هندسه جبری و هندسه تحلیلی

ساخت وبلاگ

آخرین مطالب

امکانات وب

هندسه جبری و هندسه تحلیلی

​از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

این مقاله شامل فهرستی از مراجع عمومی است ، اما فاقد استنادهای درون خطی متناظر کافی است . لطفا با معرفی نقل قول های دقیق تر به بهبود این مقاله کمک کنید. ( نوامبر 2021 ) ( نحوه و زمان حذف این پیام الگو را بیاموزید )

در ریاضیات ، هندسه'>هندسه جبری و هندسه تحلیلی دو موضوع بسیار مرتبط هستند. در حالی که هندسه جبری انواع جبری را مطالعه می کند ، هندسه تحلیلی با منیفولدهای مختلط و فضاهای تحلیلی عمومی تر که به صورت محلی با ناپدید شدن توابع تحلیلی چندین متغیر مختلط تعریف می شوند، سروکار دارد . رابطه عمیق بین این موضوعات کاربردهای متعددی دارد که در آن تکنیک های جبری برای فضاهای تحلیلی و تکنیک های تحلیلی برای انواع جبری به کار می رود.

بیانیه اصلی [ ویرایش ]

اجازه دهید X یک نوع جبری مختلط تصویری باشد . از آنجا که X یک تنوع مختلط است، مجموعه نقاط مختلط آن X ( C ) را می توان ساختار یک فضای تحلیلی مختلط فشرده داد . این فضای تحلیلی X an نشان داده می شود . به طور مشابه، اگر{displaystyle {mathcal {F}}}یک شیف روی X است ، سپس یک شیف مربوطه وجود دارد{displaystyle {mathcal {F}}^{text{an}}}در X an . این ارتباط یک شی تحلیلی با یک شیء جبری یک تابع است . قضیه نمونه اولیه مربوط به X و X an می گوید که برای هر دو نوار منسجم {displaystyle {mathcal {F}}}و{displaystyle {mathcal {G}}}در X ، هممورفیسم طبیعی:

{displaystyle {text{Hom}}_{{mathcal {O}}_{X}}({mathcal {F}},{mathcal {G}})arrow {text{Hom}} _{{mathcal {O}}_{X}^{text{an}}}({mathcal {F}}^{text{an}}،{mathcal {G}}^{text {an}})}

ایزومورفیسم است. اینجا{displaystyle {mathcal {O}}_{X}}شیف ساختار نوع جبری X و است{displaystyle {mathcal {O}}_{X}^{text{an}}}شیف ساختار گونه تحلیلی X an است . به عبارت دیگر، مقوله نوارهای منسجم در واریته جبری X معادل دسته نوارهای منسجم تحلیلی در واریته تحلیلی X an است و معادل آن بر روی اشیاء با نگاشت به دست می آید.{displaystyle {mathcal {F}}}به{displaystyle {mathcal {F}}^{text{an}}}. (به ویژه به این نکته توجه کنیدیک{displaystyle {mathcal {O}}_{X}^{text{an}}}خود منسجم است، نتیجه ای که به عنوان قضیه انسجام Oka شناخته می شود ، [1] و همچنین، در Faisceaux Algebriques Coherents ( Serre (1955) ) ثابت شد که نوار ساختار انواع جبری{displaystyle {mathcal {O}}_{X}}منسجم است. [2] )

جمله مهم دیگر به شرح زیر است: برای هر شیف منسجم{displaystyle {mathcal {F}}}بر روی یک نوع جبری X هممورفیسم ها

{displaystyle varepsilon _{q} : H^{q}(X,{mathcal {F}})right arrow H^{q}(X^{an},{mathcal {F}}^ {an})}

برای همه q ها هم شکل هستند. این بدان معنی است که گروه همومولوژی q- امین روی X با گروه همومولوژی در X an هم شکل است .

این قضیه خیلی بیشتر از آنچه در بالا گفته شد کاربرد دارد (به بیانیه رسمی زیر مراجعه کنید). آن و اثبات آن پیامدهای زیادی دارد، مانند قضیه چاو ، اصل Lefschetz و قضیه ناپدید شدن Kodaira .

پس زمینه [ ویرایش ]

انواع جبری به صورت محلی به عنوان مجموعه های صفر مشترک چند جمله ای ها تعریف می شوند و از آنجایی که چند جمله ای ها روی اعداد مختلط توابعی هولومورفیک هستند ، انواع جبری روی C را می توان به عنوان فضاهای تحلیلی تفسیر کرد. به طور مشابه، مورفیسم های منظم بین واریته ها به عنوان نگاشت هولومورفیک بین فضاهای تحلیلی تفسیر می شوند. با کمال تعجب، اغلب می توان از راه دیگری رفت و اشیاء تحلیلی را به روش جبری تفسیر کرد.

به عنوان مثال، به راحتی می توان ثابت کرد که توابع تحلیلی از کره ریمان به خود یا توابع عقلی هستند یا تابع بی نهایت یکسان (توسعه ای از قضیه لیوویل ). زیرا اگر چنین تابعی f ناثابت باشد، پس از آنجایی که مجموعه z که در آن f(z) بی نهایت است جدا شده و کره ریمان فشرده است، تعداد زیادی z با f(z) برابر بی نهایت است. انبساط لوران را در تمام این z در نظر بگیرید و قسمت مفرد را از آن کم کنید: تابعی در کره ریمان با مقادیر C باقی می‌مانیم که طبق قضیه لیوویل ثابت است. بنابراین f یک تابع گویا است. این واقعیت نشان می دهد که هیچ تفاوت اساسی بین خط پرتابی مختلط به عنوان یک نوع جبری یا به عنوان کره ریمان وجود ندارد .

نتایج مهم [ ویرایش ]

تاریخچه طولانی مقایسه نتایج بین هندسه جبری و هندسه تحلیلی وجود دارد که از قرن نوزدهم آغاز شده است. برخی از پیشرفت‌های مهم‌تر در اینجا به ترتیب زمانی فهرست شده‌اند.

قضیه وجودی ریمان [ ویرایش ]

تئوری سطح ریمان نشان می‌دهد که یک سطح فشرده ریمان دارای توابع مرومورفیک کافی بر روی آن است، که آن را به یک منحنی جبری (صفحه‌ای صاف) تبدیل می‌کند . تحت نام قضیه وجود ریمان [3] [4] [5] [6] نتیجه عمیق‌تری در پوشش‌های منشعب از یک سطح فشرده ریمان شناخته شد: پوشش‌های محدودی مانند فضاهای توپولوژیکی با نمایش‌های جایگشتی گروه بنیادی مکمل طبقه‌بندی می‌شوند. از نقاط انشعاب . از آنجایی که ویژگی سطح ریمان محلی است، چنین پوشش هایی به راحتی به عنوان پوشش هایی در مفهوم مختلط-تحلیلی دیده می شوند. سپس می‌توان نتیجه گرفت که آنها از پوشش نقشه‌های منحنی جبری به دست می‌آیند، یعنی این پوشش‌ها همگی از پسوندهای محدود میدان تابع به دست می‌آیند .

اصل Lefschetz [ ویرایش ]

در قرن بیستم، اصل Lefschetz ، که به نام Solomon Lefschetz نامگذاری شد، در هندسه جبری برای توجیه استفاده از تکنیک های توپولوژیکی برای هندسه جبری بر روی هر میدان جبری بسته K با مشخصه 0، با رفتار با K به گونه ای که گویی فیلد عدد مختلط است، ذکر شد. . شکل ابتدایی آن بیان می کند که گزاره های درست نظریه مرتبه اول میدان ها در مورد C برای هر میدان جبری بسته K با مشخصه صفر صادق است. یک اصل دقیق و اثبات آن مدیون آلفرد تارسکی و مبتنی بر منطق ریاضی است . [7] [8]

این اصل اجازه می‌دهد تا برخی از نتایج به‌دست‌آمده با استفاده از روش‌های تحلیلی یا توپولوژیکی برای انواع جبری بر روی C به دیگر میدان‌های زمین بسته جبری با مشخصه 0 منتقل شود. (مثلا قضیه محو شدن نوع Kodaira .

قضیه چاو [ ویرایش ]

چاو (1949) ، که توسط Wei-Liang Chow اثبات شده است ، نمونه ای از بی درنگ ترین نوع مقایسه موجود است. بیان می کند که یک زیرفضای تحلیلی از فضای تصویری مختلط که بسته است (به معنای توپولوژیکی معمولی) یک زیر تنوع جبری است. [10] این را می توان به عنوان "هر زیرفضای تحلیلی فضای تصویری مختلط که در توپولوژی قوی بسته است در توپولوژی Zariski بسته است ." این امکان استفاده کاملاً رایگان از روش‌های تحلیلی مختلط را در بخش‌های کلاسیک هندسه جبری فراهم می‌کند.

گاگا [ ویرایش ]

مبانی بسیاری از روابط بین این دو نظریه در اوایل دهه 1950 به عنوان بخشی از تجارت پایه گذاری هندسه جبری برای شامل کردن تکنیک هایی از نظریه هاج ایجاد شد . مقاله اصلی تثبیت این نظریه هندسه جبری et هندسه تحلیلی Serre (1956) توسط Jean-Pierre Serre بود که امروزه معمولاً به عنوان GAGA شناخته می شود . این نتایج کلی را ثابت می کند که طبقاتی از انواع جبری، مورفیسم های منظم و شیوها را با کلاس های فضاهای تحلیلی، نگاشت های هولومورفیک و نوارها مرتبط می کند. این همه اینها را به مقایسه دسته بندی ها کاهش می دهد.

امروزه از عبارت نتیجه به سبک GAGA برای هر قضیه مقایسه ای استفاده می شود، که اجازه عبور بین دسته ای از اشیاء از هندسه جبری و شکل های آنها را به یک زیرمجموعه کاملاً تعریف شده از اجسام هندسه تحلیلی و نگاشت های هولومورف می دهد.

بیانیه رسمی GAGA [ ویرایش ]

  1. اجازه دهید{displaystyle (X,{mathcal {O}}_{X})}طرحی از نوع محدود بر روی C باشد . سپس یک فضای توپولوژیکی X an وجود دارد که به عنوان یک مجموعه از نقاط بسته X با یک نقشه پیوسته گنجاندن λ X : X an → X تشکیل شده است . توپولوژی X an "توپولوژی مختلط" نامیده می شود (و بسیار متفاوت از توپولوژی زیرفضا است).
  2. فرض کنید φ: X → Y مورفیسم طرح‌هایی از نوع محدود محلی بر C است . سپس یک نقشه پیوسته φ an وجود دارد : X an → Y چنین λ Y ∘ φ an = φ ∘ λ X.
  3. یک قرقره وجود داردn{displaystyle {mathcal {O}}_{X}^{mathrm {an} }}روی X طوری که{displaystyle (X^{mathrm {an} },{mathcal {O}}_{X}^{mathrm {an} })}یک فضای حلقه ای است و λ X : X an → X به نقشه فضاهای حلقه ای تبدیل می شود. فضا{displaystyle (X^{mathrm {an} },{mathcal {O}}_{X}^{mathrm {an} })}به نام "تحلیل" از{displaystyle (X,{mathcal {O}}_{X})}و فضایی تحلیلی است. برای هر φ: X → Y نقشه φ an تعریف شده در بالا نگاشت فضاهای تحلیلی است. علاوه بر این، نقشه φ ↦ φ an غوطه وری های باز را به غوطه وری های باز نگاشت می کند. اگر X = Spec ( C [ x 1 ,..., x n ]) آنگاه X an = C n و{displaystyle {mathcal {O}}_{X}^{mathrm {an}}(U)}برای هر چند دیسک U یک ضریب مناسب از فضای توابع هولومورفیک روی U است .
  4. برای هر بافته {displaystyle {mathcal {F}}}روی X (که به آن شیف جبری می گویند) یک شیف وجود دارد{displaystyle {mathcal {F}}^{mathrm {an} }}بر روی X an (به نام شیف تحلیلی) و نقشه ای از قرقره های{displaystyle {mathcal {O}}_{X}}-مدول ها{displaystyle lambda _{X}^{*}:{mathcal {F}}right arrow (lambda _{X})_{*}{mathcal {F}}^{mathrm {an} } }. {displaystyle {mathcal {F}}^{mathrm {an} }}به عنوان ... تعریف شده است{displaystyle lambda _{X}^{-1}{mathcal {F}}otimes _{lambda _{X}^{-1}{mathcal {O}}_{X}}{ mathcal {O}}_{X}^{mathrm {an} }}. مکاتبات{displaystyle {mathcal {F}}mapsto {mathcal {F}}^{mathrm {an} }}یک تابع دقیق از دسته شیف ها تعریف می کند{displaystyle (X,{mathcal {O}}_{X})}به رده شیفت های{displaystyle (X^{mathrm {an} },{mathcal {O}}_{X}^{mathrm {an} })}.
    دو عبارت زیر قلب قضیه گاگا سر [11] [12] است (همانطور که توسط الکساندر گروتندیک ، آمنون نیمن و دیگران بسط داده شده است).
  5. اگر f : X → Y یک مورفیسم دلخواه از طرح های از نوع محدود بر روی C و است{displaystyle {mathcal {F}}}پس از آن نقشه طبیعی منسجم است{displaystyle (f_{*}{mathcal {F}})^{mathrm {an} }rightarrow f_{*}^{mathrm {an} }{mathcal {F}}^{mathrm { یک} }}تزریقی است اگر f مناسب باشد، این نقشه یک هم ریختی است. یکی همچنین دارای ایزومورفیسم تمام نوارهای تصویر مستقیم بالاتر است{displaystyle (R^{i}f_{*}{mathcal {F}})^{mathrm {an} }cong R^{i}f_{*}^{mathrm {an} }{ mathcal {F}}^{mathrm {an} }}در این مورد. [13]
  6. حال فرض کنید X an هاوسدورف و فشرده است . اگراف،{displaystyle {mathcal {F}}،{mathcal {G}}}دو نوار جبری منسجم روی{displaystyle (X,{mathcal {O}}_{X})}و اگر{displaystyle fcolon {mathcal {F}}^{mathrm {an} }rightarrow {mathcal {G}}^{mathrm {an}}}یک نقشه از قفسه های استn{displaystyle {mathcal {O}}_{X}^{mathrm {an} }}مدول ها سپس یک نقشه منحصر به فرد از شیوها وجود دارد{displaystyle {mathcal {O}}_{X}}-مدول ها{displaystyle varphi :{mathcal {F}}rightarrow {mathcal {G}}}با{displaystyle f=varphi ^{mathrm {an} }}. اگر{displaystyle {mathcal {R}}}یک سلف تحلیلی منسجم از{displaystyle {mathcal {O}}_{X}^{mathrm {an} }}مدول بیش از X و سپس یک نوار جبری منسجم وجود دارد{displaystyle {mathcal {F}}}از{displaystyle {mathcal {O}}_{X}}مدول ها و یک هم ریختی{displaystyle {mathcal {F}}^{mathrm {an} }cong {mathcal {R}}}.

با کلیتی اندکی کمتر، قضیه GAGA ادعا می کند که دسته نوارهای جبری منسجم در یک نوع مختلط تصویری X و دسته نوارهای تحلیلی منسجم در فضای تحلیلی متناظر X an معادل هستند. فضای تحلیلی X an تقریباً با عقب کشیدن ساختار مختلط از C n از طریق نمودارهای مختصات به X به دست می آید. در واقع، بیان قضیه به این شیوه از نظر روحی به مقاله Serre نزدیک‌تر است، زیرا می‌بینیم که چگونه زبان طرح-نظری کاملی که بیانیه رسمی بالا به شدت از آن استفاده می‌کند، تا زمان انتشار GAGA هنوز ابداع نشده بود.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

  • مدول تخت - مفهوم صافی توسط Serre (1956) معرفی شد . حلقه های محلی جبری و تحلیلی تکمیل یکسانی دارند و به این ترتیب به یک "زوج مسطح" تبدیل می شوند (couple plat). [14]

یادداشت ها [ ویرایش ]

  1. ^ ( سالن 2023 )
  2. ^ ( Remmert 1994 )
  3. ^ ( Gauert & Remmert 1958 )
  4. ^ ( Harbater 2003 )
  5. ^ ( Grothendieck & Raynaud 2002 ، EXPOSE XII، Théorème 5.1 («Theorème d'Existence de Riemann»))
  6. ^ ( Hartshorne 1977 ، ضمیمه B، قضیه 3.1 (بخش (ب)) و 3.2)
  7. ^ برای بحث نگاه کنید به Seidenberg (1958) ، نظرات در Lefschetz's Principle . Frey & Rück (1986) ، اصل قوی Lefschetz در هندسه جبری .
  8. ^ ( کوهلمن 2001 )
  9. ^ ( کاواماتا، ماتسودا و ماتسوکی 1987 )
  10. ^ ( Hartshorne 1970 )
  11. ^ ( Grothendieck & Raynaud 2002 ، EXPOSE XII.)
  12. ^ ( Neeman 2007 )
  13. ^ ( Grothendieck & Raynaud 2002 , EXPOSE XII, 4. Théorèmes de comparaison cohomologique et theorèmes d'existence)
  14. ^ ( Hartshorne 2010 )

منابع [ ویرایش ]

  • چاو، وی لیانگ (1949). "درباره واریته های تحلیلی فشرده". مجله آمریکایی ریاضیات . 71 (4): 893-914. doi : 10.2307/2372375 . JSTOR 2372375 .
  • فری، گرهارد؛ راک، هانس جورج (1986). "اصل قوی Lefschetz در هندسه جبری". Manuscripta Mathematica . 55 (3-4): 385-401. doi : 10.1007/BF01186653 . S2CID 122967192 .
  • گرائرت، هانس؛ رمرت، راینهولد (1958). "Complexe Räume" . Matheatische Annalen . 136 (3): 245-318. doi : 10.1007/BF01362011 . S2CID 121348794 .
  • Grothendieck، A. "Sur les faisceaux algébriques et les faisceaux analytiques cohérents" . Séminaire هانری کارتان . 9 : 1-16.
  • گروتندیک، الکساندر؛ رینود، میشل (2002). "Revêtements étales et groupe fondamental§XII. Géométrie algébrique et هندسه تحلیلی" . Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1) (به فرانسوی). arXiv : math/0206203 . doi : 10.1007/BFb0058656 . شابک 978-2-85629-141-2.
  • هارباتر، دیوید (21 ژوئیه 2003). "گروه های Galois و گروه های بنیادی§9. Patching و نظریه Galois (گروه ریاضیات، دانشگاه پنسیلوانیا)" (PDF) . در Schneps، لیلا (ویرایش). گروه های Galois و گروه های بنیادی . انتشارات دانشگاه کمبریج. شابک 9780521808316.
  • هال، جک (2023). "قضیه های گاگا". Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . 175 : 109-142. arXiv : 1804.01976 . doi : 10.1016/j.matpur.2023.05.004 . S2CID 119702436 .
  • کولمن، F.-V. (2001) [1994]، "اصل انتقال" ، دایره المعارف ریاضیات ، انتشارات EMS
  • نیمن، آمنون (2007). هندسه جبری و تحلیلی . doi : 10.1017/CBO9780511800443 . شابک 9780511800443.
  • سیدنبرگ، ا. (1958). "نظرات در مورد اصل Lefschetz". ماهنامه ریاضی آمریکا . 65 (9): 685-690. doi : 10.1080/00029890.1958.11991979 . JSTOR 2308709 .
  • هارتشورن، رابین (1970). زیر انواع فراوان انواع جبری . نکات سخنرانی در ریاضیات. جلد 156. doi : 10.1007/BFb0067839 . شابک 978-3-540-05184-8.
  • هارتشورن، رابین (1977). هندسه جبری . متون تحصیلات تکمیلی در ریاضیات. جلد 52. برلین، نیویورک: Springer-Verlag . doi : 10.1007/978-1-4757-3849-0 . شابک 978-0-387-90244-9. MR 0463157 . S2CID 197660097 . Zbl 0367.14001 .
  • هارتشورن، رابین (2010). "تغییرهای مرتبه اول". تئوری تغییر شکل . متون تحصیلات تکمیلی در ریاضیات. جلد 257. صص 5-44. doi : 10.1007/978-1-4419-1596-2_2 . شابک 978-1-4419-1595-5.
  • کاواماتا، یوجیرو؛ ماتسودا، کاتسومی؛ ماتسوکی، کنجی (1987). "مقدمه ای بر مساله مدل حداقل". هندسه جبری، سندای، 1985 . صص 283-360. doi : 10.2969/aspm/01010283 . شابک 978-4-86497-068-6.
  • Remmert، R. (1994). «نظریه محلی فضاهای مختلط». چندین متغیر مختلط VII . دایره المعارف علوم ریاضی. جلد 74. صص 7-96. doi : 10.1007/978-3-662-09873-8_2 . شابک 978-3-642-08150-7.
  • Serre, Jean-Pierre (1955), "Faisceaux algébriques cohérents" ( PDF) , Annals of Mathematics , 61 (2): 197–278, doi : 10.2307 / 1969915 , JSTOR 198699405
  • سر، ژان پیر (1956). "Géométrie algébrique et هندسه تحلیلی" . Annales de l'Institut Fourier (به فرانسوی). 6 : 1-42. doi : 10.5802/aif.59 . ISSN 0373-0956 . MR 0082175 .
  • تیلور، جوزف ال (2002). چندین متغیر مختلط با اتصال به هندسه جبری و گروه های دروغ . انجمن ریاضی آمریکا شابک 9780821831786.

​https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_geometry_and_analytic_geometry

ریاضیات...
ما را در سایت ریاضیات دنبال می کنید

برچسب : نویسنده : 9math1342d بازدید : 53 تاريخ : يکشنبه 15 بهمن 1402 ساعت: 13:55

آرشیو مطالب

پيوندهای روزانه

لینک دوستان

خبرنامه