کره :: ریاضیات

آخرین مطالب

امکانات وب

کره

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

کره (از یونان باستان σφαῖρα ( sphara ) 'کره، توپ') [1] یک شی هندسی است که مشابه یک دایره دو بعدی سه بعدی است . به طور رسمی، یک کره مجموعه نقاطی است که همگی در یک فاصله r از یک نقطه معین در فضای سه بعدی قرار دارند. [2] آن نقطه داده شده مرکز کره است و r شعاع کره است. اولین ذکرهای شناخته شده از کره در کار ریاضیدانان یونان باستان ظاهر می شود . یک کره یک مورد منحط از یک چنبره است .

کره یک شی اساسی در بسیاری از زمینه های ریاضیات است . کره ها و اشکال تقریباً کروی نیز در طبیعت و صنعت ظاهر می شوند. حباب هایی مانند حباب های صابون در حالت تعادل شکل کروی به خود می گیرند. زمین اغلب در جغرافیا به عنوان یک کره تقریب می شود و کره آسمانی یک مفهوم مهم در نجوم است . اقلام ساخته شده از جمله مخازن تحت فشار و اکثر آینه ها و عدسی های منحنی بر اساس کروی هستند. کره‌ها به آرامی در هر جهتی می‌چرخند ، بنابراین بیشتر توپ‌های مورد استفاده در ورزش‌ها و اسباب‌بازی‌ها نیز مانند کروی هستند.بلبرینگ .

اصطلاحات پایه [ ویرایش ]

دو شعاع متعامد یک کره

همانطور که قبلا ذکر شد r شعاع کره است. هر خطی از مرکز به نقطه ای از کره را شعاع نیز می گویند. [3]

اگر یک شعاع از مرکز به طرف مقابل کره کشیده شود، یک قطر ایجاد می کند . مانند شعاع، به طول قطر نیز قطر گفته می شود و d نشان داده می شود . قطرها طولانی ترین پاره های خطی هستند که می توان بین دو نقطه روی کره رسم کرد: طول آنها دو برابر شعاع است، d = 2 r . دو نقطه روی کره که با یک قطر به هم متصل شده اند نقاط پادپای یکدیگر هستند. [3]

یک کره واحد کره ای است با شعاع واحد ( r = 1 ). برای سهولت، کره ها را اغلب به عنوان مرکز آنها در مبدأ سیستم مختصات در نظر می گیرند، و کره ها در این مقاله مرکز خود را در مبدا قرار می دهند، مگر اینکه مرکزی ذکر شود.

یک دایره بزرگ روی کره دارای مرکز و شعاع یکسانی با کره است و آن را به دو نیمکره مساوی تقسیم می کند .

اگرچه زمین کاملاً کروی نیست، اصطلاحات وام گرفته شده از جغرافیا برای استفاده در کره مناسب هستند. اگر نقطه خاصی روی یک کره (به طور خودسرانه) به عنوان قطب شمال آن تعیین شود ، نقطه پادپای آن قطب جنوب نامیده می شود . دایره بزرگی که از هر یک مساوی فاصله دارد، استوا است . دایره های بزرگی که از میان قطب ها عبور می کنند، خطوط طول جغرافیایی یا نصف النهار نامیده می شوند . خطی که این دو قطب را به هم وصل می کند را می توان محور چرخش نامید . دایره های کوچک روی کره که موازی با استوا هستند خطوط عرض جغرافیایی هستند . در هندسه غیرمرتبط با اجسام نجومی، اصطلاحات ژئوسنتریک باید فقط برای تصویرسازی استفاده شود.به این ترتیب ذکر شده است ، مگر اینکه احتمال سوء تفاهم وجود داشته باشد. [3]

ریاضیدانان کره را یک سطح بسته دو بعدی می دانند که در فضای سه بعدی اقلیدسی جاسازی شده است . آنها یک کره و یک توپ را که یک منیفولد سه بعدی با مرزی است که شامل حجم موجود در کره است، متمایز می کنند . یک توپ باز خود کره را حذف می کند، در حالی که یک توپ بسته شامل کره است: یک توپ بسته ترکیب توپ باز و کره است و یک کره مرز یک توپ (بسته یا باز) است. تمایز بین توپ و کرههمیشه حفظ نشده است و به خصوص منابع ریاضی قدیمی تر در مورد کره به عنوان یک جامد صحبت می کنند. تمایز بین " دایره " و " دیسک " در هواپیما مشابه است.

به گوی‌ها یا توپ‌های کوچک گاهی اوقات کروی گفته می‌شود، مثلاً در کره‌های مریخی .

در هندسه تحلیلی ، کره ای با مرکز ( x 0 , y 0 , z 0 ) و شعاع r مکان تمام نقاط ( x , y , z ) است به طوری که

${displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}.}$

از آنجایی که می توان آن را به صورت یک چند جمله ای درجه دوم بیان کرد، یک کره یک سطح چهارگانه ، نوعی سطح جبری است . [3]

بگذارید a، b، c، d، e اعداد حقیقی با a ≠ 0 باشند و قرار دهید

${displaystyle x_{0}={frac {-b}{a}},quad y_{0}={frac {-c}{a}},quad z_{0}={frac { -d}{a}}،quad rho ={frac {b^{2}+c^{2}+d^{2}-ae}{a^{2}}}.}$

سپس معادله

${displaystyle f(x,y,z)=a(x^{2}+y^{2}+z^{2})+2(bx+cy+dz)+e=0}$

هیچ امتیاز واقعی به عنوان راه حل ندارد اگر $rho < 0$ و معادله یک کره خیالی نامیده می شود . اگر $rho =0$ ، تنها راه حل ${displaystyle f(x,y,z)=0}$ نکته است $P_{0}=(x_{0}، y_{0}، z_{0})$ و معادله را معادله یک کره نقطه ای می گویند . در نهایت، در مورد $rho > 0$ ، ${displaystyle f(x,y,z)=0}$ معادله کره ای است که مرکز آن است $P_{0}$ و شعاع آن است ${displaystyle {sqrt {rho }}}$ . [2]

اگر a در معادله فوق صفر باشد، f ( x , y , z ) = 0 معادله یک صفحه است. بنابراین، یک صفحه ممکن است به عنوان کره ای با شعاع بی نهایت در نظر گرفته شود که مرکز آن نقطه ای در بی نهایت است . [4]

پارامتریک [ ویرایش ]

یک معادله پارامتری برای کره با شعاع $r > 0$ و مرکز $(x_{0}، y_{0}، z_{0})$ می توان با استفاده از توابع مثلثاتی پارامتربندی کرد .

${displaystyle {begin{aligned}x&=x_{0}+rsin theta ;cos varphi y&=y_{0}+rsin theta ;sin varphi z& =z_{0}+rcos theta ,end{تراز شده}}}$ [5]

نمادهای استفاده شده در اینجا همان نمادهایی است که در مختصات کروی استفاده می شود . r ثابت است، در حالی که θ از 0 تا π و متغیر است $varphi$ از 0 تا 2 π متغیر است .

حجم محصور شده[ ویرایش ]

کره و استوانه محدود

در سه بعد، حجم داخل یک کره (یعنی حجم یک توپ ، اما در کلاسیک به عنوان حجم یک کره شناخته می شود) است.

${displaystyle V={frac {4}{3}}pi r^{3}={frac {pi }{6}} d^{3}approx 0.5236cdot d^{3} }$

که r شعاع و d قطر کره است. ارشمیدس برای اولین بار این فرمول را با نشان دادن اینکه حجم داخل یک کره دو برابر حجم بین کره و استوانه محدود آن کره است (با ارتفاع و قطر برابر با قطر کره) به دست آورد. [6] این را می توان با نوشتن یک مخروط به صورت وارونه در نیمکره ثابت کرد، با توجه به اینکه مساحت مقطع مخروط به اضافه سطح مقطع کره با سطح مقطع کره برابر است. استوانه محدود کننده، و استفاده از اصل کاوالیری . [7] این فرمول را می توان با استفاده از حساب انتگرال نیز بدست آورد، یعنی ادغام دیسک برای مجموع حجم های بی نهایت از دیسک های دایره ای با ضخامت بی نهایت کوچک که در کنار هم چیده شده اند و در امتداد محور x از x = - r تا x = r متمرکز شده اند ، با فرض اینکه کره شعاع r در مرکز قرار گرفته است. اصل و نسب.

نشان می دهد اثبات حجم کره با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال

برای اکثر اهداف عملی، حجم داخل یک کره حک شده در یک مکعب را می توان به 52.4٪ حجم مکعب تقریب زد، زیرا V =π/6 d 3 که d قطر کره و همچنین طول یک ضلع مکعب است وπ/6 ≈ 0.5236. به عنوان مثال، کره ای با قطر 1 متر، 52.4 درصد حجم یک مکعب با طول لبه 1 متر یا حدود 0.524 متر مکعب دارد .

مساحت سطح[ ویرایش ]

مساحت کره ای به شعاع r برابر است با:

$A=4pi r^{2}.$

ارشمیدس برای اولین بار این فرمول [9] را از این واقعیت به دست آورد که برآمدگی به سطح جانبی استوانه‌ای محصور شده ، منطقه را حفظ می‌کند. [10] روش دیگر برای به دست آوردن فرمول از این واقعیت ناشی می شود که با مشتق فرمول حجم نسبت به r برابر است ، زیرا حجم کل داخل یک کره به شعاع r را می توان به عنوان مجموع مساحت سطح در نظر گرفت. تعداد نامتناهی پوسته کروی با ضخامت بینهایت کوچک که به صورت متحدالمرکز در داخل یکدیگر از شعاع 0 تا شعاع r انباشته شده اند.. در ضخامت بینهایت کوچک اختلاف بین سطح داخلی و خارجی هر پوسته بی نهایت کوچک است و حجم عنصر در شعاع r به سادگی حاصل ضرب سطح در شعاع r و ضخامت بینهایت کوچک است.

نشان می دهد اثبات مساحت سطح با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال

کره دارای کمترین سطح در بین تمام سطوحی است که حجم معینی را در بر می گیرند و بیشترین حجم را در بین تمام سطوح بسته با یک سطح معین در بر می گیرد. [11] بنابراین کره در طبیعت ظاهر می شود: به عنوان مثال، حباب ها و قطرات کوچک آب تقریباً کروی هستند زیرا کشش سطحی به طور موضعی سطح سطح را به حداقل می رساند.

مساحت سطح نسبت به جرم یک توپ را مساحت سطح ویژه می نامند و می توان آن را از معادلات بیان شده در بالا به صورت بیان کرد.

${displaystyle mathrm {SSA} ={frac {A}{Vrho }}={frac {3}{rrho }}}$

که ρ چگالی (نسبت جرم به حجم) است .

سایر ویژگی های هندسی [ ویرایش ]

یک کره را می توان به عنوان سطحی که با چرخاندن یک دایره به دور هر یک از قطرهای آن تشکیل می شود، ساخت . این اساساً تعریف سنتی کره است که در عناصر اقلیدس ارائه شده است . از آنجایی که دایره نوع خاصی از بیضی است ، کره نیز نوع خاصی از بیضوی چرخش است . با جایگزینی دایره با یک بیضی که حول محور اصلی آن چرخیده است ، شکل به یک کروی پرولات تبدیل می شود . چرخش حول محور فرعی، یک کروی مایل. [12]

یک کره به طور منحصر به فرد توسط چهار نقطه که همسطح نیستند تعیین می شود . به طور کلی‌تر، یک کره به طور منحصربه‌فردی با چهار شرط مانند عبور از یک نقطه، مماس بودن بر صفحه و غیره تعیین می‌شود .

در نتیجه، یک کره منحصراً توسط یک دایره و نقطه ای که در صفحه آن دایره نیست تعیین می شود (یعنی از آن عبور می کند).

با بررسی جواب های رایج معادلات دو کره ، می توان دریافت که دو کره در یک دایره همدیگر را قطع می کنند و صفحه حاوی آن دایره را صفحه رادیکال کره های متقاطع می نامند. [14] اگرچه صفحه رادیکال یک صفحه واقعی است، اما دایره ممکن است خیالی باشد (کره ها نقطه مشترک واقعی ندارند) یا از یک نقطه تشکیل شده باشد (کره ها در آن نقطه مماس هستند). [15]

زاویه بین دو کره در یک نقطه تقاطع واقعی، زاویه دو وجهی است که توسط صفحات مماس بر کره های آن نقطه تعیین می شود. دو کره در تمام نقاط دایره تقاطع خود با یک زاویه قطع می شوند. [16] آنها در زوایای قائمه متقاطع می شوند ( متعامد هستند ) اگر و تنها در صورتی که مجذور فاصله بین مراکز آنها برابر با مجموع مربعات شعاع آنها باشد. [4]

مداد کروی [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: مداد (ریاضی) مداد کره

اگر f ( x , y , z ) = 0 و g ( x , y , z ) = 0 معادلات دو کره مجزا باشند

${displaystyle sf(x,y,z)+tg(x,y,z)=0}$

همچنین معادله یک کره برای مقادیر دلخواه پارامترهای s و t است . مجموعه تمام کره هایی که این معادله را برآورده می کنند، مداد کره هایی نامیده می شود که توسط دو کره اصلی تعیین می شود. در این تعریف، کره مجاز است یک صفحه باشد (شعاع بی نهایت، مرکز در بی نهایت) و اگر هر دو کره اصلی صفحه باشند، تمام کره های مداد صفحه هستند، در غیر این صورت فقط یک صفحه (صفحه رادیکال) در آن وجود دارد. مداد. [4]

خواص کره [ ویرایش ]

بردار نرمال به یک کره، یک صفحه نرمال و بخش عادی آن. انحنای منحنی تقاطع انحنای مقطعی است. برای کره، هر بخش عادی از یک نقطه معین، دایره ای به همان شعاع خواهد بود: شعاع کره. این بدان معنی است که هر نقطه روی کره یک نقطه ناف خواهد بود.

دیوید هیلبرت و استفان کوهن ووسن در کتاب هندسه و تخیل خود یازده ویژگی کره را توصیف می کنند و در مورد اینکه آیا این ویژگی ها به طور منحصر به فرد کره را تعیین می کنند، بحث می کنند . [17] چندین ویژگی برای صفحه وجود دارد که می توان آن را به عنوان یک کره با شعاع بی نهایت در نظر گرفت. این خواص عبارتند از:

نقاط روی کره همگی از یک نقطه ثابت فاصله دارند. همچنین نسبت فاصله نقاط آن از دو نقطه ثابت ثابت است.
بخش اول تعریف معمول کره است و آن را به طور منحصر به فرد تعیین می کند. قسمت دوم به راحتی قابل استنباط است و نتیجه مشابه آپولونیوس پرگا برای دایره را دنبال می کند . این قسمت دوم نیز برای هواپیما صادق است .
خطوط و مقاطع صفحه کره دایره هستند.
این ویژگی کره را به طور منحصر به فردی تعریف می کند.
کره دارای عرض ثابت و دور ثابت است.
عرض یک سطح فاصله بین جفت صفحات مماس موازی است. بسیاری از سطوح محدب بسته دیگر دارای عرض ثابت هستند، به عنوان مثال بدنه مایسنر . دور یک سطح، محیط مرز برآمدگی متعامد آن روی یک صفحه است. هر یک از این ویژگی ها بر دیگری دلالت دارد.
تمام نقاط یک کره ناف هستند .
در هر نقطه از سطح یک جهت عادی با سطح زوایای قائمه است زیرا در کره این خطوط هستند که از مرکز کره خارج می شوند. تقاطع صفحه ای که دارای حالت عادی با سطح است منحنی را تشکیل می دهد که به آن مقطع نرمال می گویند و انحنای این منحنی انحنای نرمال است . برای اکثر نقاط روی بیشتر سطوح، بخش های مختلف انحناهای متفاوتی دارند. مقادیر حداکثر و حداقل آنها را انحنای اصلی می نامند . هر سطح بسته حداقل چهار نقطه به نام نقاط نافی دارد . در یک ناف تمام انحناهای مقطعی برابر هستند. به ویژه انحناهای اصلیبرابر هستند. نقاط ناف را می توان به عنوان نقاطی در نظر گرفت که سطح آن با یک کره تقریباً نزدیک است.
برای کره، انحنای تمام بخش های عادی برابر است، بنابراین هر نقطه یک ناف است. کره و صفحه تنها سطوحی هستند که این خاصیت را دارند.
کره سطحی از مراکز ندارد.
برای یک مقطع عادی یک دایره انحنای وجود دارد که برابر با انحنای مقطع است، مماس بر سطح است، و خطوط مرکزی آن در امتداد خط عادی قرار دارند. به عنوان مثال، دو مرکز مربوط به حداکثر و حداقل انحنای مقطع، نقاط کانونی نامیده می شوند و مجموعه همه این مراکز سطح کانونی را تشکیل می دهند .
برای اکثر سطوح، سطح کانونی دو صفحه تشکیل می دهد که هر کدام یک سطح هستند و در نقاط ناف به هم می رسند. چند مورد خاص هستند:
* برای سطوح کانال یک ورق یک منحنی و ورق دیگر یک سطح است
* برای مخروط ها ، استوانه ها، توری ها و سیکلیدها، هر دو ورق منحنی تشکیل می دهند.
* برای کره، مرکز هر دایره منعش‌کننده در مرکز کره است و سطح کانونی یک نقطه واحد را تشکیل می‌دهد. این خاصیت منحصر به کره است.
تمام ژئودزیک های کره منحنی های بسته هستند.
ژئودزیک ها منحنی هایی روی سطحی هستند که کمترین فاصله را بین دو نقطه نشان می دهند. آنها تعمیم مفهوم خط مستقیم در صفحه هستند. برای کره، ژئودزیک ها دایره های بزرگی هستند. بسیاری از سطوح دیگر این ویژگی را به اشتراک می گذارند.
از میان تمام جامداتی که حجم معینی دارند، کره با کمترین مساحت سطحی است. از بین تمام جامداتی که سطح مشخصی دارند، کره بیشترین حجم را دارد.
از نابرابری ایزوپریمتری نتیجه می شود . این ویژگی‌ها کره را به‌طور منحصربه‌فردی تعریف می‌کنند و می‌توان آن را در حباب‌های صابون مشاهده کرد : حباب صابون یک حجم ثابت را در بر می‌گیرد و کشش سطحی سطح آن را برای آن حجم به حداقل می‌رساند. بنابراین یک حباب صابون شناور آزادانه به یک کره نزدیک می شود (اگرچه نیروهای خارجی مانند گرانش شکل حباب را کمی تغییر می دهد). همچنین در سیارات و ستارگانی که گرانش سطح اجرام آسمانی بزرگ را به حداقل می رساند، دیده می شود.
کره کوچکترین انحنای میانگین کل را در بین تمام جامدات محدب با سطح معین دارد.
انحنای متوسط میانگین دو انحنای اصلی است که ثابت است زیرا دو انحنای اصلی در تمام نقاط کره ثابت هستند.
کره دارای انحنای متوسط ثابت است.
کره تنها سطح نهفته است که فاقد مرز یا تکینگی با میانگین انحنای مثبت ثابت است. سایر سطوح غوطه ور مانند سطوح حداقل دارای میانگین انحنای ثابت هستند.
کره دارای انحنای گاوسی مثبت ثابت است.
انحنای گاوسی حاصلضرب دو انحنای اصلی است. این یک ویژگی ذاتی است که می توان آن را با اندازه گیری طول و زوایا تعیین کرد و مستقل از نحوه قرار گرفتن سطح در فضا است. از این رو، خمش یک سطح، انحنای گاوسی را تغییر نمی‌دهد و سایر سطوح با انحنای گاوسی مثبت ثابت را می‌توان با بریدن یک شکاف کوچک در کره و خم کردن آن به دست آورد. همه این سطوح دیگر دارای مرز خواهند بود و کره تنها سطحی است که فاقد مرزی با انحنای گاوسی ثابت و مثبت است. شبه کره نمونه ای از سطحی با انحنای گاوسی منفی ثابت است.
کره توسط یک خانواده سه پارامتری از حرکات صلب به خود تبدیل می شود.
چرخش حول هر محوری یک کره واحد در مبدأ، کره را روی خودش ترسیم می کند. هر چرخشی حول یک خط از مبدا می تواند به صورت ترکیبی از چرخش ها حول محور سه مختصات بیان شود (به زوایای اویلر مراجعه کنید ). بنابراین، یک خانواده سه پارامتری از چرخش ها وجود دارد به طوری که هر چرخش کره را به خود تبدیل می کند. این خانواده گروه چرخشی SO(3) است . صفحه تنها سطح دیگری است که دارای یک خانواده تبدیل سه پارامتری است (ترجمه در امتداد محورهای x - و y و چرخش حول مبدا). استوانه های دایره ای تنها سطوح با خانواده دو پارامتری از حرکات صلب و سطوح چرخشی و هلیکوئیدی هستند.تنها سطوح با خانواده یک پارامتری هستند.

درمان بر اساس حوزه ریاضی [ ویرایش ]

هندسه کروی [ ویرایش ]

دایره بزرگ روی یک کره

نوشتار اصلی: هندسه کروی

عناصر اساسی هندسه صفحه اقلیدسی نقاط و خطوط هستند . در کره، نقاط به معنای معمول تعریف می شوند. آنالوگ "خط" ژئودزیک است که یک دایره بزرگ است . مشخصه تعیین کننده یک دایره بزرگ این است که صفحه ای که تمام نقاط آن را در بر می گیرد از مرکز کره نیز عبور می کند. اندازه‌گیری با طول قوس نشان می‌دهد که کوتاه‌ترین مسیر بین دو نقطه واقع در کره، بخش کوتاه‌تر دایره بزرگ است که شامل نقاط است.

بسیاری از قضایای هندسه کلاسیک برای هندسه کروی نیز صادق است، اما همه آنها صادق نیستند زیرا کره برخی از فرضیات هندسه کلاسیک از جمله فرض موازی را برآورده نمی کند . در مثلثات کروی ، زاویه ها بین دایره های بزرگ تعریف می شوند. مثلثات کروی از بسیاری جهات با مثلثات معمولی متفاوت است . به عنوان مثال، مجموع زوایای داخلی یک مثلث کروی همیشه از 180 درجه بیشتر است. همچنین، هر دو مثلث کروی مشابه همخوان هستند.

هر جفت نقطه روی یک کره که روی یک خط مستقیم از مرکز کره (یعنی قطر) قرار می گیرد، نقاط پادپای نامیده می شوند - روی کره، فاصله بین آنها دقیقاً نصف طول محیط است. [نکته 2] هر جفت نقطه متمایز دیگری (یعنی نه پادپا) روی یک کره

روی یک دایره بزرگ بی نظیر دراز بکش،
آن را به یک قوس مینور (یعنی کوتاهتر) و یک قوس اصلی (یعنی بلندتر) تقسیم کنید و
طول قوس فرعی کمترین فاصله بین آنها روی کره باشد. [نکته 3]

هندسه کروی شکلی از هندسه بیضوی است که همراه با هندسه هذلولی هندسه غیر اقلیدسی را تشکیل می دهد .

هندسه دیفرانسیل [ ویرایش ]

کره یک سطح صاف با انحنای گاوسی ثابت در هر نقطه برابر با 1 / r2 است . [9] طبق نظریه گاوس Egregium ، این انحنا مستقل از جاسازی کره در فضای 3 بعدی است. همچنین با پیروی از گاوس، یک کره را نمی توان با حفظ مناطق و زوایا به یک صفحه نگاشت کرد. بنابراین، هر طرح ریزی نقشه نوعی اعوجاج را معرفی می کند.

کره ای به شعاع r دارای عنصر مساحت است ${displaystyle dA=r^{2}sin theta ,dtheta ,dvarphi }$ . این را می توان از عنصر حجم در مختصات کروی با r ثابت یافت. [9]

کره ای با هر شعاع با مرکز صفر، سطحی جدایی ناپذیر از شکل دیفرانسیل زیر است :

${displaystyle x,dx+y,dy+z,dz=0.}$

این معادله نشان می دهد که بردار موقعیت و صفحه مماس در یک نقطه همیشه متعامد با یکدیگر هستند. علاوه بر این، بردار معمولی رو به بیرون برابر با بردار موقعیت است که با 1/r مقیاس شده است .

ریاضیات...

ما را در سایت ریاضیات دنبال می کنید

برچسب : نویسنده : 9math1342d بازدید : 500 تاريخ : شنبه 9 ارديبهشت 1402 ساعت: 14:42

کره