5--همیلتونی (مکانیک کوانتومی)

آخرین مطالب

امکانات وب

5--همیلتونی (مکانیک کوانتومی)

پتانسیل الکترواستاتیک (کولن) [ ویرایش ]

انرژی پتانسیل کولن برای بارهای دو نقطه ای $q_{1}$ و $q_{2}$ (یعنی آنهایی که به طور مستقل وسعت فضایی ندارند)، در سه بعد (در واحدهای SI - به جای واحدهای گاوسی که اغلب در الکترومغناطیس استفاده می شوند ) است:

${displaystyle V={frac {q_{1}q_{2}}{4pi varepsilon _{0}|mathbf {r} |}}}$

با این حال، این فقط پتانسیل یک شارژ نقطه به دلیل دیگری است. اگر ذرات باردار زیادی وجود داشته باشد، هر بار به دلیل هر بار نقطه ای دیگر (به جز خودش) انرژی بالقوه ای دارد. براین $ن$ بارها، انرژی پتانسیل بار $q_{j}$ به دلیل همه بارهای دیگر (همچنین نگاه کنید به انرژی پتانسیل الکترواستاتیک ذخیره شده در پیکربندی بارهای نقطه گسسته ): [3]

${displaystyle V_{j}={frac {1}{2}}sum _{ineq j}q_{i}phi (mathbf {r} _{i})={frac {1 }{8pi varepsilon _{0}}}sum _{ineq j}{frac {q_{i}q_{j}}{|mathbf {r} _{i}-mathbf { r} _{j}|}}}$

جایی که ${displaystyle phi (mathbf {r} _{i})}$ پتانسیل الکترواستاتیک بار است $q_{j}$ در $mathbf {r} _{i}$ . پس مجموع پتانسیل کل سیستم تمام می شود $j$ :

${displaystyle V={frac {1}{8pi varepsilon _{0}}}sum _{j=1}^{N}sum _{ineq j}{frac {q_{ i}q_{j}}{|mathbf {r} _{i}-mathbf {r} _{j}|}}}$

بنابراین همیلتونی:

${displaystyle {begin{aligned}{hat {H}}&=-{frac {hbar ^{2}}{2}}sum _{j=1}^{N}{frac { 1}{m_{j}}}nabla _{j}^{2}+{frac {1}{8pi varepsilon _{0}}}sum _{j=1}^{N} sum _{ineq j}{frac {q_{i}q_{j}}{|mathbf {r} _{i}-mathbf {r} _{j}|}}&= sum _{j=1}^{N}left(-{frac {hbar ^{2}}{2m_{j}}}nabla _{j}^{2}+{frac {1 }{8pi varepsilon _{0}}}sum _{ineq j}{frac {q_{i}q_{j}}{|mathbf {r} _{i}-mathbf { r} _{j}|}}راست)end{تراز شده}}}$

دوقطبی الکتریکی در میدان الکتریکی [ ویرایش ]

برای یک لحظه دوقطبی الکتریکی $mathbf{d}$ اتهامات قدر را تشکیل می دهند $q$ ، در یک میدان الکترواستاتیک یکنواخت (مستقل از زمان) $mathbf {E}$ ، با قرار گرفتن در یک مکان، پتانسیل این است:

${displaystyle V=-mathbf {hat {d}} cdot mathbf {E} }$

ممان دوقطبی خود عملگر است

${displaystyle mathbf {hat {d}} =qmathbf {hat {r}} }$

از آنجایی که ذره ساکن است، انرژی جنبشی انتقالی دوقطبی وجود ندارد، بنابراین همیلتونین دوقطبی فقط انرژی پتانسیل است:

${displaystyle {hat {H}}=-mathbf {hat {d}} cdot mathbf {E} =-qmathbf {hat {r}} cdot mathbf {E} }$

دوقطبی مغناطیسی در میدان مغناطیسی [ ویرایش ]

برای یک لحظه دوقطبی مغناطیسی ${boldsymbol {mu }}$ در یک میدان مغناطیسی یکنواخت (مستقل از زمان) $mathbf {B}$ ، با قرار گرفتن در یک مکان، پتانسیل این است:

${displaystyle V=-{boldsymbol {mu }}cdot mathbf {B} }$

${displaystyle {hat {H}}=-{boldsymbol {mu }}cdot mathbf {B} }$

برای یک ذره اسپین 1 ⁄ 2 ، گشتاور مغناطیسی اسپین مربوطه به صورت زیر است: [4]

${displaystyle {boldsymbol {mu }}_{S}={frac {g_{s}e}{2m}}mathbf {S} }$

جایی کهس $g_{s}$ " ضریب اسپین g " است (با نسبت ژیرو مغناطیسی اشتباه نشود )ه $ه$ بار الکترون است،اس $mathbf {S}$ بردار عملگر اسپین است که اجزای آن ماتریس های پائولی هستند ، بنابراین

${displaystyle {hat {H}}={frac {g_{s}e}{2m}}mathbf {S} cdot mathbf {B} }$

ذرات باردار در میدان الکترومغناطیسی [ ویرایش ]

برای یک ذره با جرم $متر$ و شارژ کنید $q$ در یک میدان الکترومغناطیسی، که توسط پتانسیل اسکالر توصیف می شود $phi$ و پتانسیل برداری $mathbf {A}$ ، دو بخش برای هامیلتونی وجود دارد که باید جایگزین شوند. [1] عملگر حرکت متعارف ${mathbf {{hat {p}}}}$ ، که شامل مشارکتی از $mathbf {A}$ فیلد و رابطه کموتاسیون متعارف را برآورده می کند ، باید کوانتیزه شود.