4-مشتق کوواریانس

ساخت وبلاگ

آخرین مطالب

امکانات وب

4-مشتق کوواریانس

توضیحات مختصات [ ویرایش ]

این بخش از قرارداد جمع بندی اینشتین استفاده می کند .

توابع مختصات داده شده است

{displaystyle x^{i}، i=0،1،2،dots،}هر بردار مماس را می توان با اجزای آن در پایه توصیف کرد

{displaystyle mathbf {e} _{i}={frac {partial }{partial x^{i}}}.}

مشتق کوواریانت یک بردار پایه در امتداد یک بردار پایه دوباره یک بردار است و بنابراین می تواند به صورت یک ترکیب خطی بیان شود.Γکه{displaystyle Gamma ^{k}mathbf {e} _{k}}. برای تعیین مشتق کوواریانت کافی است مشتق کوواریانت هر میدان بردار پایه را مشخص کنید.{displaystyle mathbf {e} _{i}}در امتداده{displaystyle mathbf {e} _{j}}.

{displaystyle nabla _{mathbf {e} _{j}}mathbf {e} _{i}={Gamma ^{k}}_{ij}mathbf {e} _{k}،}

ضرایبΓمنک{displaystyle Gamma _{ij}^{k}}اجزای اتصال با توجه به یک سیستم مختصات محلی هستند. در تئوری منیفولدهای ریمانی و شبه ریمانی، اجزای ارتباط لوی-سیویتا با توجه به سیستم مختصات محلی، نمادهای کریستوفل نامیده می شوند .

سپس با استفاده از قوانین موجود در تعریف، متوجه می شویم که برای میدانهای برداری عمومی{displaystyle mathbf {v} =v^{j}mathbf {e} _{j}}و{displaystyle mathbf {u} =u^{i}mathbf {e} _{i}}ما گرفتیم

{displaystyle {begin{aligned}nabla _{mathbf {v} }mathbf {u} &=nabla _{v^{j}mathbf {e} _{j}}u^{i} mathbf {e} _{i}&=v^{j}nabla _{mathbf {e} _{j}}u^{i}mathbf {e} _{i}&= v^{j}u^{i}nabla _{mathbf {e} _{j}}mathbf {e} _{i}+v^{j}mathbf {e} _{i}nabla _{mathbf {e} _{j}}u^{i}&=v^{j}u^{i}{Gamma ^{k}}_{ij}mathbf {e} _{ k}+v^{j}{جزئی u^{i} over جزئی x^{j}}mathbf {e} _{i}end{تراز شده}}}

بنابراین

{displaystyle nabla _{mathbf {v} }mathbf {u} =left(v^{j}u^{i}{Gamma ^{k}}_{ij}+v^{j} { partial u^{k} over partial x^{j}}right)mathbf {e} _{k}.}

عبارت اول در این فرمول مسئول "پیچاندن" سیستم مختصات با توجه به مشتق کوواریانت و دومی برای تغییرات اجزای میدان برداری u است . به خصوص

{displaystyle nabla _{mathbf {e} _{j}}mathbf {u} =nabla _{j}mathbf {u} =left({frac {partial u^{i}} { x^{j}}}+u^{k}{Gamma ^{i}}_{kj}right)mathbf {e} _{i}}

در کلمات: مشتق کوواریانت مشتق معمول در امتداد مختصات با اصطلاحات تصحیح است که نشان می دهد که چگونه مختصات تغییر می کند.

برای بردارها به طور مشابه ما داریم

{displaystyle nabla _{mathbf {e} _{j}}{mathbf {theta } }=left({frac {partial theta _{i}}{partial x^{j} }}-theta _{k}{Gamma ^{k}}_{ij}right){mathbf {e} ^{*}}^{i}}

جایی که{displaystyle {mathbf {e} ^{*}}^{i}(mathbf {e} _{j})={delta ^{i}}_{j}}.

مشتق کوواریانت یک میدان تانسوری نوع ( r , s ) در امتداد{displaystyle e_{c}}با عبارت داده می شود:

{displaystyle {begin{aligned}{(nabla _{e_{c}}T)^{a_{1}ldots a_{r}}}_{b_{1}ldots b_{s}}= {}&{frac {partial }{partial x^{c}}}{T^{a_{1}ldots a_{r}}}_{b_{1}ldots b_{s}} &+،{Gamma ^{a_{1}}}_{dc}{T^{da_{2}ldots a_{r}}}_{b_{1}ldots b_{s}}+ cdots +{Gamma ^{a_{r}}}_{dc}{T^{a_{1}ldots a_{r-1}d}}_{b_{1}ldots b_{s}} &-،{Gamma ^{d}}_{b_{1}c}{T^{a_{1}ldots a_{r}}}_{db_{2}ldots b_{s} }-cdots -{Gamma ^{d}}_{b_{s}c}{T^{a_{1}ldots a_{r}}}_{b_{1}ldots b_{s-1 }d}.end{تراز شده}}}

یا به عبارتی: مشتق جزئی تانسور را بگیرید و اضافه کنید:{displaystyle +{Gamma ^{a_{i}}}_{dc}}برای هر شاخص بالایی{displaystyle a_{i}}، و-Γ{displaystyle -{Gamma ^{d}}_{b_{i}c}}برای هر شاخص

پایین تر{displaystyle b_{i}}.

اگر به جای یک تانسور، سعی کنید چگالی تانسور (با وزن 1+) را متمایز کنید، یک عبارت نیز اضافه کنید.

{displaystyle -{Gamma ^{d}}_{dc}{T^{a_{1}ldots a_{r}}}_{b_{1}ldots b_{s}}.}اگر چگالی تانسور وزن W باشد ، آن جمله را در W ضرب کنید . مثلا،-{textstyle {sqrt {-g}}}چگالی اسکالر (وزن +1) است، بنابراین به دست می آوریم:

{displaystyle left({sqrt {-g}}right)_{;c}=left({sqrt {-g}}right)_{,c}-{sqrt {-g} }،{گاما ^{d}}_{dc}}

جایی که نقطه ویرگول ";" نشان دهنده تمایز کوواریانت و کاما "," نشان دهنده تمایز جزئی است. اتفاقاً این عبارت خاص برابر با صفر است، زیرا مشتق کوواریانت یک تابع صرفاً متریک همیشه صفر است.

نشانه گذاری [ ویرایش ]

در کتاب های درسی فیزیک، مشتق کوواریانت گاهی به سادگی بر حسب اجزای آن در این معادله بیان می شود.

اغلب از نمادی استفاده می شود که در آن مشتق کوواریانت با نقطه ویرگول داده می شود، در حالی که یک مشتق جزئی معمولی با کاما نشان داده می شود . در این نماد به صورت زیر می نویسیم:

{displaystyle nabla _{e_{j}}mathbf {v} {stackrel {mathrm {def} }{=}} {v^{s}}_{;j}mathbf {e} _{s};;;;;;{v^{i}}_{;j}={v^{i}}_{,j}+v^{k}{گاما ^{i}}_{kj}}

در صورتی که دو یا چند شاخص بعد از نقطه ویرگول ظاهر شوند، همه آنها باید به عنوان مشتقات کوواریانت درک شوند:

{displaystyle nabla _{e_{k}}left(nabla _{e_{j}}mathbf {v} right) {stackrel {mathrm {def} }{=}} {v ^{s}}_{;jk}mathbf {e} _{s}}

در برخی از متون قدیمی تر (به ویژه آدلر، بازین و شیفر، مقدمه ای بر نسبیت عام )، مشتق کوواریانت با یک لوله دوتایی و مشتق جزئی با یک لوله نشان داده می شود:

{displaystyle nabla _{e_{j}}mathbf {v} {stackrel {mathrm {def} }{=}} {v^{i}}_{||j}={v^ {i}}_{|j}+v^{k}{گاما ^{i}}_{kj}}

ریاضیات...
ما را در سایت ریاضیات دنبال می کنید

برچسب : نویسنده : 9math1342d بازدید : 33 تاريخ : پنجشنبه 26 بهمن 1402 ساعت: 10:37

آرشیو مطالب

پيوندهای روزانه

لینک دوستان

خبرنامه