خرید بک لینک

درباره سایت

ریاضیات

آخرین مطالب

امکانات وب

مجموعه بسته

از ویکیپدیا، دانشنامه زاد

این مقاله در مورد مکمل یک 1 باز است . برای مجموعه ای که تحت یک عملیات 1 شده است، به بسته شدن (ریاضیات) مراجعه کنید . برای کاربردهای دیگر، بسته (ابهامزدایی) را ببینید .

در هندسه , توپولوژی و شاخه های مرتبط ریاضیات , مجموعه بسته مجموعه ای است که مکمل ن یک مجموعه باز است . [1] [2] در یک فضای توپولوژیکی ، یک مجموعه بسته را می توان به عنوان مجموعه ای تعریف کرد که شامل تمام نقاط حد خود است . در یک فضای متریک کامل ، مجموعه بسته مجموعه ای است که تحت عملیات حد بسته می شود . این نباید با منیفولد بسته اشتباه گرفته شود .

تعاریف معادل [ ویرایش ]

طبق تعریف، یک زیر مجموعه آیک فضای توپولوژیکی (X, tau)بسته نامیده می شود اگر مکمل ن باشدXsetminus Aزیر مجموعه باز است(X, tau); یعنی اگر.{displaystyle Xsetminus Ain tau .}یک مجموعه در بسته استایکساگر و تنها در صورتی که برابر با بسته شدن ن باشد.ایکس.به همین ترتیب، یک مجموعه بسته می شود اگر و تنها در صورتی که تمام نقاط حد خود را داشته باشد . تعریف مشابه دیگر این است که یک مجموعه بسته است اگر و فقط در صورتی که تمام نقاط مرزی خود را داشته باشد . هر زیر مجموعه Asubseq Xهمیشه در بسته شدن ( توپولوژیکی) ن وجود دارد،ایکس،که با نشان داده می شود;{displaystyle operatorname {cl} _{X}A;}یعنی اگرAsubseq Xسپسu2061.{displaystyle Asubseteq operatorname {cl} _{X}A.}علاوه بر این،آزیر مجموعه ای بسته ازایکساگر و تنها اگر.{displaystyle A=operatorname {cl} _{X}A.}

یک توصیف جایگزین از مجموعه های بسته از طریق توالی ها و شبکه ها در دسترس است . یک زیر مجموعه آیک فضای توپولوژیکیایکسدر بسته استایکساگر و فقط اگر هر حد از هر شبکه از عناصرآنیز متعلق به.آ.در یک فضای قابل شمارش اول (مانند فضای متریک)، به جای همه شبکه ها، فقط دنباله های همگرا را در نظر بگیرید. یکی از ارزش های این خصوصیات این است که ممکن است به عنوان یک تعریف در زمینه فضاهای همگرایی که کلی تر از فضاهای توپولوژیکی هستند، استفاده شود. توجه داشته باشید که این شخصیت پردازی به فضای اطراف نیز بستگی دارد،ایکس،زیرا یا یک دنباله یا شبکه همگرا می شود یا نهایکسبستگی به این دارد که در چه نقاطی وجود داشته باشد.ایکس. یک نقطهایکسکه درایکسگفته می شود نزدیک به یک زیر مجموعه استAsubseq Xاگر {displaystyle xin operatorname {cl} _{X}A}سu2061( یا به طور معادل، اگرایکسمتعلق به بسته شدنآدر زیر فضای توپولوژیکی ،{displaystyle Acup {x}،}معنی{displaystyle xin operatorname {cl} _{Acup {x}}A}جایی که{displaystyle Acup {x}}دارای توپولوژی زیرفضایی است که توسط ن القا شده استایکس[یادداشت 1] ). چون بسته شدنآکه درایکسبنابراین مجموعه ای از تمام نقاط در استایکسکه نزدیک هستند،آ،این اصطلاح به توضیح انگلیسی ساده زیر مجموعه های بسته اجازه می دهد:

یک زیر مجموعه بسته است اگر و تنها در صورتی که حاوی هر نقطه نزدیک به ن باشد.

از نظر همگرایی خالص، یک امتیازxدر Xنزدیک به یک زیر مجموعه استآاگر و فقط در صورتی که مقداری خالص (ارزش شده) در ن وجود داشته باشدآکه همگرا می شود.ایکس. اگرایکسزیرفضای توپولوژیکی برخی از فضای توپولوژیکی دیگر است،Y،که در این صورتYابر فضای توپولوژیکی نامیده می شود،ایکس،نگاه ممکن است نقطه ای وجود داشته باشد{displaystyle Ysetminus X}که نزدیک استآ(اگرچه عنصری ازایکس) که چگونه برای یک زیر مجموعه امکان پذیر استAsubseq Xدر بسته شدنایکساما در ابر فضای اطراف "بزرگتر" بسته نشود.Y. اگرAsubseq Xو اگرYهر ابر فضای توپولوژیکی استایکسسپسآهمیشه یک زیر مجموعه (بالقوه مناسب) از،{displaystyle operatorname {cl} _{Y}A,}که نشان دهنده بسته شدن استآکه در;{displaystyle Y;}در واقع، حتی اگرآزیر مجموعه ای بسته ازایکس(که اگر و فقط اگر اتفاق می افتد{displaystyle A=operatorname {cl} _{X}A}، با این حال هنوز هم برای ن امکان پذیر استآزیر مجموعه مناسبی از.{displaystyle operatorname {cl} _{Y}A.}با این حال،آزیر مجموعه ای بسته ازایکساگر و تنها اگر{displaystyle A=Xcap operatorname {cl} _{Y}A}برای برخی (یا به طور معادل، برای هر) ابر فضای توپولوژیکیYاز.ایکس.

مجموعه های بسته همچنین می توانند برای توصیف توابع پیوسته استفاده شوند : نقشه:f:X به Yاگر و فقط اگر پیوسته است{displaystyle fleft(operatorname {cl} _{X}Aright)subseteq operatorname {cl} _{Y}(f(A))}برای هر زیر مجموعه Asubseq X; این را می توان در انگلیسی ساده به صورت زیر بازنویسی کرد :fاگر و فقط اگر برای هر زیر مجموعه پیوسته است،{displaystyle Asubsetq X,} fنقاط نزدیک به آبه نقاطی که نزدیک هستند{displaystyle f(A).}به همین ترتیب،fدر یک نقطه مشخص ثابت استxدر Xاگر و فقط اگر هر زمانایکسنزدیک به یک زیر مجموعه است،{displaystyle Asubsetq X,}سپسf(x)نزدیک است به{displaystyle f(A).}

اطلاعات بیشتر درباره مجموعه های بسته [ ویرایش ]

مفهوم مجموعه بسته در بالا بر حسب مجموعه های باز تعریف شده است ، مفهومی که برای فضاهای توپولوژیکی و همچنین برای سایر فضاهایی که ساختارهای توپولوژیکی را حمل میکنند، مانند فضاهای متریک ، منیفولدهای قابل تمایز ، فضاهای یکنواخت و فضاهای گیج معنا دارد .

بسته بودن یک مجموعه بستگی به فضایی دارد که در ن تعبیه شده است. با این حال، فضاهای جمع و جور هاوسدورف « کاملاً بسته » هستند ، به این معنا که، اگر فضای هاسدورف فشرده را تعبیه کنید.Dدر یک فضای هاسدورف دلخواه،ایکس،سپسDهمیشه یک زیر مجموعه بسته ازایکس; "فضای اطراف" در اینجا مهم نیست. فشرده سازی استون - چخ ، فریندی که یک فضای کاملا منظم هاسدورف را به فضای هاسدورف فشرده تبدیل می کند، ممکن است به عنوان محدودیت های مجاور شبکه های غیرهمگرا خاص به فضا توصیف شود.

علاوه بر این، هر زیر مجموعه بسته از یک فضای فشرده فشرده است، و هر زیرفضای فشرده از یک فضای هاسدورف بسته است.

مجموعه های بسته نیز توصیف مفیدی از فشردگی ارائه می دهند: فضای توپولوژیکیایکسفشرده است اگر و تنها در صورتی که هر مجموعه ای از زیر مجموعه های غیرتهی بسته شودایکسبا اشتراک تهی یک زیر مجموعه محدود با اشتراک تهی را می پذیرد.

فضای توپولوژیکی ایکسدر صورت وجود زیر مجموعه های مجزا، غیرتهی و باز، قطع می شودآوبازایکسکه اتحادیه است.ایکس.علاوه بر این،ایکساگر پایه باز متشکل از مجموعه های بسته داشته باشد، کاملاً قطع می شود .

خواص [ ویرایش ]

همچنین ببینید: بدیهیات بسته شدن کوراتوفسکی

یک مجموعه بسته دارای مرز خاص خود است . به عبارت دیگر، اگر شما "خارج" یک مجموعه بسته هستید، ممکن است مقدار کمی را در هر جهتی حرکت دهید و همچنان خارج از مجموعه بمانید. توجه داشته باشید که اگر مرز مجموعه تهی باشد، به عنوان مثال در فضای متریک اعداد گویا، برای مجموعه اعدادی که مربع نها کوچکتر است، این نیز صادق است.2.{displaystyle 2.}

  • هر اشتراک از هر خانواده از مجموعه های بسته بسته است (این شامل اشتراک های بی نهایت مجموعه بسته است)
  • اتحاد مجموعه های بسته بسیار محدود بسته است.
  • مجموعه تهی بسته است.
  • کل مجموعه بسته است.

در واقع، اگر مجموعه ای داده شودایکسو یک مجموعه {displaystyle mathbb {F} neq varnothing }از زیر مجموعه هایایکسبه گونه ای که عناصرmathbb {F}ویژگی های ذکر شده در بالا را داشته باشید، پس یک توپولوژی منحصر به فرد وجود دارد tauبرایکسبه طوری که زیر مجموعه های بسته از(X, tau)دقیقا همان مجموعه هایی هستند که به ن تعلق دارنداف.{displaystyle mathbb {F}.} ویژگی اشتراک همچنین به فرد اجازه می دهد تا بسته شدن یک مجموعه را تعریف کندآدر یک فضا،ایکس،که به عنوان کوچکترین زیر مجموعه بسته از تعریف می شودایکسکه یک ابر مجموعه از.آ. به طور خاص، بسته شدنایکسمی تواند به عنوان محل تلاقی همه این ابر مجموعه های بسته ساخته شود.

مجموعه هایی که می توانند به عنوان اتحاد تعداد زیادی مجموعه بسته قابل شمارش ساخته شوند ، مجموعه F σ نشان داده می شوند . این مجموعه ها نیازی به بسته شدن ندارند.

مثالها [ ویرایش ]

  • فاصله بسته [الف، ب]اعداد واقعی بسته است. ( برای توضیح نماد مجموعه براکت و پرانتز به فاصله (ریاضیات) مراجعه کنید.)
  • فاصله واحد [0,1]در فضای متریک اعداد حقیقی و مجموعه بسته شده است{displaystyle [0,1]cap mathbb {Q} }از اعداد گویا بین{displaystyle 0}و11(شامل) در فضای اعداد گویا بسته است اما{displaystyle [0,1]cap mathbb {Q} }در اعداد واقعی بسته نشده است.
  • برخی از مجموعه ها نه باز هستند و نه بسته، به عنوان مثال بازه نیمه باز {displaystyle [0،1)}در اعداد واقعی
  • برخی از مجموعه ها هم باز و هم بسته هستند و به نها مجموعه های کلوپن می گویند .
  • پرتو {displaystyle [1,+infty )}بسته است.
  • مجموعه کانتور یک مجموعه بسته غیرمعمول است به این معنا که کاملاً از نقاط مرزی تشکیل شده است و هیچ جا متراکم نیست.
  • نقاط Singleton (و در نتیجه مجموعه های محدود) در فضاهای T 1 و فضاهای هاسدورف بسته می شوند .
  • مجموعه اعداد صحیح زmathbb {Z}یک مجموعه بسته نامحدود و نامحدود در اعداد حقیقی است.
  • اگر:f:X به Yتابعی بین فضاهای توپولوژیکی استfپیوسته است اگر و فقط در صورتی که پیش تصویر مجموعه های بسته وارد شودYدر بسته هستند.ایکس.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

  • مجموعه Clopen - زیر مجموعه ای که هم باز و هم بسته است
  • نقشه بسته – تابعی که زیر مجموعه های باز (بهعنوان بسته) را به زیر مجموعه های باز (بهعنوان بسته) ارسال میکند.
  • منطقه بسته - زیر مجموعه باز متصل از یک فضای توپولوژیکی
  • مجموعه باز - زیر مجموعه اصلی یک فضای توپولوژیکی
  • همسایگی - مجموعه باز حاوی یک نقطه مشخص
  • منطقه (ریاضیات) - زیر مجموعه باز متصل یک فضای توپولوژیکی
  • ست بسته معمولی

برچسب: نویسنده: هستی حیدریان تاريخ: شنبه 20 آبان 1402 ساعت: 18:09

صفحه بندی

آرشیو مطالب

پيوندهای روزانه

لینک دوستان

خبرنامه