فون نویمان:اقتصاد ریاضی

اقتصاد ریاضی [ ویرایش ]

فون نویمان در چندین نشریه تأثیرگذار ، سطح فکری و ریاضی اقتصاد را مطرح کرد. فون نویمان برای الگوی خود از یک اقتصاد در حال توسعه ، وجود و یکتایی بودن تعادل را با استفاده از تعمیم او از قضیه ثابت نقطه بروو ، اثبات کرد . [97] مدل فون نویمان از یک اقتصاد در حال توسعه ، مداد ماتریس  A  - λ B را با ماتریس های غیر منفی  A و B در نظر گرفت . فون نویمان به دنبال بردارهای احتمال p و  q و یک عدد مثبت  λ بود که معادله مکمل را حل می کند  

همراه با دو سیستم نابرابری که بیانگر کارآیی اقتصادی هستند. در این مدل ، بردار احتمالی ( انتقال یافته ) p نشانگر قیمت کالاها است در حالی که بردار احتمال q بیانگر "شدت" فرایند تولید در آن است. راه حل منحصر به فرد λ بیانگر فاکتور رشد است که 1 به علاوه نرخ رشد اقتصاد است. نرخ رشد برابر است با نرخ بهره . [100] [101]

نتایج فون نویمان به عنوان مورد ویژه برنامه نویسی خطی مورد توجه قرار گرفته است ، که در آن مدل فون نویمان فقط از ماتریس های غیر منفی استفاده می کند. مطالعه مدل فون نویمان از یک اقتصاد در حال توسعه ، همچنان مورد توجه اقتصاددانان ریاضی با علاقه به اقتصاد محاسباتی است. [102] [103] [104] در این مقاله بزرگترین مقاله در اقتصاد ریاضی توسط نویسندگان، که معرفی آن از قضایای نقطه ثابت، به رسمیت شناخته شده است به نام نابرابری های خطی ، شلی مکمل و دوگانگی saddlepoint. پل ساموئلسون در جریان کنفرانسی در مورد الگوی رشد فون نویمان گفت که بسیاری از ریاضیدانان روشهای مفیدی را برای اقتصاددانان ایجاد کرده اند ، اما فون نویمان در ارائه کمکهای چشمگیری به خود تئوری اقتصادی بی نظیر است. [105]

مقاله مشهور 9 صفحه ای فون نویمان زندگی را به عنوان گفتگو در پرینستون آغاز کرد و سپس به یک مقاله به آلمانی تبدیل شد که سرانجام به انگلیسی ترجمه شد. علاقه وی به علم اقتصاد که منجر به آن مقاله شد ، چنین آغاز شد: وقتی در سالهای 1928 و 1929 در برلین سخنرانی کرد ، تابستان خود را در خانه خود در بوداپست گذراند ، و اقتصاددان نیکلاس کالدور نیز همین کار را کرد و آنها به آن ضربه زدند. کالدور توصیه کرد که فون نویمان کتابی از اقتصاددان ریاضی لئون والراس بخواند . فون نویمان اشتباهاتی را در آن کتاب پیدا کرد و آنها را اصلاح کرد ، به عنوان مثال ، جایگزین معادلات با نابرابری ها. او متوجه شد که، والراس نظریه تعادل عمومی و والراس قانونکه منجر به سیستم معادلات خطی همزمان شد ، می تواند نتیجه پوچ را بدست آورد که با تولید و فروش مقدار منفی یک محصول می توان سود را به حداکثر رساند. او معادلات را با نابرابری ها جایگزین کرد ، تعادل پویا را از جمله موارد دیگر معرفی کرد و درنهایت مقاله را تولید کرد. [106]

برنامه نویسی خطی [ ویرایش ]

فون نویمان با تکیه بر نتایج خود در مورد بازی های ماتریسی و الگوی خود از اقتصاد در حال توسعه ، تئوری دوگانگی را در برنامه نویسی خطی اختراع کرد وقتی جورج دانتزیگ کار خود را در چند دقیقه توصیف کرد و یک فون نویمان بی تاب از او خواست که به این نکته برسد. سپس ، دانتزیگ با صدای گنگ صحبت کرد در حالی که فون نویمان سخنرانی ساعتی را در مورد مجموعه های محدب ، تئوری نقطه ثابت و دوگانگی ارائه می داد ، و حدس می زد که هم ارزی بین بازی های ماتریس و برنامه نویسی خطی است. [107]

بعداً ، فون نویمان با استفاده از سیستم خطی همگن پل گوردان (1873) روش جدیدی از برنامه نویسی خطی را پیشنهاد کرد که بعداً توسط الگوریتم کارکارکار رایج شد . روش فون نویمان از الگوریتم محوری بین ساده ها استفاده کرد ، با این تصمیم محوری که توسط یک زیرمجموعه حداقل مربعات غیر منفی با محدودیت محدب تعیین می شود ( طرح بردار صفر بر روی محور محدب سیمپلکس فعال ). الگوریتم فون نویمان اولین روش نقطه داخلی برنامه نویسی خطی بود. [107]

آمار ریاضی [ ویرایش ]

فون نویمان در آمار ریاضی کمکهای اساسی انجام داد . وی در سال 1941 توزیع دقیق نسبت میانگین مربعات اختلاف پی در پی به واریانس نمونه برای متغیرهای مستقل و یکسان توزیع عادی را بدست آورد . [108] این نسبت به باقیمانده از مدلهای رگرسیون اعمال شده است و معمولاً به عنوان آماری دوربین- واتسون [109] برای آزمایش این فرضیه تهی شناخته می شود که خطاها بطور سریال در مقابل گزینه دیگری که از اتورگراسیون مرتبه اول ثابت است ، شناخته می شوند . [109]

پس از آن ، دنیس سارگان و آلوک بهارگاوا نتایج آزمایش را در صورت افزایش خطاهای مدل رگرسیون ، از یک مسیر تصادفی گاوسی (به عنوان مثال ، داشتن یک ریشه واحد ) در برابر گزینه جایگزین که آنها یک اتورگراسیون مرتبه اول ثابت هستند ، افزایش دادند. [110]

دینامیک سیالات [ ویرایش ]

فون نویمان در زمینه دینامیک سیالات کمکهای اساسی انجام داد .

مشارکتهای فون نویمان در دینامیک سیال شامل کشف وی از محلول کلاسیک جریان برای امواج انفجاری ، [111] و کشف مشترک (بطور مستقل از یاکوف بوریسوویچ زلدوویچ و ورنر دورینگ ) از مدل منفجره ZND مواد منفجره بود. [112] در دهه 1930 ، فون نویمان به عنوان مسئول در ریاضیات اتهامات شکل یافته تبدیل شد . [113]

بعداً با رابرت دی رشتمیر ، فون نویمان الگوریتمی را تعریف کرد که ویسکوزیته مصنوعی را تعریف می کند و درک امواج شوک را بهبود می بخشد . وقتی کامپیوترها مشکلات هیدرودینامیکی یا آیرودینامیکی را حل کردند ، آنها سعی کردند نقاط شبکه محاسباتی زیادی را در مناطقی از ناپیوستگی شدید (امواج شوک) قرار دهند. ریاضیات ویسکوزیته مصنوعی انتقال شوک را بدون آسیب رساندن به فیزیک پایه ، صاف کرد. [114]

فون نویمان به زودی مدل سازی رایانه را در این زمینه به کار برد و نرم افزارهایی را برای تحقیقات بالستیک خود تولید کرد. وی در طول WW2 ، یک روز به دفتر RH Kent ، مدیر آزمایشگاه تحقیقات Ballistic ارتش ایالات متحده رسید ، با یک برنامه رایانه ای که وی برای محاسبه مدل یک بعدی از 100 مولکول برای شبیه سازی یک موج شوک ایجاد کرده بود. فون نویمان سپس سمیناری را در مورد برنامه رایانه خود به حضار ارائه داد که شامل دوست وی تئودور فون کرمان بود . پس از اتمام فون نویمان ، فون کرمان گفت: "خوب ، جانی ، این بسیار جالب است. البته شما می دانید که لاگرانژ همچنین از مدل های دیجیتال برای شبیه سازی مکانیک پیوسته استفاده کرده است ." از چهره فون نویمان مشخص بود که او از لاگرانژ بی خبر بوده استتحلیلی Mécanique . [115]

تسلط بر ریاضیات [ ویرایش ]

استن اوللام که فون نویمان را خوب می شناخت ، تسلط خود را در ریاضیات از این طریق شرح داد: "بیشتر ریاضیدانان یک روش را می دانند. به عنوان مثال ، نوربرت وینر تبدیل های فوریه را تسلط داده بود .برخی از ریاضیدانان به دو روش تسلط داشته اند و ممکن است واقعاً کسی را تحت تأثیر قرار دهند که فقط یکی از آنها را می شناسد. جان فون نویمان به سه روش تسلط یافته بود. " وی در ادامه توضیح داد که این سه روش عبارتند از:

• تسهیلات با دستکاری نمادین اپراتورهای خطی؛
• یک احساس شهودی برای ساختار منطقی هر نظریه ریاضی جدید.
• یک احساس شهودی برای روبنای ترکیبی تئوری های جدید. [116]

ادوارد تلر نوشت: "هیچ کس همه علوم را نمی داند ، حتی فون نویمان هم چنین نکرد. اما در مورد ریاضیات ، او به جزء تئوری شماره و توپولوژی به همه قسمت های آن کمک کرد. یعنی فکر می کنم چیزی بی نظیر است." [117]

از فون نویمان خواسته شد كه مقاله ای را برای افراد غیرمجاز بنویسد كه توصیف ریاضیات است ، بنویسد و تجزیه و تحلیل زیبایی را انجام داد. وی توضیح داد که ریاضیات جهان را بین تجربی و منطقی قدم می زند و استدلال می کند که هندسه در ابتدا تجربی بوده است ، اما اقلیدس یک تئوری منطقی و قیاسی ساخت. با این حال ، او استدلال كرد كه همیشه این خطر وجود دارد كه خیلی از دنیای واقعی دور نمانیم و به یک علم غیرضروری تبدیل شویم. [118] [119] [120]

https://en.wikipedia.org/wiki/John_von_Neumann