5-معادله دیراک

آخرین مطالب

امکانات وب

5-معادله دیراک

تقارن محوری [ ویرایش ]

فرمیونهای دیراک بدون جرم ، یعنی $psi (x)$ ارضای معادله دیراک با $m=0$ ، اعتراف به دوم، نامتعادل ${displaystyle {text{U}}(1)}$ تقارن

این امر با نوشتن فرمیون چهار جزئی دیراک به راحتی قابل مشاهده است $psi (x)$ به عنوان یک جفت فیلد برداری دو جزئی،

${displaystyle psi (x)={begin{pmatrix}psi _{1}(x)psi _{2}(x)end{pmatrix}}،}$ و اتخاذ نمایش کایرال برای ماتریس های گاما، به طوری که ${displaystyle igamma ^{mu }partial _{mu }}$ ممکن است نوشته شود

${displaystyle igamma ^{mu }partial _{mu }={begin{pmatrix}0&isigma ^{mu }partial _{mu }i{bar {sigma } }^{mu }جزئی _{mu } &0end{pmatrix}}}$ جایی که $sigma ^{mu }$ دارای اجزاء ${displaystyle (I_{2}،sigma ^{i})}$ و ${displaystyle {bar {sigma }}^{mu }}$ دارای اجزاء ${displaystyle (I_{2},-sigma ^{i})}$ .

سپس اکشن دیراک شکل می گیرد

${displaystyle S=int d^{4}x,psi _{1}^{dagger }(isigma ^{mu }partial _{mu })psi _{1}+ psi _{2}^{ خنجر }(i{bar {sigma }}^{mu }partial _{mu })psi _{2}.}$ یعنی به نظریه دو اسپینور ویل یا فرمیون ویل جدا می شود.

تقارن برداری قبلی هنوز وجود دارد، جایی که $psi _{1}$ و2 $psi _{2}$ به طور یکسان بچرخد این شکل از عمل، دوم را بی‌معادل می‌کند ${displaystyle {text{U}}(1)}$ آشکار تقارن:

${displaystyle {begin{aligned}psi _{1}(x)&mapsto e^{ibeta }psi _{1}(x)،psi _{2}(x)& mapsto e^{-ibeta }psi _{2}(x).end{تراز شده}}}$ این را می توان در سطح فرمیون دیراک نیز بیان کرد

${displaystyle psi (x)mapsto exp(ibeta gamma ^{5})psi (x)}$

جایی که $Exp$ نقشه نمایی برای ماتریس ها است.

این تنها نیست ${displaystyle {text{U}}(1)}$ تقارن ممکن است، اما متعارف است. هر "ترکیب خطی" تقارن بردار و محوری نیز a است ${displaystyle {text{U}}(1)}$ تقارن

به طور کلاسیک، تقارن محوری یک نظریه گیج به خوبی فرمول بندی شده را می پذیرد. اما در سطح کوانتومی، یک ناهنجاری وجود دارد ، یعنی مانعی برای سنجش.

بسط تقارن رنگ [ ویرایش ]

همچنین ببینید: کرومودینامیک کوانتومی

ما می توانیم این بحث را از یک آبلی بسط دهیم ${displaystyle {text{U}}(1)}$ تقارن به یک تقارن غیر آبلی عمومی تحت یک گروه سنج جی $جی$ ، گروه تقارن رنگ برای یک نظریه.

برای بتن ریزی، رفع می کنیمجی= ${displaystyle G={text{SU}}(N)}$ ، گروه واحد ویژه ای از ماتریس ها عمل می کنندسین ${mathbb {C}}^{N}$ .

قبل از این بخش، $psi (x)$ می تواند به عنوان یک میدان اسپینور در فضای مینکوفسکی، به عبارت دیگر یک تابع در نظر گرفته شود: ${displaystyle psi :mathbb {R} ^{1,3}mapsto mathbb {C} ^{4}}$ ، و اجزای آن در ${displaystyle mathbb {C} ^{4}}$ با شاخص‌های اسپین برچسب‌گذاری می‌شوند، شاخص‌های مرسوم یونانی که از ابتدای الفبا گرفته شده‌اند.،،⋯ ${displaystyle alpha,beta,gamma,cdots }$ .

ترویج این نظریه به نظریه گیج، به صورت غیررسمی $psi$ تبدیل بخشی مانند ${mathbb {C}}^{N}$ و اینها با شاخص های رنگی، که معمولاً شاخص های لاتین هستند، برچسب گذاری می شوند ${displaystyle i,j,k,cdots }$ . در مجموع، $psi (x)$ دارد $4N$ مولفه ها، در شاخص های ارائه شده توسط، ${displaystyle psi ^{i,alpha }(x)}$ . اسپینور فقط چگونگی تبدیل میدان را تحت تبدیل فضازمان نشان می دهد.

به طور رسمی، $psi (x)$ در یک ضرب تانسور ارزش گذاری می شود، یعنی یک تابع است:⊗سین. ${displaystyle psi :mathbb {R} ^{1,3}to mathbb {C} ^{4}otimes mathbb {C} ^{N}.}$

سنجش مشابه آبلیان انجام می شود ${displaystyle {text{U}}(1)}$ مورد، با چند تفاوت تحت یک تغییر سنج:→، ${displaystyle U:mathbb {R} ^{1,3}right arrow {text{SU}}(N)}$ فیلدهای اسپینور به صورت تبدیل می شوند

${displaystyle psi (x)mapsto U(x)psi (x)}$

${displaystyle {bar {psi }}(x)mapsto {bar {psi }}(x)U^{dagger }(x).}$ فیلد گیج با ارزش ماتریس $A_{mu }$ یا ${displaystyle {text{SU}}(N)}$ اتصال به عنوان تبدیل می شود

${displaystyle A_{mu }(x)mapsto U(x)A_{mu }(x)U(x)^{-1}+{frac {1}{g}}(partial _{ mu }U(x))U(x)^{-1}،}$

و مشتقات کوواریانت تعریف شده

${displaystyle D_{mu }psi =جزئی _{mu }psi +igA_{mu }psi ,}$

${displaystyle D_{mu }{bar {psi }}=partial _{mu }{bar {psi }}-ig{bar {psi }}A_{mu }^{ خنجر }}$ تبدیل به عنوان

${displaystyle D_{mu }psi (x)mapsto U(x)D_{mu }psi (x)}$

${displaystyle D_{mu }{bar {psi }}(x)mapsto (D_{mu }{bar {psi }}(x))U(x)^{dagger }.}$

نوشتن یک کنش ناتغییر سنج دقیقاً مانند آن پیش می رود ${displaystyle {text{U}}(1)}$ مورد، جایگزینی ماکسول لاگرانژی با لاگرانژی یانگ میلز

${displaystyle S_{text{YM}}=int d^{4}x,-{frac {1}{4}}{text{Tr}}(F^{mu nu }F_ {mu nu })}$

که در اینجا قدرت یا انحنای میدان Yang-Mills به صورت تعریف شده است

${displaystyle F_{mu nu }=partial _{mu }A_{nu }-partial _{nu }A_{mu }-igleft[A_{mu },A_{ nu }راست]}$ و $[cdot،cdot]$ کموتاتور ماتریسی است.

عمل پس از آن است

عمل QCD

${displaystyle S_{text{QCD}}=int d^{4}x,-{frac {1}{4}}{text{Tr}}(F^{mu nu }F_ {mu nu })+{bar {psi }},(iD!!!!{big /}-m),psi }$

کاربردهای فیزیکی [ ویرایش ]

برای کاربردهای فیزیکی، موردن=3 $N=3$ بخش کوارکی مدل استاندارد را توصیف می کند که برهمکنش های قوی را مدل می کند . کوارک ها به عنوان اسپینور دیراک مدل می شوند. میدان گیج میدان گلوئون است . موردن=2 $N=2$ بخشی از بخش الکتروضعیف مدل استاندارد را توصیف می کند. لپتون‌ها مانند الکترون‌ها و نوترینوها اسپینورهای دیراک هستند. میدان سنج استدبلیو $دبلیو$ بوزون گیج

کلیات [ ویرایش ]

این عبارت را می توان به گروه Lie دلخواه تعمیم داد $جی$ با اتصال $A_{mu }$ و یک نمایندگی ${displaystyle (rho,G,V)}$ ، جایی که قسمت رنگ از $psi$ در ارزش گذاری شده است $V$ . به طور رسمی، فیلد دیراک یک تابع است:⊗. ${displaystyle psi :mathbb {R} ^{1,3}to mathbb {C} ^{4}otimes V.}$

سپس $psi$ تحت یک تبدیل سنج تبدیل می شود:→جی ${displaystyle g:mathbb {R} ^{1,3}to G}$ مانند

${displaystyle psi (x)mapsto rho (g(x))psi (x)}$ و مشتق کوواریانت تعریف شده است

${displaystyle D_{mu }psi =جزئی _{mu }psi +rho (A_{mu })psi }$ که در اینجا ما مشاهده می کنیم $rho$ به عنوان یک نمایش جبر لی از جبر لی ${displaystyle {mathfrak {g}}={text{L}}(G)}$ مرتبط به $جی$ .

این نظریه را می توان به فضا-زمان منحنی تعمیم داد، اما نکات ظریفی وجود دارد که در نظریه گیج در یک فضازمان کلی (یا به طور کلی ثابت تر، یک منیفولد) بوجود می آید که در فضای زمان مسطح، می توان نادیده گرفت. این در نهایت به دلیل انقباض پذیری فضازمان مسطح است که به ما امکان می دهد یک میدان سنج و تبدیلات سنج را همانطور که در سطح جهانی در تعریف شده است مشاهده کنیم. ${displaystyle mathbb {R} ^{1،3}}$ .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

مقالات معادله دیراک [ ویرایش ]

میدان دیراک
دیراک اسپینور
تجزیه گوردون
پارادوکس کلاین
معادله غیر خطی دیراک

معادلات دیگر [ ویرایش ]

معادله بریت
معادله دیراک – کاهلر
معادله کلاین-گوردون
معادله راریتا – شوینگر
معادلات دیراک دو جسمی
معادله ویل
معادله مایورانا

سایر موضوعات [ ویرایش ]

میدان فرمیونی
شطرنجی فاینمن
تبدیل Foldy-Wouthuysen
الکترودینامیک کوانتومی
کرومودینامیک کوانتومی

https://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_equation

ریاضیات...

ما را در سایت ریاضیات دنبال می کنید

برچسب : نویسنده : 9math1342d بازدید : 46 تاريخ : شنبه 20 آبان 1402 ساعت: 18:09

5-معادله دیراک

آخرین مطالب

امکانات وب