتق کوواریانت u در p در امتداد v بردار مماس در p است که نشان داده می شود، به گونه ای که خواص زیر برقرار است (برای هر بردار مماس v ، x و y در p ، میدانهای برداری u و w که در همسایگی p تعریف شده اند ، مقادیر اسکالر g و h در p ، و تابع اسکالر f تعریف شده در همسایگی p ):خطی استبنابراین افزودنی در استتوبنابراین: از قانون ضرب تبعیت می کند ؛ یعنی کجادر بالا تعریف شده است، توجه داشته, ...ادامه مطلب

توضیحات مختصات [ ویرایش ]این بخش از قرارداد جمع بندی اینشتین استفاده می کند .توابع مختصات داده شده استهر بردار مماس را می توان با اجزای آن در پایه توصیف کردمشتق کوواریانت یک بردار پایه در امتداد یک بردار پایه دوباره یک بردار است و بنابراین می تواند به صورت یک ترکیب خطی بیان شود.Γکه. برای تعیین مشتق کوواریانت کافی است مشتق کوواریانت هر میدان بردار پایه را مشخص کنید.در امتداده.ضرایبΓمنکاجزای اتصال با توجه به یک سیستم مختصات محلی هستند. در تئوری منیفولدهای ریمانی و شبه ریمانی، اجزای ارتباط لوی-سیویتا با توجه به سیستم مختصات محلی، نمادهای کریستوفل نامیده می شوند .سپس با استفاده از قوانین موجود در تعریف، متوجه می شویم که برای میدانهای برداری عمومیوما گرفتیمبنابراینعبارت اول در این فرمول مسئول "پیچاندن" سیستم مختصات با توجه به مشتق کوواریانت و دومی برای تغییرات اجزای میدان برداری u است . به خصوصدر کلمات: مشتق کوواریانت مشتق معمول در امتداد مختصات با اصطلاحات تصحیح است که نشان می دهد که چگونه مختصات تغییر می کند.برای بردارها به طور مشابه ما داریمجایی که.مشتق کوواریانت یک میدان تانسوری نوع ( r , s ) در امتدادبا عبارت داده می شود:یا به عبارتی: مشتق جزئی تانسور را بگیرید و اضافه کنید:برای هر شاخص بالایی، و-Γبرای هر شاخصپایین تر.اگر به جای یک تانسور، سعی کنید چگالی تانسور (با وزن 1+) را متمایز کنید، یک عبارت نیز اضافه کنید.اگر چگالی تانسور وزن W باشد ، آن جمله را در W ضرب کنید . مثلا،-چگالی اسکالر (وزن +1) است، بنابراین به دست می آوریم:جایی که نقطه ویرگول ";" نشان دهنده تمایز کوواریانت و کاما "," نشان دهنده تمایز جزئی است. اتفاقاً این عبارت خاص برابر با صفر است، زیرا مشتق کوواریانت یک ت, ...ادامه مطلب

مشتق کوواریانت بر اساس نوع میدان [ ویرایش ]برای یک میدان اسکالر، تمایز کوواریانس صرفاً تمایز جزئی است:برای یک میدان برداری متناقضآ، ما داریم:برای یک میدان برداری کوواریانت، ما داریم:برای یک میدان تانسوری نوع (2,0).، ما داریم:برای یک میدان تانسوری نوع (0،2).، ما داریم:برای یک میدان تانسوری نوع (1،1).، ما داریم:منظور از نماد بالا به این معناستخواص [ ویرایش ]به طور کلی، مشتقات کوواریانس جابجایی ندارند. به عنوان مثال، مشتقات کوواریانس میدان برداری. تانسور ریمان به گونه ای تعریف شده است که:یا به طور معادلمشتق کوواریانت یک میدان تانسور (2,0) انجام می دهد:مورد دوم را می توان با گرفتن (بدون از دست دادن کلیت) نشان داد.مشتق در امتداد منحنی [ ویرایش ]از آنجایی که مشتق کوواریانت استیک میدان تانسوریتیدر یک نقطهفقط به مقدار میدان برداری بستگی دارددرپمی توان مشتق کوواریانت را در امتداد یک منحنی صاف تعریف کرددر یک منیفولد:توجه داشته باشید که میدان تانسورتیفقط باید روی منحنی تعریف شودتا این تعریف معنا پیدا کند.به خصوص،یک میدان برداری در امتداد منحنی استخود اگرناپدید می شود سپس منحنی را ژئودزیک مشتق کوواریانت می نامند. اگر مشتق کوواریانت، اتصال لوی-سیویتا یک متریک مثبت-معین باشد ، ژئودزیک‌های اتصال دقیقاً ژئودزیک‌های متریک هستند که با طول قوس پارامتری می‌شوند .مشتق در امتداد یک منحنی نیز برای تعریف حمل و نقل موازی در طول منحنی استفاده می شود.گاهی اوقات مشتق کوواریانت در امتداد یک منحنی را مشتق مطلق یا ذاتی می نامند .رابطه با مشتق لی[ ویرایش ]یک مشتق کوواریانت یک ساختار هندسی اضافی را روی یک منیفولد معرفی می‌کند که امکان مقایسه بردارها در فضاهای مماس همسایه را فراهم می‌کند: هیچ روش متعارفی برای, ...ادامه مطلب