امواج طولی در یک میله بلند و نازک

ما چند روزی است که با تار می نوازیم. بیایید به یک رسانه دیگر، و یک نوع اختلال کمی متفاوت تغییر دهیم. ما رفتار امواج طولی را که از میان یک میله بلند و نازک حرکت می کنند، بررسی خواهیم کرد. برخلاف امواج عرضی روی یک رشته، امواج طولی شامل نوسان مواد در امتداد (و خلاف) جهت حرکت اختلال است.

شما باید ببینید که دوست جدید ما معادله موج نشان داده می شود همانطور که ما پاسخ بخش کوچکی از میله را به یک نیروی مزاحم بررسی می کنیم ...

بر بخش کوچکی از میله نیرو وارد می کند

ما قصد داریم از دو متغیر مختلف در بحث زیر استفاده کنیم، که هر دو به نوعی موقعیت بخش کوچکی از میله را در امتداد محور x توصیف می‌کنند. بنابراین اجازه دهید قبل از شروع، معنای هر یک را به وضوح تعریف کنیم.

یک میله بلند و نازک از مواد، با سطح مقطع A و چگالی ρ را در نظر بگیرید . ما روی خصوصیات بخش کوچکی از میله که از موقعیت x به (x + Δ x) کشیده می شود تمرکز خواهیم کرد .

 س: جرم این بخش کوچک چقدر است؟

درست.

حالا به یک سر میله نیرو وارد می کنیم. چگونه پاسخ می دهد؟

میله در پاسخ به نیرو کشیده می شود. میزان کشش میله بستگی به این دارد که فرد از انتهای آن چقدر دور به نظر می رسد: هر چه نیرو به انتهای آن نزدیکتر باشد، تغییر طول بیشتر می شود.

اجازه دهید تغییر موقعیت هر نقطه روی میله را z بنامیم . هر چه به انتهای سمت راست میله نزدیکتر باشد، z بزرگتر است. در موقعیت لبه سمت چپ بخش ما، x ، ماده با z تغییر شکل می دهد . اما در لبه سمت راست بخش، ماده به مقدار کمی بیشتر تغییر شکل می دهد (z + Δ z) .

به عبارت دیگر، بخش کوچک ما نه تنها به سمت راست ترجمه می شود، بلکه کمی طولانی تر نیز می شود.

چرا بخش کشیده می شود؟ زیرا نیرویی که به سمت راست آن وارد می شود کمی بزرگتر از نیرویی است که در سمت چپ آن وارد می شود. به عبارت دیگر، F 2 > F 1 .

استرس و واکنش به آن: فشار

ممکن است به یاد داشته باشید که فیزیکدانان از اصطلاح استرس برای توصیف نیروی دیفرانسیل وارد بر دو انتهای بخش کوچکی از یک جسم استفاده می کنند.

در پاسخ به استرس روی یک جسم، ممکن است شکل آن تغییر کند. این پاسخ فشار نامیده می شود.

برای بسیاری از اجسام، این دو پدیده - استرس روی یک جسم و کرنش ناشی از آن - به شیوه‌ای ساده با هم مرتبط هستند، حداقل زمانی که تغییرات شکل در مقایسه با اندازه اصلی جسم بسیار کوچک است. به طور کلی، تنش برابر است با مقداری مدول الاستیک ضرب در کرنش. هنگامی که جسم بلند و نازک است و در طول آن کشیده می شود، این ضریب مدول یانگ نامیده می شود . معمولاً با Y یا E برچسب گذاری می شود .

سمت چپ این معادله جعبه ای دارای نیروی خالص بر بخش کوچک تقسیم بر مساحت است. آن نیروی خالص، طبق قانون دوم نیوتن، فقط جرم مقطع ضربدر شتاب آن در جهت طول میله است. به عبارت دیگر، شتاب در جهت z .

بنابراین سمت چپ می شود

در حال حاضر، در اینجا قسمت مشکل است. در سمت راست معادله کادر، عبارتی برای تغییر z تقسیم بر تغییر x وجود دارد . تغییر در فاصله کشیده، Δ z ، در طول بخش کوچک ما چقدر است؟ یکی از راه‌های محاسبه، نرخ تغییر z با x ضرب در عرض بخش کوچک ما است:

این باید شما را به یاد تکنیک ریاضی مشابهی بیاندازد که در جلسه قبلی کلاس خود، هنگام بحث در مورد تغییر شیب یک رشته ارتعاشی، از آن استفاده کردیم.

هنگامی که همه فواصل درگیر بسیار کوچک هستند، و ما خود را به یک لحظه ثابت در زمان محدود می کنیم، می توانیم این را با استفاده از مشتق دوم z نسبت به x بنویسیم .

معادله دیفرانسیل حرکت

بنابراین، اگر از این روابط استفاده کنیم، قانون دوم نیوتن برای حرکت این بخش کوچک از میله تبدیل به

با قرار دادن این به شکل استاندارد، با مشتق دوم SPATIAL در سمت چپ و دومین مشتق TEMPORAL در سمت راست، با معادله موج برای امواج طولی که از یک میله بلند و نازک حرکت می کنند، پایان می دهیم. به یاد داشته باشید، z به عنوان جابجایی قطعه کوچکی از میله از موقعیت تعادل آن تعریف می شود. به موازات جهت x اجرا می شود .

 س: سرعت این امواج چقدر است؟

بله، سرعت امواج توسط داده می شود

حالت های معمولی میله ای که در یک انتها بسته شده است

همانطور که ممکن است حدس بزنید، حالت های خاص خاصی وجود دارد - حالت های معمولی - ارتعاش که در آن تمام قسمت های میله با فرکانس یکسان ω نوسان می کنند . فرکانس های مربوط به این حالت ها چیست؟

در این مورد، ساده ترین راه برای یافتن آنها این است که از ریاضیات صرف نظر کنید و به وضعیت فیزیکی نگاه کنید. فرض کنید که یک سر میله را با گیره محکم می کنیم، آن را کاملاً ثابت نگه می داریم و از لرزش آن جلوگیری می کنیم. مواد در سرتاسر بقیه میله ممکن است ارتعاش کنند، و مواد در انتهای سمت راست میله نیز آزاد است که ارتعاش کنند.

در این حالت، هر نوسانی باید دامنه صفر در انتهای سمت چپ میله (گیره دار) و حداکثر دامنه در انتهای سمت راست (بدون گیره) میله داشته باشد. پایین‌ترین حالت نرمال، با نام مستعار حالت اساسی، باید دامنه‌ای داشته باشد که شبیه به این باشد. در شکل زیر، موقعیت عمودی خط سبز به دور از نقطه وسط میله نشان دهنده دامنه حرکات افقی است . بله، تلاش برای ترسیم ارتعاشات طولی ناخوشایند است.

 س: طول موج حالت n=1 چقدر است ؟

پاسخ من

در حالت n=2 ، دامنه در هر انتها یکسان است -- صفر در چپ، حداکثر در راست -- اما اکنون یک گره اضافی در بین آن وجود دارد.

 س: طول موج حالت n=2 چقدر است ؟

پاسخ من

در حالت n=3 یک گره دیگر در وسط وجود دارد.

 س: طول موج حالت n=3 چقدر است ؟

پاسخ من

 س: آیا می توانید معادله ای برای طول موج آن استخراج کنید؟ حالت عادی؟ س: آیا می توانید معادله ای برای فرکانس بدست آورید؟ حالت عادی؟

شما باید در نهایت با

و

حالت های معمولی از یک میله گیره در وسط

این بار، اجازه دهید میله را در وسط آن نگه داریم، نه در یک انتها. حال، دامنه نوسان باید در مرکز میله صفر باشد، اما در هر دو انتها باید حداکثر باشد.

این بدان معنی است که حالت اساسی ارتعاش به نظر می رسد:

 س: طول موج حالت n=1 چقدر است ؟

پاسخ من

در حالت n=2 ، دامنه در هر انتها یکسان است -- صفر در چپ، حداکثر در راست -- اما اکنون یک گره اضافی بین هر انتها و وسط وجود دارد.

 س: طول موج حالت n=2 چقدر است ؟

پاسخ من

در حالت n=3 به هر نیمه میله گره دیگری اضافه می کنیم.

 س: طول موج حالت n=3 چقدر است ؟

پاسخ من

 س: آیا می توانید معادله ای برای طول موج آن استخراج کنید؟ حالت عادی؟ س: آیا می توانید معادله ای برای فرکانس بدست آورید؟ حالت عادی؟

شما باید در نهایت با

و

مثال: میله را حلقه کنید

من در کلاس یک میله بلند و نازک از آلومینیوم دارم. خواص این میله عبارتند از:

 طول L = 91.1 سانتی متر چگالی ρ = 2700 kg/m^3 مدول یانگ Y = 69 x 10 9 N/m^2

آیا می توانید پاسخ سوالات زیر را بیابید؟

 س: سرعت امواجی که از میله عبور می کنند چقدر است؟ س: اگر میله را در وسط نگه دارم و آن را حلقه کنم، چه فرکانس صدا را خواهیم شنید؟ س: اگر میله را در 1/4 فاصله از سمت چپ نگه دارم به سمت راست، و زنگ آن، چه فرکانس صدا را خواهیم شنید؟ س: اگر میله را در 1/3 فاصله از سمت چپ نگه دارم به سمت راست، و زنگ آن، چه فرکانس صدا را خواهیم شنید؟

منبع

http://spiff.rit.edu/classes/phys283/lectures/long/long.html