3-مشتق کوواریانس

آخرین مطالب

امکانات وب

3-مشتق کوواریانس

تعریف رسمی [ ویرایش ]

یک مشتق کوواریانت یک اتصال (Koszul) بر روی بسته مماس و سایر بسته‌های تانسور است : میدانهای برداری را به روشی مشابه با دیفرانسیل معمول در توابع متمایز می‌کند. این تعریف به تمایز بر روی میدان‌های برداری دوگانه (یعنی میدان‌های بردار ) و میدان‌های تانسور دلخواه بسط می‌یابد ، به روشی منحصربه‌فرد که سازگاری با ضرب تانسور و عملیات ردیابی (انقباض تانسور) را تضمین می‌کند.

توابع [ ویرایش ]

با توجه به یک نکته ${displaystyle pin M}$ منیفولد ${displaystyle M}$ ، یک تابع حقیقی ${displaystyle f:Mto mathbb {R} }$ روی منیفولد و بردار مماس ${displaystyle mathbf {v} in T_{p}M}$ ، مشتق کوواریانت f در p در امتداد v اسکالر در p است که نشان داده می شود ${displaystyle left(nabla _{mathbf {v} }fright)_{p}}$ ، که نمایانگر بخش اصلی تغییر در مقدار f است که آرگومان f توسط بردار جابجایی بینهایت کوچک v تغییر می کند . (این دیفرانسیل f است که در برابر بردار v ارزیابی می شود .) به طور رسمی، یک منحنی قابل تمایز وجود دارد . ${displaystyle phi :[-1,1]to M}$ به طوری که ${displaystyle phi (0)=p}$ و ${displaystyle phi '(0)=mathbf {v} }$ ، و مشتق کوواریانت f در p با تعریف می شود

${displaystyle left(nabla _{mathbf {v} }fright)_{p}=left(fcirc phi right)'left(0right)=lim _{t به 0}{frac {f(phi left(tright))-f(p)}{t}}.}$

چه زمانی ${displaystyle mathbf {v} :Mto T_{p}M}$ یک میدان برداری استم ${displaystyle M}$ ، مشتق کوواریانت: ${displaystyle nabla _{mathbf {v} }f:Mto mathbb {R} }$ تابعی است که با هر نقطه p در حوزه مشترک f و v اسکالر مرتبط است ${displaystyle left(nabla _{mathbf {v} }fright)_{p}}$ .

برای یک تابع اسکالر f و میدان برداری v ، مشتق کوواریانت ${displaystyle nabla _{mathbf {v} }f}$ با مشتق لی منطبق است ${displaystyle L_{v}(f)}$ و با مشتق بیرونی د ${displaystyle df(v)}$ .

میدانهای برداری [ ویرایش ]

با توجه به یک نکتهپ ${displaystyle p}$ منیفولدم ${displaystyle M}$ ، یک میدان برداریتو:م→تیپم ${displaystyle mathbf {u} :Mto T_{p}M}$ در همسایگی p و بردار مماس تعریف شده است ${displaystyle mathbf {v} in T_{p}M}$ ، مشتق کوواریانت u در p در امتداد v بردار مماس در p است که نشان داده می شود ${displaystyle (nabla _{mathbf {v} }mathbf {u} )_{p}}$ ، به گونه ای که خواص زیر برقرار است (برای هر بردار مماس v ، x و y در p ، میدانهای برداری u و w که در همسایگی p تعریف شده اند ، مقادیر اسکالر g و h در p ، و تابع اسکالر f تعریف شده در همسایگی p ):

${displaystyle left(nabla _{mathbf {v} }mathbf {u} right)_{p}}$ خطی است ${displaystyle mathbf {v} }$ بنابراین ${displaystyle left(nabla _{gmathbf {x} +hmathbf {y} }mathbf {u} right)_{p}=g(p)left(nabla _{mathbf {x} }mathbf {u} right)_{p}+h(p)left(nabla _{mathbf {y} }mathbf {u} right)_{p}}$
${displaystyle left(nabla _{mathbf {v} }mathbf {u} right)_{p}}$ افزودنی در استتو ${displaystyle mathbf {u} }$ بنابراین: ${displaystyle left(nabla _{mathbf {v} }left[mathbf {u} +mathbf {w} right]right)_{p}=left(nabla _{mathbf {v} }mathbf {u} right)_{p}+left(nabla _{mathbf {v} }mathbf {w} right)_{p}}$
${displaystyle (nabla _{mathbf {v} }mathbf {u} )_{p}}$ از قانون ضرب تبعیت می کند ؛ یعنی کجا ${displaystyle nabla _{mathbf {v} }f}$ در بالا تعریف شده است، ${displaystyle left(nabla _{mathbf {v} }left[fmathbf {u} right]right)_{p}=f(p)left(nabla _{mathbf { v} }mathbf {u} )_{p}+(nabla _{mathbf {v} }fright)_{p}mathbf {u} _{p}.}$

توجه داشته باشید که ${displaystyle left(nabla _{mathbf {v} }mathbf {u} right)_{p}}$ نه تنها به مقدار u در p ، بلکه به مقادیر u در همسایگی بینهایت کوچک p نیز بستگی دارد ، زیرا آخرین خاصیت، قانون ضرب است.

اگر u و v هر دو میدانهای برداری هستند که روی یک دامنه مشترک تعریف شده اند، پس ${displaystyle nabla _{mathbf {v} }mathbf {u} }$ نشان دهنده میدان برداری است که مقدار آن در هر نقطه p از دامنه بردار مماس است ${displaystyle left(nabla _{mathbf {v} }mathbf {u} right)_{p}}$ .

میدانهای بردار [ ویرایش ]

با توجه به میدانی از بردارها (یا یک شکل ) ${displaystyle alpha }$ در همسایگی p ، مشتق کوواریانت آن تعریف شده است ${displaystyle (nabla _{mathbf {v} }alpha)_{p}}$ به گونه ای تعریف شده است که عملیات حاصل را با انقباض تانسور و قانون ضرب سازگار کند. به این معنا که، ${displaystyle (nabla _{mathbf {v} }alpha)_{p}}$ به عنوان یک شکل یکتا در p تعریف می شود به طوری که هویت زیر برای همه میدانهای برداری u در همسایگی p برآورده می شود.

${displaystyle left(nabla _{mathbf {v} }alpha right)_{p}left(mathbf {u} _{p}right)=nabla _{mathbf {v} }left[alpha left(mathbf {u} right)right]_{p}-alpha _{p}left[left(nabla _{mathbf {v} }mathbf { u} right)_{p}right].}$

مشتق کوواریانت یک میدان هم بردار در امتداد یک میدان برداری v دوباره یک میدان هم بردار است.

میدانهای تانسور [ ویرایش ]

هنگامی که مشتق کوواریانت برای میدانهای بردارها و بردارها تعریف شد، می توان برای میدان های تانسور دلخواه با اعمال هویت های زیر برای هر جفت میدان تانسوری تعریف کرد. ${displaystyle varphi }$ و ${displaystyle psi }$ در همسایگی نقطه p :

${displaystyle nabla _{mathbf {v} }left(varphi otimes psi right)_{p}=left(nabla _{mathbf {v} }varphi right)_{ p}otimes psi (p)+varphi (p)otimes left(nabla _{mathbf {v} }psi right)_{p}،}$ و برای ${displaystyle varphi }$ و ${displaystyle psi }$ با همان ظرفیت

${displaystyle nabla _{mathbf {v} }(varphi +psi )_{p}=(nabla _{mathbf {v} }varphi )_{p}+(nabla _{ mathbf {v} }psi )_{p}.}$ مشتق کوواریانس یک میدان تانسوری در امتداد یک میدان برداری v دوباره یک میدان تانسوری از همان نوع است.

به صراحت، فرض کنید T یک میدان تانسوری از نوع ( p , q ) باشد . T را یک نقشه چندخطی قابل تمایز از مقاطع صاف α 1 ، α 2 ، ...، α q از بسته همتازی T ∗ M و از بخش های X 1 ، X 2 ، ...، X p از دسته مماس TM در نظر بگیرید . , T ( α 1 , α 2 , ..., X 1 , X 2 , ...) به R نوشته شده است . مشتق کوواریانت T در امتداد Y با فرمول داده می شود

${displaystyle {begin{aligned}(nabla _{Y}T)left(alpha _{1},alpha _{2},ldots,X_{1},X_{2},ldots right)=&{}nabla _{Y}left(Tleft(alpha _{1},alpha _{2},ldots ,X_{1},X_{2},ldots راست)راست)&{}-Tleft(nabla _{Y}alpha _{1}،alpha _{2}،ldots،X_{1}،X_{2}،ldots right)-Tleft(alpha _{1},nabla _{Y}alpha _{2},ldots ,X_{1},X_{2},ldots right)-cdots &{}-Tleft(alpha _{1},alpha _{2},ldots ,nabla _{Y}X_{1},X_{2},ldots right)-T چپ (alpha _{1},alpha _{2},ldots ,X_{1},nabla _{Y}X_{2},ldots right)-cdots end{تراز شده}}}$

ریاضیات...

ما را در سایت ریاضیات دنبال می کنید

برچسب : نویسنده : 9math1342d بازدید : 48 تاريخ : پنجشنبه 26 بهمن 1402 ساعت: 10:37

3-مشتق کوواریانس

آخرین مطالب

امکانات وب