ریاضیات

اشکال کلی برای یک ذره [ ویرایش ]ذره آزاد [ ویرایش ]ذره با هیچ انرژی پتانسیل محدود نمی شود، بنابراین پتانسیل صفر است و این همیلتونی ساده ترین است. برای یک بعد:و در ابعاد بالاتر:چاه با پتانسیل ثابت [ ویرایش ]برای ذره ای در ناحیه ای با پتانسیل ثابت(بدون وابستگی به مکان یا زمان)، در یک بعد، همیلتونی عبارت است از:در سه بعدیاین برای مسئله ابتدایی " ذره در یک جعبه " و پتانسیل های مرحله ای صدق می کند .نوسان ساز هارمونیک ساده [ ویرایش ]برای یک نوسان ساز هارمونیک ساده در یک بعد، پتانسیل با موقعیت (اما نه زمان)، با توجه به:جایی که فرکانس زاویه ای ، ثابت فنر موثر ، و جرم نوسانگر برآورده می کند:بنابراین همیلتونی:برای سه بعد، این می شودکه در آن بردار موقعیت سه بعدیاستفاده از مختصات دکارتی است، قدر آن استنوشتن همیلتونی به طور کامل نشان می دهد که به سادگی مجموع همیلتونین های یک بعدی در هر جهت است:روتور صلب [ ویرایش ]برای یک روتور صلب - یعنی سیستمی از ذرات که می توانند آزادانه حول هر محوری بچرخند، بدون هیچ پتانسیلی (مانند مولکول های آزاد با درجه آزادی ارتعاشی ناچیز ، مثلاً به دلیل پیوندهای شیمیایی دو یا سه گانه )، هامیلتونین است:جایی که،، وممان مولفه های اینرسی هستند (از نظر فنی عناصر مورب تانسور ممان اینرسی ) و، ، ومجموع عملگرهای تکانه زاویه ای (مولفه) هستند، در مورد،، وبه ترتیب محورها. بخوانید, ...ادامه مطلب

پتانسیل الکترواستاتیک (کولن) [ ویرایش ]انرژی پتانسیل کولن برای بارهای دو نقطه ایو(یعنی آنهایی که به طور مستقل وسعت فضایی ندارند)، در سه بعد (در واحدهای SI - به جای واحدهای گاوسی که اغلب در الکترومغناطیس استفاده می شوند ) است:با این حال، این فقط پتانسیل یک شارژ نقطه به دلیل دیگری است. اگر ذرات باردار زیادی وجود داشته باشد، هر بار به دلیل هر بار نقطه ای دیگر (به جز خودش) انرژی بالقوه ای دارد. براینبارها، انرژی پتانسیل باربه دلیل همه بارهای دیگر (همچنین نگاه کنید به انرژی پتانسیل الکترواستاتیک ذخیره شده در پیکربندی بارهای نقطه گسسته ): [3]جایی کهپتانسیل الکترواستاتیک بار استدر. پس مجموع پتانسیل کل سیستم تمام می شود:بنابراین همیلتونی:دوقطبی الکتریکی در میدان الکتریکی [ ویرایش ]برای یک لحظه دوقطبی الکتریکی اتهامات قدر را تشکیل می دهند، در یک میدان الکترواستاتیک یکنواخت (مستقل از زمان)، با قرار گرفتن در یک مکان، پتانسیل این است:ممان دوقطبی خود عملگر استاز آنجایی که ذره ساکن است، انرژی جنبشی انتقالی دوقطبی وجود ندارد، بنابراین همیلتونین دوقطبی فقط انرژی پتانسیل است:دوقطبی مغناطیسی در میدان مغناطیسی [ ویرایش ]برای یک لحظه دوقطبی مغناطیسیدر یک میدان مغناطیسی یکنواخت (مستقل از زمان)، با قرار گرفتن در یک مکان، پتانسیل این است:از آنجایی که ذره ساکن است، انرژی جنبشی انتقالی دوقطبی وجود ندارد، بنابراین همیلتونین دوقطبی فقط انرژی پتانسیل است:برای یک ذره اسپین 1 ⁄ 2 ، گشتاور مغناطیسی اسپین مربوطه به صورت زیر است: [4]جایی کهس" ضریب اسپین g " است (با نسبت ژیرو مغناطیسی اشتباه نشود )هبار الکترون است،اسبردار عملگر اسپین است که اجزای آن ماتریس های پائولی هستند ، بنابراینذرات باردار در میدان الکتر, ...ادامه مطلب

انحطاط، تقارن، و قوانین بقای ویژه انرژی [ ویرایش ]در بسیاری از سیستم ها، دو یا چند حالت ویژه انرژی دارای انرژی یکسان هستند. یک مثال ساده از این یک ذره آزاد است که حالت های ویژه انرژی آن دارای تابع موج هایی هستند که در حال انتشار امواج صفحه هستند. انرژی هر یک از این امواج مسطح با مجذور طول موج آن نسبت معکوس دارد . موجی که درجهت حالتی متفاوت از حالتی است که در آن منتشر می شودجهت، اما اگر طول موج یکسانی داشته باشند، انرژی آنها یکسان خواهد بود. وقتی این اتفاق می افتد، گفته می شود که ایالت ها منحط شده اند .به نظر می رسد که انحطاط زمانی رخ می دهد که یک اپراتور واحد غیر پیش پا افتاده باشد با همیلتونی رفت و آمد می کند . برای دیدن این، آن را فرض کنیدیک مجموعه ویژه انرژی است. سپسیک مجموعه ویژه انرژی با مقدار ویژه یکسان است، زیرااز آنجا کهبی اهمیت است، حداقل یک جفتوباید نشان دهنده حالت های متمایز باشد. از این رو،حداقل یک جفت ویژه انرژی منحط دارد. در مورد ذره آزاد، عملگر واحدی که تقارن را ایجاد می کند، عملگر چرخشی است که توابع موج را با زاویه ای می چرخاند و در غیر این صورت شکل آنها را حفظ می کند.وجود عملگر تقارن دلالت بر وجود یک مشاهده پذیر حفظ شده دارد . اجازه دهیدمولد هرمیت باشد:ساده است که نشان دهیم اگررفت و آمد با، پس همینطور است:از این رو،برای به دست آوردن این نتیجه، از معادله شرودینگر و همچنین دوگانه آن استفاده کرده ایم .بنابراین، مقدار مورد انتظار قابل مشاهده استجیبرای هر حالتی از سیستم حفظ می شود. در مورد ذره آزاد، کمیت حفظ شده تکانه زاویه ای است .معادلات همیلتون [ ویرایش ]معادلات همیلتون در مکانیک کلاسیک همیلتونی مشابهی مستقیم در مکانیک کوانتومی دارند. فرض کنید مجموعه ای از حا, ...ادامه مطلب

منطق کوانتومی [ ویرایش ]مقاله اصلی: منطق کوانتومیفون نویمان برای اولین بار منطق کوانتومی را در مبانی ریاضیات خود در سال 1932 مبانی ریاضی مکانیک کوانتومی مطرح کرد ، جایی که وی خاطرنشان کرد: پیش بینی ها, ...ادامه مطلب