4--همیلتونی (مکانیک کوانتومی)

اشکال کلی برای یک ذره [ ویرایش ]

ذره آزاد [ ویرایش ]

ذره با هیچ انرژی پتانسیل محدود نمی شود، بنابراین پتانسیل صفر است و این 1 ساده ترین است. برای یک بعد:

${displaystyle {hat {H}}=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}}$

و در ابعاد بالاتر:

${displaystyle {hat {H}}=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}nabla ^{2}}$

چاه با پتانسیل ثابت [ ویرایش ]

برای ذره ای در ناحیه ای با پتانسیل ثابت ${displaystyle V=V_{0}}$ (بدون وابستگی به مکان یا زمان)، در یک بعد، همیلتونی عبارت است از:

${displaystyle {hat {H}}=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}+V_ {0}}$

در سه بعدی

${displaystyle {hat {H}}=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}nabla ^{2}+V_{0}}$

این برای مسئله ابتدایی " ذره در یک جعبه " و پتانسیل های مرحله ای صدق می کند .

نوسان ساز هارمونیک ساده [ ویرایش ]

برای یک نوسان ساز هارمونیک ساده در یک بعد، پتانسیل با موقعیت (اما نه زمان)، با توجه به:

${displaystyle V={frac {k}{2}}x^{2}={frac {momega ^{2}}{2}}x^{2}}$

جایی که فرکانس زاویه ای $امگا$ ، ثابت فنر موثر $ک$ ، و جرم نوسانگر برآورده می کند:

${displaystyle omega ^{2}={frac {k}{m}}}$

بنابراین همیلتونی:

${displaystyle {hat {H}}=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}+{ frac {momega ^{2}}{2}}x^{2}}$

برای سه بعد، این می شود

${displaystyle {hat {H}}=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}nabla ^{2}+{frac {momega ^{2}}{2}} r^{2}}$

که در آن بردار موقعیت سه بعدی $mathbf {r}$ استفاده از مختصات دکارتی است $(x,y,z)$ ، قدر آن است

${displaystyle r^{2}=mathbf {r} cdot mathbf {r} =|mathbf {r} |^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2 }}$

نوشتن همیلتونی به طور کامل نشان می دهد که به سادگی مجموع همیلتونین های یک بعدی در هر جهت است:

${displaystyle {begin{aligned}{hat {H}}&=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}left({frac {partial ^{2}}{ x^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial y^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial z^{2} }}right)+{frac {momega ^{2}}{2}}left(x^{2}+y^{2}+z^{2}right)[6pt] &=left(-{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}+{frac {momega ^{2}}{2}}x^{2}right)+left(-{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {partial ^{2}}{ جزئی y^{2}}}+{frac {momega ^{2}}{2}}y^{2}right)+left(-{frac {hbar ^{2}}{ 2m}}{frac {partial ^{2}}{partial z^{2}}}+{frac {momega ^{2}}{2}}z^{2}right) پایان{تراز شده}}}$

روتور صلب [ ویرایش ]

برای یک روتور صلب - یعنی سیستمی از ذرات که می توانند آزادانه حول هر محوری بچرخند، بدون هیچ پتانسیلی (مانند مولکول های آزاد با درجه آزادی ارتعاشی ناچیز ، مثلاً به دلیل پیوندهای شیمیایی دو یا سه گانه )، هامیلتونین است:

${displaystyle {hat {H}}=-{frac {hbar ^{2}}{2I_{xx}}}{hat {J}}_{x}^{2}-{frac { hbar ^{2}}{2I_{yy}}}{hat {J}}_{y}^{2}-{frac {hbar ^{2}}{2I_{zz}}}{ کلاه {J}}_{z}^{2}}$

جایی که $من_{{xx}}$ ، ${displaystyle I_{yy}}$ ، و ${displaystyle I_{zz}}$ ممان مولفه های اینرسی هستند (از نظر فنی عناصر مورب تانسور ممان اینرسی ) و ${displaystyle {hat {J}}_{x}}$ ، ${displaystyle {hat {J}}_{y}}$ ، و ${displaystyle {hat {J}}_{z}}$ مجموع عملگرهای تکانه زاویه ای (مولفه) هستند، در مورد $ایکس$ ، $y$ ، و $z$ به ترتیب محورها.