ماتریس هرمیتی کج (یا ضد هرمیتی).

در این پست خواهید دید که 1 کج هرمیت چیست که به آن ماتریس ضد هرمیت نیز می گویند. نمونه هایی از ماتریس های کج -1'>هرمیتی، تمام خواص آنها و فرمول این نوع ماتریس های مختلط مربعی را خواهید دید. در نهایت، توضیح چگونگی تجزیه هر ماتریس مختلط به مجموع یک ماتریس کج-هرمیتی به اضافه یک ماتریس هرمیتی دیگر را خواهید یافت.

فهرست مطالب

ماتریس کج هرمیت (یا ضد هرمیت) چیست؟

تعریف ماتریس کج - هرمیت به شرح زیر است:

ماتریس کج-هرمیتی که ماتریس ضد هرمیت نیز نامیده می شود، یک ماتریس مربع با اعداد مختلط است که جابه جایی مزدوج آن برابر با همان ماتریس است اما علامت تغییر یافته است. به این معنی که همه ماتریس های کج هرمیت شرایط زیر را دارند:

جایی که A H ترانهاد مزدوج ماتریس A است.

ببینید: چگونه می توان ترانهاد مزدوج یک ماتریس را محاسبه کرد .

به عنوان یک کنجکاوی، این نوع ماتریس به این شکل گفته می شود زیرا شرایط مخالف ماتریس Hermitian را دارد که نام آن از ریاضیدان مهم فرانسوی چارلز هرمیت، استاد و محقق ریاضیات قرن نوزدهم که مطالعات مهمی به ویژه انجام داد، گرفته شده است. در زمینه جبر خطی

نمونه هایی از ماتریس های شیبدار-هرمیتی

هنگامی که ما تعریف یک ماتریس شیبدار-هرمیتی (یا ماتریس ضد هرمیت) را دیدیم، چند نمونه از ماتریس های کج-هرمیتی با ابعاد مختلف را مشاهده خواهیم کرد:

نمونه ای از ماتریس 2×2 کج-هرمیتی

نمونه ای از ماتریس 3×3 کج-هرمیتی

نمونه ای از ماتریس 4×4 کج-هرمیتی

همانطور که می بینید، ماتریس های A، B و C کج-هرمیتی هستند زیرا ترانهاد مزدوج هر ماتریس برابر با منفی ماتریس اصلی است.

ویژگی های ماتریس کج-هرمیتی

ویژگی های ماتریس کج-هرمیتی به شرح زیر است:

• هر ماتریس کج هرمیت نمونه ای از یک ماتریس معمولی است . اگر چه همه ماتریس های نرمال ماتریس های هرمیتی کج نیستند.

• هر ماتریس کج-هرمیتی قابل قطری شدن است. علاوه بر این، ماتریس قطری بهدستآمده فقط حاوی عناصر کاملاً موهومی است.

• بنابراین، مقادیر ویژه یک ماتریس کج-هرمیتی همیشه اعداد موهومی هستند.

• بردارهای ویژه مقادیر ویژه مختلف یک ماتریس کج-هرمیتی متعامد هستند.

• ماتریسی از اعداد حقیقی، یعنی هیچ عنصری دارای قسمت موهومی نباشد، اگر و فقط اگر یک ماتریس ضد متقارن باشد، هرمیتی-هرمیتی است .

• یک ماتریس کج-هرمیتی را می توان به صورت مجموع یک ماتریس ضد متقارن واقعی به اضافه یک ماتریس متقارن موهومی بیان کرد .

• مجموع (یا تفریق) دو ماتریس کج-هرمیتی برابر است با یک ماتریس کج-هرمیتی دیگر.

• حاصل حاصلضرب یک ماتریس کج-هرمیتی و یک اسکالر، اگر عدد اسکالر یک عدد حقیقی باشد، یک ماتریس کج-هرمیتی دیگر است.

• توان یک ماتریس کج-هرمیتی برابر با یک ماتریس کج-هرمیتی است اگر نما فرد باشد، از طرف دیگر اگر به توان زوج افزایش یابد، نتیجه یک ماتریس هرمیتی خواهد بود.

• اگر یک ماتریس کج-هرمیتی است، محصول یک ماتریس هرمیتی است.

فرمول یک ماتریس کج-هرمیتی

اگر به مثالهای بالا دقت کرده باشید، ماتریسهای هرمیتی کج همیشه ساختار یکسانی دارند: آنها با اعداد موهومی (بدون قسمت حقیقی) روی قطر اصلی و عنصر مختلط واقع در ردیف i و j تشکیل میشوند. ستون -ام باید همان قسمت فرضی و همان قسمت حقیقی را داشته باشد اما علامت تغییر یافته به عنوان عنصر ردیف j و ستون i-ام باشد.

اگرچه نوشته ممکن است کمی مختلط به نظر برسد، اما با فرمول ماتریس های کچ-هرمیتی آن را بهتر درک خواهید کرد:

همانطور که می بینید، عناصر قطر اصلی یک ماتریس کج-هرمیتی کاملاً خیالی هستند و عناصر مورب ثانویه همان قسمت خیالی و قسمت واقعی تغییر علامت دارند.

بنابراین، بخش واقعی یک ماتریس کج-هرمیتی باید متقارن و قسمت خیالی متقارن باشد.

تجزیه یک ماتریس مختلط به یک ماتریس هرمیتی و یک ماتریس هرمیتی

هر ماتریسی که حاوی اعداد مختلط است را می توان به مجموع یک ماتریس هرمیتی اریب به اضافه یک ماتریس هرمیتی دیگر تجزیه کرد . اما برای انجام این کار باید ویژگی های زیر این نوع ماتریس ها را بدانیم:

• مجموع یک ماتریس مختلط مربع به اضافه ترانهاد مزدوج آن به یک ماتریس هرمیتی منجر می شود:

• تفاوت بین یک ماتریس مختلط مربعی و ترانهاد مزدوج آن برابر است با یک ماتریس کج-هرمیتی:

• بنابراین، تمام ماتریس های مختلط را می توان به مجموع یک ماتریس هرمیت و یک ماتریس کج-هرمیتی تجزیه کرد. این قضیه به تجزیه تئوپلیتز معروف است :

در جایی که C ماتریس مختلطی است که میخواهیم تجزیه کنیم، C H ترانهاد مزدوج آن، و در نهایت A و B به ترتیب ماتریسهای هرمیتین و ماتریس هرمیتی اریب هستند که ماتریس C به آن تجزیه میشود.

منبع

https://www.algebrapracticeproblems.com/skew-hermitian-antihermitian-matrix/