4-معادله دیراک

آخرین مطالب

امکانات وب

4-معادله دیراک

${displaystyle S=int d^{4}x,{bar {psi }},(ipartial !!!{big /}-m),psi }$

برای این عمل، جریان ذخیره شده $J^{mu }$ در بالا به عنوان جریان حفظ شده مربوط به جهانی ایجاد می شود ${displaystyle {text{U}}(1)}$ تقارن از طریق قضیه نوتر برای نظریه میدان. سنجش این تئوری میدان با تغییر تقارن به محلی و وابسته به نقطه فضازمان، تقارن سنج را به دست می‌دهد (در واقع، افزونگی گیج). نظریه حاصل الکترودینامیک کوانتومی یا QED است. برای بحث مفصل تر به زیر مراجعه کنید.

تغییر ناپذیری لورنتس [ ویرایش ]

معادله دیراک تحت تبدیل های لورنتس، یعنی تحت عمل گروه لورنتس، ثابت است.بنابراین ${displaystyle {text{SO}}(1،3)}$ یا به شدت بنابراین ${displaystyle {text{SO}}(1،3)^{+}}$ ، جزء متصل به هویت.

برای اسپینور دیراک به طور ملموس به عنوان دریافت ارزش در نظر گرفته می شود ${displaystyle mathbb {C} ^{4}}$ ، تبدیل تحت یک تبدیل لورنتس $لامبدا$ توسط a داده می شود $4 بار 4$ ماتریس مختلط ${displaystyle S[Lambda ]}$ . ظرافت هایی در تعریف متناظر وجود دارد ${displaystyle S[Lambda ]}$ ، و همچنین یک سوء استفاده استاندارد از علامت گذاری.

بیشتر درمان ها در سطح جبر لی انجام می شود . برای درمان دقیق تر اینجا را ببینید . گروه لورنتس از $4 برابر 4$ ماتریس های واقعی بر روی ${displaystyle mathbb {R} ^{1،3}}$ توسط مجموعه ای از شش ماتریس تولید می شود ${displaystyle {M^{mu nu }}}$ با اجزای

${displaystyle (M^{mu nu })^{rho }{}_{sigma }=eta ^{mu rho }delta ^{nu }{}_{sigma }- eta ^{nu rho }delta ^{mu }{}_{sigma }.}$ زمانی که هر دو ${displaystyle rho,sigma }$ شاخص‌ها افزایش یا کاهش می‌یابند، اینها به سادگی مبنای استاندارد ماتریس‌های ضد متقارن هستند.

اینها روابط کموتاسیون جبر لورنتس را برآورده می کنند

${displaystyle [M^{mu nu },M^{rho sigma }]=M^{mu sigma }eta ^{nu rho }-M^{nu sigma } eta ^{mu rho }+M^{nu rho }eta ^{mu sigma }-M^{mu rho }eta ^{nu sigma }.}$ در مقاله جبر دیراک ، همچنین مشخص شده است که مولدهای چرخشی

${displaystyle S^{mu nu }={frac {1}{4}}[gamma ^{mu },gamma ^{nu }]}$ روابط کموتاسیون جبر لورنتس را برآورده می کند.

تحول لورنتس $لامبدا$ را می توان به صورت نوشت

${displaystyle Lambda =exp left({frac {1}{2}}omega _{mu nu }M^{mu nu }right)}$ جایی که اجزاء $omega_{munu}$ ضد متقارن هستند ${displaystyle mu,nu}$ .

تبدیل متناظر در فضای اسپین است

${displaystyle S[Lambda ]=exp left({frac {1}{2}}omega _{mu nu }S^{mu nu }right).}$ این یک سوء استفاده از علامت گذاری است، اما یک مورد استاندارد. دلیلش این هست که ${displaystyle S[Lambda ]}$ یک تابع به خوبی تعریف شده از $لامبدا$ ، از آنجایی که دو مجموعه متفاوت از اجزا وجود دارد $omega_{munu}$ (تا معادل) که همان را می دهند $لامبدا$ اما متفاوت ${displaystyle S[Lambda ]}$ . در عمل ما به طور ضمنی یکی از این موارد را انتخاب می کنیم $omega_{munu}$ و سپس ${displaystyle S[Lambda ]}$ به خوبی از نظر تعریف شده است. ${displaystyle omega _{mu nu }.}$

تحت یک تبدیل لورنتس، معادله دیراک

${displaystyle igamma ^{mu }partial _{mu }psi (x)-mpsi (x)}$ تبدیل می شود

${displaystyle igamma ^{mu }((Lambda ^{-1})_{mu }{}^{nu }partial _{nu })S[Lambda ]psi ( Lambda ^{-1}x)-mS[Lambda ]psi (Lambda ^{-1}x)=0.}$

باقیمانده اثبات عدم تغییر لورنتز

ضرب هر دو طرف از چپ دراس-1 ${displaystyle S^{-1}[Lambda ]}$ و برگرداندن متغیر ساختگی به $ایکس$ می دهد

${displaystyle iS[Lambda ]^{-1}gamma ^{mu }S[Lambda ]((Lambda ^{-1})_{mu }{}^{nu }partial _ {nu })psi (x)-mpsi (x)=0.}$ اگر تغییر ناپذیری را نشان خواهیم داد

${displaystyle S[Lambda ]^{-1}gamma ^{mu }S[Lambda ](Lambda ^{-1})^{nu }{}_{mu }=gamma ^ {nu }}$ یا معادل آن

${displaystyle S[Lambda ]^{-1}gamma ^{mu }S[Lambda ]=Lambda ^{mu }{}_{nu }gamma ^{nu }.}$ این به راحتی در سطح جبر نشان داده می شود. فرض کنیم تبدیل ها با مولفه های بی نهایت کوچک پارامتر شده اند $omega_{munu}$ ، سپس در ابتدا سفارش دهید $امگا$ ، در سمت چپ ما دریافت می کنیم

${displaystyle {frac {1}{2}}omega _{rho sigma }(M^{rho sigma })^{mu }{}_{nu }gamma ^{nu }}$ در حالی که در سمت راست ما دریافت می کنیم

${displaystyle left[{frac {1}{2}}omega _{rho sigma }S^{rho sigma },gamma ^{mu }right]={frac {1 {2}}omega _{rho sigma }left[S^{rho sigma },gamma ^{mu }right]}$ این یک تمرین استاندارد برای ارزیابی کموتاتور در سمت چپ است. نوشتنم ${displaystyle M^{rho sigma }}$ از نظر اجزاء اثبات را کامل می کند.

مرتبط با تغییر ناپذیری لورنتس، یک جریان نوتر حفظ شده، یا بهتر است بگوییم تانسوری از جریان های نوتر حفظ شده است. ${displaystyle ({mathcal {J}}^{rho sigma })^{mu }}$ . به طور مشابه، از آنجایی که معادله تحت ترجمه ها ثابت است، یک تانسور از جریان های نوتر حفظ شده وجود دارد. $T^{munu}$ ، که می توان آن را به عنوان تانسور تنش-انرژی نظریه شناسایی کرد. جریان لورنتس ${displaystyle ({mathcal {J}}^{rho sigma })^{mu }}$ را می توان بر حسب تانسور تنش-انرژی علاوه بر تانسوری که نشان دهنده تکانه زاویه ای داخلی است، نوشت.

تحولات تاریخی و جزئیات بیشتر ریاضی [ ویرایش ]

معادله دیراک نیز (از لحاظ تاریخی) برای تعریف یک نظریه مکانیک کوانتومی استفاده شد که در آن $psi (x)$ در عوض به عنوان یک تابع موج تفسیر می شود .

معادله دیراک به شکلی که در ابتدا توسط دیراک پیشنهاد شده است عبارت است از: [5]

${displaystyle left(beta mc^{2}+csum _{n=1}^{3}alpha _{n}p_{n}right)psi (x,t)=i hbar {frac {partial psi (x,t)}{partial t}}}$ که ψ ( x , t ) تابع موج برای الکترون با جرم سکون m با مختصات فضازمان x , t است . p 1 , p 2 , p 3 اجزای تکانه هستند که عملگر تکانه در معادله شرودینگر است . همچنین c سرعت نور و ħ ثابت پلانک کاهش یافته است . این ثابت های فیزیکی بنیادی به ترتیب نسبیت خاص و مکانیک کوانتومی را منعکس می کنند.

هدف دیراک از ریخته‌گری این معادله توضیح رفتار الکترون متحرک نسبیتی بود و بنابراین اجازه می‌داد تا اتم به روشی مطابق با نسبیت رفتار شود. او نسبتاً امیدوار بود که اصلاحات ارائه شده به این روش ممکن است بر مشکل طیف اتمی تأثیر بگذارد .

تا آن زمان، تلاش‌ها برای سازگار ساختن نظریه کوانتومی قدیمی اتم با نظریه نسبیت، که مبتنی بر گسسته‌سازی تکانه زاویه‌ای ذخیره شده در مدار احتمالاً غیر دایره‌ای الکترون هسته اتم بود، شکست خورده بود - و نظریه جدید. مکانیک کوانتومی هایزنبرگ ، پائولی ، جردن ، شرودینگر ، و خود دیراک به اندازه کافی برای درمان این مشکل توسعه نیافته بود. اگرچه مقاصد اولیه دیراک برآورده شد، معادله او پیامدهای عمیق تری برای ساختار ماده داشت و طبقات ریاضی جدیدی از اجرام را معرفی کرد که اکنون عناصر اساسی فیزیک بنیادی هستند.

عناصر جدید در این معادله چهار ماتریس 4 4 α 1 ، α 2 ، α 3 و β و تابع موج چهار جزء ψ هستند . چهار جزء در ψ وجود دارد زیرا ارزیابی آن در هر نقطه از فضای پیکربندی یک bispinor است . این به عنوان برهم نهی یک الکترون اسپین بالا ، یک الکترون اسپین به پایین، یک پوزیترون اسپین بالا و یک پوزیترون اسپین به پایین تفسیر می شود.

ماتریس های αk و β همگی هرمیتی هستند و غیر ارادی هستند :

${displaystyle alpha _{i}^{2}=beta ^{2}=I_{4}}$ و همه آنها متقابلاً ضد رفت و آمد هستند :

من=0(من≠) =0

${displaystyle {begin{aligned}alpha _{i}alpha _{j}+alpha _{j}alpha _{i}&=0quad (ineq j)alpha _ {i}beta +beta alpha _{i}&=0end{تراز شده}}}$

این ماتریس ها و شکل تابع موج دارای اهمیت ریاضی عمیقی هستند. ساختار جبری نشان داده شده توسط ماتریس های گاما حدود 50 سال قبل توسط ریاضیدان انگلیسی WK Clifford ایجاد شده بود . به نوبه خود، ایده های کلیفورد از کار ریاضیدان آلمانی هرمان گراسمان در اواسط قرن نوزدهم در خطی Ausdehnungslehre ( نظریه امتدادهای خطی ) ظهور کرده بود. مورد دوم توسط اکثر معاصرانش تقریباً غیرقابل درک تلقی می شد. ظهور چیزی به ظاهر انتزاعی، در چنین تاریخی دیرهنگام، و به شیوه ای مستقیم فیزیکی، یکی از قابل توجه ترین فصل های تاریخ فیزیک است. [ نیاز به نقل قول ] (حتی بیشتر از آن، اعتبارسنجی بینش نفیس نشان داده شده توسط ریاضیدانان گراسمن و کلیفورد.)

بنابراین، معادله نمادین منفرد به چهار معادله دیفرانسیل جزئی مرتبه اول خطی جفت شده برای چهار کمیتی که تابع موج را تشکیل می دهند، باز می شود. معادله را می توان به طور واضح تر در واحدهای پلانک نوشت : [6]

${displaystyle ipartial _{x}{begin{bmatrix}-psi _{4}-psi _{3}-psi _{2}-psi _{1} end{bmatrix}}+partial _{y}{begin{bmatrix}-psi _{4}+psi _{3}-psi _{2}+psi _ {1}end{bmatrix}}+ipartial _{z}{begin{bmatrix}-psi _{3}+psi _{4}-psi _{1} +psi _{2}end{bmatrix}}+m{begin{bmatrix}+psi _{1}+psi _{2}-psi _{3}- psi _{4}end{bmatrix}}=ipartial _{t}{begin{bmatrix}psi _{1}psi _{2}psi _{3} psi _{4}end{bmatrix}}}$ که مشخص می کند که مجموعه ای از چهار معادله دیفرانسیل جزئی با چهار تابع مجهول است.

معادله دیراک

${displaystyle (ihbar gamma ^{mu }partial _{mu }-mc)psi =0}$

که در آن یک جمع ضمنی بر روی مقادیر شاخص دو بار تکرار شده μ = 0، 1، 2، 3 وجود دارد و ∂ μ گرادیان 4 است. در عمل اغلب ماتریس های گاما را بر حسب ماتریس های 22 فرعی برگرفته از ماتریس های پائولی و ماتریس هویت 22 می نویسند . صراحتاً نمایندگی استاندارد است

${displaystyle gamma ^{0}={begin{pmatrix}I_{2}&0�&-I_{2}end{pmatrix}},quad gamma ^{1}={begin{pmatrix }0&sigma _{x}-sigma _{x}&0end{pmatrix}},quad gamma ^{2}={begin{pmatrix}0&sigma _{y}- sigma _{y}&0end{pmatrix}}،quad gamma ^{3}={begin{pmatrix}0&sigma _{z}-sigma _{z}&0end{pmatrix }}.}$

سیستم کامل با استفاده از متریک مینکوفسکی در فضازمان در فرم خلاصه شده است

${displaystyle left{gamma ^{mu },gamma ^{nu }right}=2eta ^{mu nu }I_{4}}$ جایی که عبارت براکت

${displaystyle {a,b}=ab+ba}$ نشان دهنده ضد جابجایی است . اینها روابط تعیین کننده یک جبر کلیفورد بر روی یک فضای 4 بعدی متعامد شبه با امضای متریک ( - - - -) هستند . جبر خاص کلیفورد که در معادله دیراک استفاده می شود امروزه به نام جبر دیراک شناخته می شود . اگر چه دیراک در زمان فرمول‌بندی معادله آن را به عنوان چنین تشخیص نمی‌دهد، با نگاهی به گذشته، معرفی این جبر هندسی نشان‌دهنده یک گام بزرگ رو به جلو در توسعه نظریه کوانتومی است.

معادله دیراک اکنون ممکن است به عنوان یک معادله مقدار ویژه تفسیر شود ، که در آن جرم سکون متناسب با مقدار ویژه عملگر 4 تکانه است ، ثابت تناسب سرعت نور است:

${displaystyle P_{text{op}}psi =mcpsi ,.}$

استفاده كردن ${displaystyle {partial !!!/}mathrel {stackrel {mathrm {def} }{=}} gamma ^{mu }partial _{mu }}$ (∂/ ${جزئی !!!{بزرگ /}}$ "d-slash" تلفظ می شود)، [7] با توجه به علامت اسلش فاینمن، معادله دیراک به صورت زیر در می آید:

${displaystyle ihbar {partial !!!{big /}}psi -mcpsi =0,.}$

در عمل، فیزیکدانان اغلب از واحدهای اندازه گیری استفاده می کنند به طوری که ħ = c = 1 که به عنوان واحدهای طبیعی شناخته می شود . سپس معادله به شکل ساده در می آید

معادله دیراک (واحدهای طبیعی)

${displaystyle (i{partial !!!{big /}-m)psi =0}$

یک قضیه اساسی بیان می کند که اگر دو مجموعه مجزا از ماتریس ها داده شود که هر دو روابط کلیفورد را برآورده می کنند، آنگاه آنها با یک تبدیل تشابه به یکدیگر متصل می شوند :

${displaystyle gamma ^{mu prime }=S^{-1}gamma ^{mu }S,.}$

اگر علاوه بر این، ماتریس ها همگی واحد باشند ، همانطور که مجموعه دیراک هم هستند، S خود واحد است .

${displaystyle gamma ^{mu prime }=U^{dagger }gamma ^{mu }U,.}$

تبدیل U تا یک ضریب ضربی قدر مطلق 1 منحصر به فرد است. اجازه دهید اکنون یک تبدیل لورنتس را تصور کنیم که بر روی مختصات مکان و زمان، و بر روی عملگرهای مشتق، که یک بردار کوواریانت را تشکیل می‌دهند، انجام شده است. برای اینکه عملگر γ μ∂ μ ثابت بماند، گاماها باید با توجه به شاخص فضازمان خود به عنوان یک بردار متناقض در بین خود تبدیل شوند . این گامای جدید به دلیل متعامد بودن تبدیل لورنتس، خود روابط کلیفورد را برآورده خواهند کرد. بر اساس قضیه بنیادی، می توان مجموعه جدید را با مجموعه قدیمی که تحت یک تبدیل واحد قرار دارد جایگزین کرد. در فریم جدید، با یادآوری اینکه جرم سکون یک اسکالر نسبیتی است، معادله دیراک شکل خواهد گرفت.

${displaystyle {begin{aligned}left(iU^{dagger }gamma ^{mu }Upartial _{mu }^{prime }-mright)psi left(x^ {prime },t^{prime }right)&=0U^{dagger }(igamma ^{mu }partial _{mu }^{prime }-m)U psi left(x^{prime },t^{prime }right)&=0,.end{aligned}}}$

اگر اسپینور تبدیل شده به صورت تعریف شده باشد

${displaystyle psi ^{prime }=Upsi }$ سپس معادله دیراک تبدیل شده به روشی تولید می شود که عدم تغییر نسبیتی آشکار را نشان می دهد :

${displaystyle left(igamma ^{mu }partial _{mu }^{prime }-mright)psi ^{prime }left(x^{prime },t^ {prime }right)=0,.}$

بنابراین، تعیین هر نمایش واحدی از گاما نهایی است، مشروط بر اینکه اسپینور مطابق تبدیل واحدی که با تبدیل لورنتز مطابقت دارد، تبدیل شود.

نمایش های مختلف ماتریس های دیراک به کار گرفته شده، جنبه های خاصی از محتوای فیزیکی در تابع موج دیراک را مورد توجه قرار می دهد. نمایشی که در اینجا نشان داده شده است به عنوان نمایش استاندارد شناخته می شود - در آن، دو جزء بالایی تابع موج به تابع موج اسپینور 2 پائولی در حد انرژی های کم و سرعت های کوچک در مقایسه با نور می روند.

ملاحظات بالا منشأ گاماها را در هندسه نشان می‌دهد و به انگیزه اصلی گراسمن گوش می‌دهد. آنها یک مبنای ثابت از بردارهای واحد در فضازمان را نشان می دهند. به طور مشابه، محصولات گاما مانند γ μ γ ν نشان دهنده عناصر سطح جهت دار و غیره هستند. با در نظر گرفتن این موضوع، می توان شکل عنصر حجم واحد را در فضازمان بر حسب گاما به صورت زیر یافت. طبق تعریف، اینطور است

${displaystyle V={frac {1}{4!}}epsilon _{mu nu alpha beta }gamma ^{mu }gamma ^{nu }gamma ^{alpha } گاما ^{بتا }.}$

برای اینکه این یک تغییر ناپذیر باشد، نماد اپسیلون باید یک تانسور باشد ، و بنابراین باید دارای ضریب √ g باشد ، جایی که g تعیین کننده تانسور متریک است . از آنجایی که این منفی است، آن عامل موهومی است . بدین ترتیب

${displaystyle V=igamma ^{0}gamma ^{1}gamma ^{2}gamma ^{3}.}$

به این ماتریس به دلیل اهمیت آن در هنگام در نظر گرفتن تبدیل‌های نامناسب فضا-زمان، یعنی آنهایی که جهت بردارهای پایه را تغییر می‌دهند، نماد ویژه γ5 داده می‌شود. در نمایندگی استاندارد، این است

${displaystyle gamma _{5}={begin{pmatrix}0&I_{2}I_{2}&0end{pmatrix}}.}$

این ماتریس همچنین برای مقابله با چهار ماتریس Dirac دیگر پیدا می شود:

5 5=0

${displaystyle gamma ^{5}gamma ^{mu }+gamma ^{mu }gamma ^{5}=0}$

هنگامی که سؤالات برابری مطرح می شود ، نقش اصلی را ایفا می کند زیرا عنصر حجم به عنوان یک قدر جهت دار علامت را تحت بازتاب فضا-زمان تغییر می دهد. بنابراین، گرفتن جذر مثبت در بالا به معنای انتخاب یک قرارداد دستی در فضازمان است.

مقایسه با نظریه های مرتبط [ ویرایش ]

نظریه پائولی [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: معادله پائولی

ضرورت معرفی اسپین نیمه صحیح به صورت تجربی به نتایج آزمایش استرن-گرلاخ برمی گردد . پرتویی از اتم ها از طریق یک میدان مغناطیسی ناهمگن قوی عبور می کند ، که سپس بسته به تکانه زاویه ای ذاتی اتم ها به N قسمت تقسیم می شود. مشخص شد که برای اتم های نقره ، پرتو به دو قسمت تقسیم شده است. بنابراین حالت پایه نمی تواند عدد صحیح باشد ، زیرا حتی اگر تکانه زاویه ای ذاتی اتم ها تا حد ممکن کوچک باشد، 1، پرتو به سه قسمت تقسیم می شود که مربوط به اتم هایی با L z = -1، 0، 1 است. . نتیجه این است که اتم های نقره دارای تکانه زاویه ای خالص 1/2 هستند . پائولی نظریه ای را ارائه کرد که این تقسیم را با معرفی یک تابع موج دو جزئی و یک عبارت تصحیح متناظر در همیلتونی توضیح داد که نشان دهنده یک جفت نیمه کلاسیک این تابع موج با یک میدان مغناطیسی کاربردی است، همانطور که در واحدهای SI نیز وجود دارد : (توجه داشته باشید. که کاراکترهای پررنگ دلالت بر بردارهای اقلیدسی در 3 بعد دارند ، در حالی که مینکوفسکی چهار بردار A μ را می توان به صورت تعریف کرد. ${displaystyle A_{mu }=(phi /c,-mathbf {A} )}$ .)

${displaystyle H={frac {1}{2m}}left({boldsymbol {sigma }}cdot left(mathbf {p} -emathbf {A} right)right)^ {2}+ephi ~.}$

در اینجا A و $phi$ مؤلفه های چهار پتانسیل الکترومغناطیسی را در واحدهای SI استاندارد خود نشان می دهند و سه سیگما ماتریس های پائولی هستند . با مربع کردن عبارت اول، یک برهمکنش باقیمانده با میدان مغناطیسی، همراه با همیلتونین کلاسیک معمول یک ذره باردار که با یک میدان اعمال شده در واحدهای SI برهمکنش می‌کند، پیدا می‌شود :

${displaystyle H={frac {1}{2m}}left(mathbf {p} -emathbf {A} right)^{2}+ephi -{frac {ehbar } {2m}}{boldsymbol {sigma }}cdot mathbf {B} ~.}$

این همیلتونی اکنون یک ماتریس 22 است ، بنابراین معادله شرودینگر بر اساس آن باید از یک تابع موج دو جزئی استفاده کند. با وارد کردن پتانسیل 4 بردار الکترومغناطیسی خارجی در معادله دیراک به روشی مشابه که به عنوان جفت حداقل شناخته می شود ، به شکل زیر در می آید:

${displaystyle left(gamma ^{mu }(ihbar partial _{mu }-eA_{mu })-mcright)psi =0~.}$

کاربرد دوم عملگر دیراک اکنون عبارت پائولی را دقیقاً مانند قبل بازتولید می‌کند، زیرا ماتریس‌های دیراک فضایی ضرب شده در i ، همان ویژگی‌های مربع‌سازی و جابجایی ماتریس‌های پائولی را دارند. علاوه بر این، ارزش نسبت ژیرو مغناطیسی الکترون که در مقابل اصطلاح جدید پائولی قرار دارد، از اصول اولیه توضیح داده شده است. این یک دستاورد بزرگ معادله دیراک بود و به فیزیکدانان ایمان زیادی به صحت کلی آن داد. با این حال بیشتر وجود دارد. نظریه پائولی را می توان به عنوان حد انرژی پایین نظریه دیراک به شکل زیر در نظر گرفت. ابتدا معادله به شکل معادلات جفت شده برای 2 اسپینور با واحدهای SI بازیابی شده نوشته می شود:

${displaystyle {begin{pmatrix}mc^{2}-E+ephi &c{boldsymbol {sigma }}cdot left(mathbf {p} -emathbf {A} right) -c{boldsymbol {sigma }}cdot left(mathbf {p} -emathbf {A} right)&mc^{2}+Eephi end{pmatrix}}{begin{ pmatrix}psi _{+}psi _{-}end{pmatrix}}={begin{pmatrix}0�end{pmatrix}}~.}$ بنابراین

${displaystyle {begin{aligned}(Eephi )psi _{+}-c{boldsymbol {sigma }}cdot left(mathbf {p} -emathbf {A} right) psi _{-}&=mc^{2}psi _{+}-(Eephi )psi _{-}+c{boldsymbol {sigma }}cdot left(mathbf {p} -emathbf {A} right)psi _{+}&=mc^{2}psi _{-}end{تراز شده}}}$

با فرض اینکه میدان ضعیف است و حرکت الکترون غیر نسبیتی است، انرژی کل الکترون تقریباً برابر با انرژی سکون آن است و تکانه به مقدار کلاسیک می رود.

${displaystyle {begin{aligned}Eephi &approx mc^{2}mathbf {p} &approx mmathbf {v} end{aligned}}}$ و بنابراین معادله دوم ممکن است نوشته شود

${displaystyle psi _{-}approx {frac {1}{2mc}}{boldsymbol {sigma }}cdot left(mathbf {p} -emathbf {A} right) psi _{+}}$

که نظم داردv/ج- بنابراین در انرژی‌ها و سرعت‌های معمولی، اجزای پایینی اسپینور دیراک در نمایش استاندارد در مقایسه با اجزای بالایی بسیار سرکوب می‌شوند. جایگزینی این عبارت در معادله اول پس از مقداری بازآرایی به دست می آید

${displaystyle left(E-mc^{2}right)psi _{+}={frac {1}{2m}}left[{boldsymbol {sigma }}cdot left( mathbf {p} -emathbf {A} right)right]^{2}psi _{+}+ephi psi _{+}}$

عملگر سمت چپ انرژی ذره‌ای را نشان می‌دهد که با انرژی استراحت آن کاهش می‌یابد، که فقط انرژی کلاسیک است، بنابراین می‌توان نظریه پائولی را با شناسایی دو اسپینور خود با اجزای بالای اسپینور دیراک در تقریب غیر نسبیتی بازیابی کرد. یک تقریب بیشتر معادله شرودینگر را به عنوان حد نظریه پائولی نشان می دهد. بنابراین، معادله شرودینگر ممکن است به عنوان تقریب غیر نسبیتی بسیار معادله دیراک دیده شود، زمانی که ممکن است از چرخش غفلت شود و فقط در انرژی ها و سرعت های پایین کار کند. این همچنین یک پیروزی بزرگ برای معادله جدید بود، زیرا i اسرارآمیز که در آن ظاهر می شود، و لزوم یک تابع موج پیچیده، به هندسه فضا-زمان از طریق جبر دیراک ردیابی شد. همچنین نشان می‌دهد که چرا معادله شرودینگر، اگرچه به صورت سطحی به شکل یک معادله انتشار است ، اما در واقع انتشار امواج را نشان می‌دهد.

باید به شدت تاکید کرد که این جداسازی اسپینور دیراک به اجزای بزرگ و کوچک به صراحت به یک تقریب کم انرژی بستگی دارد. کل اسپینور دیراک نمایانگر یک کل غیر قابل تقلیل است ، و اجزایی که در اینجا برای رسیدن به نظریه پائولی نادیده گرفته شده اند، پدیده های جدیدی را در رژیم نسبیتی به ارمغان خواهند آورد - ضد ماده و ایده ایجاد و نابودی ذرات.

نظریه ویل [ ویرایش ]

در مورد بدون جرممتر=0 $m=0$ معادله دیراک به معادله ویل تقلیل می‌یابد که ذرات نسبیتی بدون جرم اسپین 1/2 را توصیف می‌کند . [8]

این نظریه یک ثانیه به دست می آورد ${displaystyle {text{U}}(1)}$ تقارن: زیر را ببینید.

تفسیر فیزیکی [ ویرایش ]

شناسایی قابل مشاهده ها [ ویرایش ]

سوال فیزیکی حیاتی در یک نظریه کوانتومی این است: کمیت های فیزیکی قابل مشاهده که توسط این نظریه تعریف شده است چیست؟ طبق فرضیه های مکانیک کوانتومی، چنین کمیت هایی توسط عملگرهای هرمیتی تعریف می شوند که در فضای هیلبرت حالت های ممکن یک سیستم عمل می کنند. سپس مقادیر ویژه این عملگرها نتایج احتمالی اندازه گیری کمیت فیزیکی مربوطه است. در تئوری شرودینگر، ساده‌ترین شیء همیلتونی کلی است که انرژی کل سیستم را نشان می‌دهد. برای حفظ این تفسیر در گذر به نظریه دیراک، باید همیلتونی را در نظر گرفت

${displaystyle H=gamma ^{0}left[mc^{2}+cgamma ^{k}left(p_{k}-qA_{k}right)right]+cqA^{0 }.}$

جایی که، مثل همیشه، یک جمع ضمنی بر روی شاخص دو بار تکرار شده k = 1، 2، 3 وجود دارد . این امیدوار کننده به نظر می رسد، زیرا می توان با بررسی انرژی استراحت ذره و در مورد A = 0 ، انرژی باری که در پتانسیل الکتریکی cqA 0 قرار می گیرد، مشاهده کرد . در مورد اصطلاح مربوط به پتانسیل برداری چطور؟ در الکترودینامیک کلاسیک، انرژی باری که در یک پتانسیل اعمال شده حرکت می کند، می باشد

${displaystyle H=c{sqrt {left(mathbf {p} -qmathbf {A} right)^{2}+m^{2}c^{2}}}+qA^{0 }.}$

بنابراین، دیراک همیلتونین اساساً از همتای کلاسیک خود متمایز است و باید دقت زیادی کرد تا به درستی آنچه را که در این نظریه قابل مشاهده است شناسایی کرد. بسیاری از رفتارهای به ظاهر متناقض که معادله دیراک بیان می‌کند، به معنای شناسایی نادرست این موارد مشاهده‌پذیر است. [ نیازمند منبع ]

ریاضیات...

ما را در سایت ریاضیات دنبال می کنید

برچسب : نویسنده : 9math1342d بازدید : 309 تاريخ : شنبه 20 آبان 1402 ساعت: 18:09

4-معادله دیراک

آخرین مطالب

امکانات وب