6--همیلتونی (مکانیک کوانتومی)

ساخت وبلاگ

آخرین مطالب

امکانات وب

6--همیلتونی (مکانیک کوانتومی)

انحطاط، تقارن، و قوانین بقای ویژه انرژی [ ویرایش ]

در بسیاری از سیستم ها، دو یا چند حالت ویژه انرژی دارای انرژی یکسان هستند. یک مثال ساده از این یک ذره آزاد است که حالت های ویژه انرژی آن دارای تابع موج هایی هستند که در حال انتشار امواج صفحه هستند. انرژی هر یک از این امواج مسطح با مجذور طول موج آن نسبت معکوس دارد . موجی که درایکسجهت حالتی متفاوت از حالتی است که در آن منتشر می شودyجهت، اما اگر طول موج یکسانی داشته باشند، انرژی آنها یکسان خواهد بود. وقتی این اتفاق می افتد، گفته می شود که ایالت ها منحط شده اند .

به نظر می رسد که انحطاط زمانی رخ می دهد که یک اپراتور واحد غیر پیش پا افتاده باشد U با همیلتونی رفت و آمد می کند . برای دیدن این، آن را فرض کنید|arangleیک مجموعه ویژه انرژی است. سپسU|arangleیک مجموعه ویژه انرژی با مقدار ویژه یکسان است، زیرا

{displaystyle UH|arangle =UE_{a}|arangle =E_{a}(U|arangle )=H;(U|arangle ).}

از آنجا کهUبی اهمیت است، حداقل یک جفت|arangleوU|arangleباید نشان دهنده حالت های متمایز باشد. از این رو،اچحداقل یک جفت ویژه انرژی منحط دارد. در مورد ذره آزاد، عملگر واحدی که تقارن را ایجاد می کند، عملگر چرخشی است که توابع موج را با زاویه ای می چرخاند و در غیر این صورت شکل آنها را حفظ می کند.

وجود عملگر تقارن دلالت بر وجود یک مشاهده پذیر حفظ شده دارد . اجازه دهیدجیمولد هرمیت U باشد:

{displaystyle U=Iivarepsilon G+O(varepsilon ^{2})}

ساده است که نشان دهیم اگرUرفت و آمد بااچ، پس همینطور استجی:

{displaystyle [H,G]=0}

از این رو،

{displaystyle {frac {partial }{partial t}}langle psi (t)|G|psi (t)rangle ={frac {1}{ihbar }}langle psi (t)|[G,H]|psi (t)rangle =0.}

برای به دست آوردن این نتیجه، از معادله شرودینگر و همچنین دوگانه آن استفاده کرده ایم .

{displaystyle langle psi (t)|H=-ihbar {partial over partial t}langle psi (t)|.}

بنابراین، مقدار مورد انتظار قابل مشاهده استجیجیبرای هر حالتی از سیستم حفظ می شود. در مورد ذره آزاد، کمیت حفظ شده تکانه زاویه ای است .

معادلات همیلتون [ ویرایش ]

معادلات همیلتون در مکانیک کلاسیک همیلتونی مشابهی مستقیم در مکانیک کوانتومی دارند. فرض کنید مجموعه ای از حالت های پایه داریمچپ{چپ|nراسترنگه راست}، که لزوماً نباید حالت های ویژه انرژی باشند. برای سادگی، فرض می کنیم که آنها گسسته هستند، و آنها متعامد هستند، به عنوان مثال،

{displaystyle langle n'|nrangle =delta _{nn'}}

توجه داشته باشید که این حالت های پایه مستقل از زمان فرض می شوند. ما فرض می کنیم که همیلتونی مستقل از زمان است.

وضعیت لحظه ای سیستم در زمانتی،left|psi left(tright)rightrangleرا می توان از نظر این حالت های پایه گسترش داد:

{displaystyle |psi (t)rangle =sum _{n}a_{n}(t)|nrangle }

جایی که

{displaystyle a_{n}(t)=langle n|psi (t)rangle .}

ضرایب{displaystyle a_{n}(t)}متغیرهای پیچیده هستند ما می توانیم آنها را به عنوان مختصاتی در نظر بگیریم که وضعیت سیستم را مشخص می کنند، مانند مختصات موقعیت و حرکت که یک سیستم کلاسیک را مشخص می کنند. مانند مختصات کلاسیک، آنها معمولاً در زمان ثابت نیستند و وابستگی زمانی آنها باعث وابستگی زمانی سیستم به عنوان یک کل می شود.

مقدار انتظاری همیلتونین این ایالت که انرژی متوسط ​​نیز می باشد، می باشد

{displaystyle langle H(t)rangle mathrel {stackrel {mathrm {def} }{=}} langle psi (t)|H|psi (t)rangle =sum _{nn '}a_{n'}^{*}a_{n}langle n'|H|nrangle }

جایی که آخرین مرحله با گسترش به دست آمدleft|psi left(tright)rightrangleاز نظر حالت های پایه

هر یکآ(تی){displaystyle a_{n}(t)}در واقع با دو درجه آزادی مستقل مطابقت دارد، زیرا متغیر دارای یک بخش واقعی و یک بخش خیالی است. اکنون ترفند زیر را انجام می دهیم: به جای استفاده از قسمت های واقعی و خیالی به عنوان متغیرهای مستقل، از آن استفاده می کنیم.آ(تی){displaystyle a_{n}(t)}و مزدوج پیچیده آن آ∗(تی){displaystyle a_{n}^{*}(t)}. با این انتخاب از متغیرهای مستقل، می توانیم مشتق جزئی را محاسبه کنیم

{displaystyle {frac {partial langle Hrangle }{partial a_{n'}^{*}}}=sum _{n}a_{n}langle n'|H|nrangle =langle n'|H|psi rangle }

با استفاده از معادله شرودینگر و استفاده از متعامد بودن حالت های پایه، این امر بیشتر به

{displaystyle {frac {partial langle Hrangle }{partial a_{n'}^{*}}}=ihbar {frac {partial a_{n'}}{partial t} }}

به همین ترتیب، می توان آن را نشان داد

{displaystyle {frac {partial langle Hrangle }{partial a_{n}}}=-ihbar {frac {partial a_{n}^{*}}{partial t}} }

اگر متغییرهای «حرکت مزدوج» را تعریف کنیمpi _{n}توسط

{displaystyle pi _{n}(t)=ihbar a_{n}^{*}(t)}

سپس معادلات بالا تبدیل می شوند

{displaystyle {frac {partial langle Hrangle }{partial pi _{n}}}={frac {partial a_{n}}{partial t}},quad {frac {partial langle Hrangle }{partial a_{n}}}=-{frac {partial pi _{n}}{partial t}}}

که دقیقاً شکل معادلات همیلتون است، باآa_{n}s به عنوان مختصات تعمیم یافته، thepi _{n}s به عنوان لحظه مزدوج، وlangle Hrangleبه جای همیلتونین کلاسیک.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

  • مکانیک هامیلتونی
  • سیستم کوانتومی دو حالته
  • اپراتور (فیزیک)
  • نماد برا-کت
  • حالت کوانتومی
  • جبر خطی
  • بقاء انرژی
  • نظریه بالقوه
  • مشکل بسیاری از بدن
  • الکترواستاتیک
  • میدان الکتریکی
  • میدان مغناطیسی
  • Lieb-Thirring نابرابری

منابع [ ویرایش ]

  1. پرش به بالا:الف ب رسنیک، آر. آیسبرگ، آر (1985). فیزیک کوانتومی اتم ها، مولکول ها، جامدات، هسته ها و ذرات (ویرایش دوم). جان وایلی و پسران شابک 0-471-87373-X.
  2. ↑ اتکینز، PW (1974). Quanta: A Handbook of Concepts . انتشارات دانشگاه آکسفورد. شابک 0-19-855493-1.
  3. گرانت، IS; فیلیپس، WR (2008). الکترومغناطیس . سری فیزیک منچستر (ویرایش دوم). شابک 978-0-471-92712-9.
  4. برانسدن، BH; Joachain، CJ (1983). فیزیک اتم ها و مولکول ها . لانگمن شابک 0-582-44401-2.

https://en.wikipedia.org/wiki/Hamiltonian_(quantum_mechanics)

ریاضیات...
ما را در سایت ریاضیات دنبال می کنید

برچسب : نویسنده : 9math1342d بازدید : 32 تاريخ : پنجشنبه 21 دی 1402 ساعت: 14:32

آرشیو مطالب

پيوندهای روزانه

لینک دوستان

خبرنامه