axiom جداسازی

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

یک تصویر از برخی از عبارات جدایی. مناطق غيرفارس خاكستري قهوه اي حاوي مجموعه بازي هايي هستند كه در اطراف مجموعه ها يا نقاط بسته نشده پيوسته اند: حلقه هاي جامد و كلي قرمز مجموعه هاي بسته را نشان مي دهند در حالي كه نقاط سياه نماي نقاط هستند.

در توپولوژی و رشته های مرتبط با ریاضیات ، محدودیت های متعددی وجود دارد که اغلب بر روی انواع فضاهای توپولوژیکی که می خواهند در نظر بگیرند وجود دارد. بعضی از این محدودیت ها توسط اصطلاحات جدایی داده می شود . بعضی اوقات بعضی از اصطلاحات جدایی تیچونوف ، بعد از آندری تیشنوف ، نامیده می شوند .

بدیهیات جدایی بدیهیات تنها به این معنا که، زمانی که تعریف مفهوم فضای توپولوژیک ، یک نفر می تواند این شرایط به عنوان بدیهیات اضافی اضافه کردن به مفهوم محدودتر از آنچه یک فضای توپولوژیکی است. رویکرد مدرن برای رفع یکبار و برای همه عالئم فیزیکی فضای توپولوژیک است و سپس از انواع فضاهای توپولوژی صحبت می کند. با این حال، اصطلاح "تمایز جدایی" گیر کرده است. عبارات جداسازی پس ازTreungsaxiom آلمان ، که به معنای "اصل جدایی" است، با حرف "T" مشخص می شود .

معانی دقیقی از اصطلاحات مرتبط با عبارات جدایی در طول زمان تغییر کرده است، همانطور که در تاریخ عرفان تفکیک توضیح داده شده است . مهم است که درک مفاهیم نویسندگان هر شرطی که ذکر شد به دانستن آنچه که آنها به معنی بدانند، به خصوص هنگام خواندن ادبیات قدیمی.

فهرست

• 1تعاریف مقدماتی
• 2تعاریف اصلی
• 3روابط بین قواعد
• 4سایر عبارات جدایی
• 5همچنین ببینید
• 6منابع
• 7پیوندهای خارجی

تعاریف مقدماتی [ ویرایش ]

قبل از تعریف اصطلاحات جدایی، معنای بنیادی را به مفهوم مجموعه های (و نقاط) جدا شده در فضاهای توپولوژیکی می دهیم . (مجموعه های جدا شده همانند فضاهای جدا شده نیستند که در بخش بعدی تعریف شده اند.)

عبارات جدایی در مورد استفاده از روش توپولوژیکی برای تشخیص مجموعه های غیر مجاز و نقاط متمایز است . برای عناصر یک فضای توپولوژیکی مجزا (یعنی نابرابر ) کافی نیست؛ ما ممکن است بخواهیم آنها را از لحاظ توپولوژی قابل تشخیص باشند . به طور مشابه، برای زیر مجموعه هایی از فضای توپولوژیکی که به یکدیگر متصل نیستند، کافی نیست ما ممکن است بخواهیم آنها را از هم جدا کنیم (در هر شیوه ای متفاوت). همه اصول تفکیک می گویند، به یک یا چند مورد، که نقاط یا مجموعه هایی که قابل تشخیص هستند و یا در برخی از ویژگی های ضعیف جدا شده اند نیز باید در برخی از ویژگی های قوی تر قابل تمایز باشد.

اجازه دهید X یک فضای توپولوژی باشد. سپس دو نقطه x و y در X از نظر توپولوژی قابل تشخیص هستند اگر آنها دقیقا همان محله ها را ندارند (یا مساوی باز هم محله های باز)؛ این است که حداقل یکی از آنها یک محله دارد که محله دیگری نیست (یا معادل آن یک مجموعه باز استکه یک نقطه به آن تعلق دارد، اما نقطه دیگری نمی کند).

دو نقطه x و y جدا می شوند اگر هر یک از آنها یک محله داشته باشد که محله دیگری نیست؛ این است که نه متعلق به تعطیل دیگر است . به طور کلی، دو زیرمجموعه A و B از X جدا می شوند اگر هر کدام از بسته شدن آن دیگر از هم جدا نباشد. (تعطیلات خود را مجبور به پیوستن نیستند). تمام شرایط باقی مانده برای جداسازی مجموعه ها نیز ممکن است با استفاده از مجموعه های تکتن به نقاط (یا به یک نقطه و یک مجموعه) اعمال شود. امتیازات x و yبا توجه به معیار متناظر ( x ) و { y }، با توجه به محدوده ها ، توسط محدوده های بسته، توسط یک تابع پیوسته، دقیقا با یک تابع، جداگانه در نظر گرفته می شود.

زیرمجموعه A و B با محله های جداگانه از هم جدا هستند . آنها با محله های بسته جداگانه از هم جدا می شوند . اگر یک تابع پیوسته f از فضای X به خط واقعی R وجود داشته باشد، آنها با یک تابع پیوسته تفکیک می شوند، به طوری که تصویر f ( A ) برابر با {0} و f ( B ) برابر با {1} است. در نهایت، اگر یک تابع پیوسته f وجود داشته باشد ، آنها به وضوح توسط یک عملکرد پیوسته جدا می شوند از X به R به طوری که پیش نمایش f -1 ({0}) برابر با A و f -1 ({1}) برابر با B است .

این شرایط به ترتیب افزایش قدرت داده می شود: هر دو نقاط قابل تشخیص از لحاظ توپولوژی باید متمایز باشند، و هر دو نقطه جدا شده باید از لحاظ توپولوژی قابل تشخیص باشند. هر دو مجموعه جدا از هم باید جدا شوند، هر دو مجموعه از همسایگی ها باید جدا شوند و غیره.

برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد این شرایط (از جمله استفاده از آنها در خارج از محدوده جدایی)، مقادیر جدا شده و تمایز توپولوژی را ببینید .

تعاریف اصلی [ ویرایش ]

این تعاریف، اساسا تعاریف اولیه را در بالا استفاده می کنند.

بسیاری از این نام ها در برخی از ادبیات ریاضی معانی متفاوتی دارند، همانطور که در تاریخ عرفان های جدایی توضیح داده شده است . به عنوان مثال، معانی "طبیعی" و "T 4 " گاهی اوقات تغییر می کنند، به طور مشابه "منظم" و "T 3 "، و غیره بسیاری از مفاهیم نیز دارای نام های مختلف؛ با این حال، یکی از موارد ذکر شده در ابتدا همیشه حداقل ممکن است مبهم باشد.

اکثر این اصطلاحات دارای معانی مشابهی هستند؛ تعاریف داده شده در اینجا به یک الگوی متوالی متصل می شوند که مفاهیم مختلف جدایی را در بخش قبلی تعریف می کند. سایر تعاریف ممکن است در مقالات فردی یافت شود.

در تمام تعاریف زیر، X دوباره یک فضای توپولوژی است .

• X است T 0 و یا کولموگروف ، اگر هر دو نقطه مجزا در X هستند توپولوژیکی تشخیص . (این یک موضوع مشترک در میان اصطلاحات جدایی خواهد بود تا یک نسخه از یک عنصر را داشته باشد که نیازمند T 0 و یک نسخه نیست.)
• X است R 0 یا متقارن ، اگر هر دو نقطه توپولوژیکی تشخیص در X جدا می شود.
• X است T 1 و یا در دسترس و یا فریشه یا Tikhonov به ، اگر هر دو نقطه مجزا در X جدا می شود. بنابراین، X T 1 است اگر و فقط اگر آن هم T 0 و R 0 باشد. (اگر چه شما می توانید چیزهایی مانند " فضای T 1 "، "توپولوژی فریت" و "فرض کنید که فضای توپولوژیک X فریت است"؛ از این که "فریت فریت" را در این زمینه می گویند، چنین می گویند ، زیرا یک تعریف کاملا متفاوت از فرچه وجود دارد فضا در تجزیه و تحلیل عملکردی .)
• X است R 1 یا preregular ، اگر هر دو نقطه توپولوژیکی تشخیص در X توسط محله جدا شده است. هر R 1 فضای نیز R 0 است .
• X است هاسدورف ، و یا T 2 و یا از هم جدا ، اگر هر دو نقطه مجزا در X توسط محله جدا شده است. بنابراین، X Hausdorff است اگر و فقط اگر آن هر دو T 0 و R 1 است . هر فضای Hausdorff نیز T 1 است .
• X است T 2½ ، یا Urysohn ، اگر هر دو نقطه متمایز در X با محله های بسته جدا شده اند. هر فضای T 2½ نیز Hausdorff است.
• X است به طور کامل هاسدورف ، و یا به طور کامل T 2 ، اگر هر دو نقطه مجزا در X توسط یک تابع پیوسته جدا شده است. هر فضایی کاملا Hausdorff نیز T 2½ است .
• X به طور منظم است اگر با توجه به هر نقطه x و بسته F را در X تعریف کنیم به طوری که x به F تعلق ندارد ، آنها توسط محله ها جدا می شوند. (در واقع، در یک فضای به طور منظم، هرX و F نیز توسط محله بسته هم جدا شوند.) هر فضای به طور منظم است R 1 .
• X معمولا Hausdorff است ، یا T 3 ، اگر هر دو T 0 و به طور منظم است. [1] هر فضای معمول Hausdorff نیز T 2½ است .
• X است به طور کامل به طور منظم اگر، با توجه به هر نقطه X و مجموعه بسته F در X که X به تعلق ندارد F ، آنها توسط یک تابع پیوسته جدا شده است. هر فضای کاملا منظم نیز منظم است.
• X است Tychonoff یا T 3½ ، کاملا T 3 ، و یا به طور کامل به طور منظم هاسدورف ، اگر آن هر دو T است 0 و به طور کامل به طور منظم. [2] هر فضای Tychonoff هر دو به طور منظم Hausdorff و به طور کامل Hausdorff است.
• X است طبیعی اگر هر دو متلاشی شدن بسته زیر مجموعه از X توسط محله جدا شده است. (در حقیقت، یک فضای طبیعی است اگر و فقط اگر هر دو مجموعه بسته غیر مجزا را می توان با یک تابع پیوسته از هم جدا کرد؛ این لمار Urysohn است .)
• X است طبیعی هاسدورف ، و یا T 4 ، اگر آن هر دو T است 1 و طبیعی است. هر فضای طبیعی Hausdorff هر دو Tychonoff و طبیعی به طور منظم است.
• X است کاملا طبیعی اگر هر دو مجموعه از هم جدا هستند توسط محله جدا شده است. هر فضای کاملا طبیعی نیز طبیعی است.
• X است کاملا طبیعی هاسدورف ، و یا T 5 یا کاملا T 4 ، اگر آن را هر دو به طور کامل طبیعی و T 1 . هر فضایی کاملا طبیعی Hausdorff نیز Hausdorff طبیعی است.
• X است کاملا طبیعی اگر هر دو متلاشی شدن بسته مجموعه ها دقیقا با یک تابع پیوسته جدا شده است. هر فضای کاملا طبیعی نیز کاملا طبیعی است.
• X است کاملا طبیعی هاسدورف ، و یا T 6 و یا کاملا T 4 ، اگر آن را هر دو کاملا طبیعی و T 1 . هر فضایی کاملا طبیعی Hausdorff هم کاملا طبیعی Hausdorff است.

روابط میان محورها [ ویرایش ]

تی 0 اصل ویژه است که در آن نه تنها میتواند به یک ویژگی (به طوری که علاوه به طور کامل به طور منظم T اضافه 0 Tychonoff است) بلکه از اموال کم کرد (به طوری که هاسدورف منهای T 0R است 1 )، در یک نسبتا حس دقیق برای اطلاعات بیشتر، به سهولت کولموگروف نگاه کنید . هنگامی که به اصطلاحات جداسازی اعمال می شود، این منجر به روابط در جدول به سمت چپ در زیر می شود. در این جدول، شما از سمت راست به سمت چپ با اضافه کردن الزام T 0 بروید، و از طرف چپ به طرف راست با حذف این نیاز، با استفاده از عملیات سه بعدی Kolmogorov بروید. (نامهای موجود در پرانتز در سمت چپ این جدول به طور کلی مبهم و یا حداقل کمتر شناخته شده است، اما آنها در نمودار زیر استفاده می شود.)

به غیر از ورود و یا حذف T 0 ، روابط بین محورهای جدایی در نمودار به سمت راست نشان داده شده است. در این نمودار، نسخه غیر T 0 شرط در سمت چپ علامت است و نسخه T 0 در سمت راست است. نامه ها برای اختصار به شرح زیر استفاده می شود: "P" = "کاملا"، "C" = "کاملا"، "N" = "عادی"، و "R" (بدون زیرنویس) = "به طور منظم". یک گلوله نشان می دهد که نام خاصی برای یک فضای در آن نقطه وجود ندارد. تند در پایین نشان دهنده هیچ شرایطی نیست.

شما می توانید دو خواص را با استفاده از این نمودار ترکیب کنید با دنبال کردن نمودار به بالا تا زمانی که هر دو شاخه ملاقات می کنند. به عنوان مثال، اگر یک فضای کاملا طبیعی ("CN") و کاملا Hausdorff ("CT 2 ") باشد، سپس هر دو شاخه را دنبال می کنید، نقطه "/ T 5 " را پیدا می کنید. از آنجا که به طور کامل فضاهای هاسدورف هستند T 0 (حتی اگر فضاهای کاملا طبیعی نیست ممکن است)، شما را آن T 0 طرف بریده بریده، به طوری که یک فضای کاملا هاسدورف کاملا طبیعی به عنوان یک T است 5 فضا (کمتر مبهم به عنوان یک به طور کامل شناخته شده فضای Hausdorff طبیعی، همانطور که در جدول بالا دیده می شود).

همانطور که شما می توانید از نمودار را ببینید، نرمال و R 0 هم حاکی از یک میزبان از ویژگی های دیگر، از ترکیب این دو خواص شما منجر می شود به دنبال یک مسیر از طریق بسیاری از گره های موجود در شاخه rightside. از آنجا که منظم بودن بیشترین شناخته شده از اینها، فضاهای معمولی هستند و R 0 معمولا "فضاهای منظم طبیعی" نامیده می شود. در مد تا حدودی مشابه، فضاهای که هر دو نرمال و T هستند 1 اغلب "فضاهای طبیعی هاسدورف" توسط افرادی که مایلند برای اجتناب از ابهام "T" نماد نامیده می شود. این کنوانسیون ها را می توان به سایر فضاهای منظم و فضاهای هوسردور تعمیم داد.

دیگر تمثیل جدایی [ ویرایش ]

برخی شرایط دیگر در فضاهای توپولوژیکی وجود دارد که گاهی با اصطلاحات جداسازی طبقه بندی می شوند، اما به طور کامل با عالئم جداسازی معمول همخوانی ندارد. به غیر از تعاریف آنها، در اینجا بحث نشده است؛ مقالات فردی خود را ببینید.

• X است هوشیار اگر برای هر مجموعه ای بسته C این است که (احتمالا nondisjoint) اتحاد دو کوچکتر مجموعه بسته نیست، یک نقطه منحصر به فرد وجود دارد ص چنین که بسته شدن { ص } برابر C . به طور خلاصه، هر بسته بسته ناپایدار دارای یک نقطه منحصر به فرد عمومی است. هر فضای Hausdorff باید آرام باشد و هر فضای آرامی باید T 0 باشد.
• X است ضعیف هاسدورف اگر برای هر نقشه مداوم F به X از یک فضای هاسدورف فشرده، تصویری از F در بسته است X . هر فضای Hausdorff باید Hausdorff ضعیف باشد، و هر فضای Hausdorff ضعیف باید T 1 باشد.
• X است نیمه منظم اگر مجموعه های باز به طور منظم تشکیل یک پایه برای مجموعه باز از X . هر فضای منظم باید نیمه عمودی باشد.
• X به صورت شبه منظم است اگر برای هر مجموعه باز گشتی غیر G مجموعه ای از مجموعه باز ناپیوسته H وجود دارد به طوری که بستن H در G وجود دارد .
• X است به طور کامل طبیعی اگر هر پوشش باز است باز پالایش ستاره . X است به طور کامل T 4 ، و یا به طور کامل طبیعی هاسدورف ، اگر آن هر دو T است 1 و به طور کامل طبیعی است. هر فضای کاملا طبیعی طبیعی است و هر فضای کاملا T 4 T 4 است . علاوه بر این، می توان نشان داد که هر فضای کاملا T 4 پارا کمپلکت است . در حقیقت، فضاهای کاملا طبیعی، در واقع با پارا کمپلکت بیشتر از تقسیم عادی است.