5-مشتق کوواریانس

ساخت وبلاگ

آخرین مطالب

امکانات وب

5-مشتق کوواریانس

مشتق کوواریانت بر اساس نوع میدان [ ویرایش ]

برای یک میدان اسکالر{displaystyle phi ,}، تمایز کوواریانس صرفاً تمایز جزئی است:

{displaystyle phi _{;a}equiv partial _{a}phi }

برای یک میدان برداری متناقضآ{displaystyle lambda ^{a}}، ما داریم:

{displaystyle {lambda ^{a}}_{;b}equiv partial _{b}lambda ^{a}+{Gamma ^{a}}_{bc}lambda ^{c}}

برای یک میدان برداری کوواریانت{displaystyle lambda _{a}}، ما داریم:

{displaystyle lambda _{a;c}equiv partial _{c}lambda _{a}-{Gamma ^{b}}_{ca}lambda _{b}}

برای یک میدان تانسوری نوع (2,0).{displaystyle tau ^{ab}}، ما داریم:

{displaystyle {tau ^{ab}}_{;c}equiv partial _{c}tau ^{ab}+{Gamma ^{a}}_{cd}tau ^{db}+ {Gamma ^{b}}_{cd}tau ^{ad}}

برای یک میدان تانسوری نوع (0،2).{displaystyle tau _{ab}}، ما داریم:

{displaystyle tau _{ab;c}equiv partial _{c}tau _{ab}-{Gamma ^{d}}_{ca}tau _{db}-{Gamma ^{ d}}_{cb}tau _{ad}}

برای یک میدان تانسوری نوع (1،1).{displaystyle {tau ^{a}}_{b}}، ما داریم:

{displaystyle {tau ^{a}}_{b;c}equiv partial _{c}{tau ^{a}}_{b}+{Gamma ^{a}}_{cd} {tau ^{d}}_{b}-{Gamma ^{d}}_{cb}{tau ^{a}}_{d}}

منظور از نماد بالا به این معناست

{displaystyle {tau ^{ab}}_{;c}equiv left(nabla _{mathbf {e} _{c}}tau right)^{ab}}

خواص [ ویرایش ]

به طور کلی، مشتقات کوواریانس جابجایی ندارند. به عنوان مثال، مشتقات کوواریانس میدان برداری{displaystyle lambda _{a;bc}neq lambda _{a;cb}}. تانسور ریمان {displaystyle {R^{d}}_{abc}}به گونه ای تعریف شده است که:

{displaystyle lambda _{a;bc}-lambda _{a;cb}={R^{d}}_{abc}lambda _{d}}

یا به طور معادل

{displaystyle {lambda ^{a}}_{;bc}-{lambda ^{a}}_{;cb}=-{R^{a}}_{dbc}lambda ^{d}}

مشتق کوواریانت یک میدان تانسور (2,0) انجام می دهد:

{displaystyle {tau ^{ab}}_{;cd}-{tau ^{ab}}_{;dc}=-{R^{a}}_{ecd}tau ^{eb}- {R^{b}}_{ecd}tau ^{ae}}

مورد دوم را می توان با گرفتن (بدون از دست دادن کلیت) نشان داد{displaystyle tau ^{ab}=lambda ^{a}mu ^{b}}.

مشتق در امتداد منحنی [ ویرایش ]

از آنجایی که مشتق کوواریانت است{displaystyle nabla _{X}T}یک میدان تانسوریتی{displaystyle T}در یک نقطه{displaystyle p}فقط به مقدار میدان برداری بستگی دارد{displaystyle X}درپ{displaystyle p}می توان مشتق کوواریانت را در امتداد یک منحنی صاف تعریف کرد{displaystyle gamma (t)}در یک منیفولد:

{displaystyle D_{t}T=nabla _{{dot {gamma }}(t)}T.}توجه داشته باشید که میدان تانسورتی{displaystyle T}فقط باید روی منحنی تعریف شود{displaystyle gamma (t)}تا این تعریف معنا پیدا کند.

به خصوص،{displaystyle {dot {gamma }}(t)}یک میدان برداری در امتداد منحنی است{displaystyle gamma }خود اگر{displaystyle nabla _{{dot {gamma }}(t)}{dot {gamma }}(t)}ناپدید می شود سپس منحنی را ژئودزیک مشتق کوواریانت می نامند. اگر مشتق کوواریانت، اتصال لوی-سیویتا یک متریک مثبت-معین باشد ، ژئودزیک‌های اتصال دقیقاً ژئودزیک‌های متریک هستند که با طول قوس پارامتری می‌شوند .

مشتق در امتداد یک منحنی نیز برای تعریف حمل و نقل موازی در طول منحنی استفاده می شود.

گاهی اوقات مشتق کوواریانت در امتداد یک منحنی را مشتق مطلق یا ذاتی می نامند .

رابطه با مشتق لی[ ویرایش ]

یک مشتق کوواریانت یک ساختار هندسی اضافی را روی یک منیفولد معرفی می‌کند که امکان مقایسه بردارها در فضاهای مماس همسایه را فراهم می‌کند: هیچ روش متعارفی برای مقایسه بردارها از فضاهای مماس مختلف وجود ندارد زیرا سیستم مختصات متعارفی وجود ندارد.

با این حال، تعمیم دیگری از مشتقات جهت دار وجود دارد که متعارف است : مشتق لی ، که تغییر یک میدان برداری را در امتداد جریان یک میدان برداری دیگر ارزیابی می کند. بنابراین، باید هر دو میدان برداری را در یک محله باز دانست، نه فقط در یک نقطه. از سوی دیگر، مشتق کوواریانت تغییر خود را برای بردارها در یک جهت معین معرفی می‌کند، و تنها به جهت بردار در یک نقطه بستگی دارد، نه به یک میدان برداری در همسایگی باز یک نقطه. به عبارت دیگر، مشتق کوواریانت خطی است (بیش از C ∞ ( M ) ) در آرگومان جهت، در حالی که مشتق لی در هیچ یک از آرگومان ها خطی نیست.

توجه داشته باشید که مشتق کوواریانت ضد متقارن ∇ u v − ∇ v u و مشتق لی Lu v با پیچش اتصال متفاوت است ، به طوری که اگر اتصالی بدون پیچش باشد، ضد تقارن آن مشتق لی است .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

  • اتصال آفین
  • نمادهای کریستوفل
  • اتصال (چارچوب جبری)
  • ارتباط (ریاضیات)
  • اتصال (بسته برداری)
  • فرم اتصال
  • مشتق کوواریانس بیرونی
  • مشتق کوواریانس سنج
  • مقدمه ای بر ریاضیات نسبیت عام
  • اتصال لوی-سیویتا
  • حمل و نقل موازی
  • حساب ریچی
  • مشتق تانسور (مکانیک پیوسته)
  • فهرست فرمول ها در هندسه ریمانی

https://en.wikipedia.org/wiki/Covariant_derivative

​

ریاضیات...
ما را در سایت ریاضیات دنبال می کنید

برچسب : نویسنده : 9math1342d بازدید : 31 تاريخ : پنجشنبه 26 بهمن 1402 ساعت: 10:37

آرشیو مطالب

پيوندهای روزانه

لینک دوستان

خبرنامه