ریاضیات : نیلوبلاگ

ریاضیات

درباره سایت

آخرین مطالب

امکانات وب

ویژگی های جبری [ ویرایش ]

قضیه جمع [ ویرایش ]

یک نتیجه ریاضی با علاقه و استفاده قابل توجه، قضیه جمع برای هارمونیک های کروی نامیده می شود. دو بردار r و r' با مختصات کروی داده می شود $(r,theta,varphi)$ و ${displaystyle (r',theta ',varphi')}$ ، به ترتیب، زاویه $گاما$ بین آنها توسط رابطه داده می شود

${displaystyle cos gamma =cos theta 'cos theta +sin theta sin theta 'cos(varphi -varphi ')}$

که در آن نقش توابع مثلثاتی که در سمت راست ظاهر می شوند توسط هارمونیک های کروی و نقش سمت چپ توسط چند جمله ای های لژاندر ایفا می شود .

قضیه جمع بیان می کند [17]

${displaystyle P_{ell }(mathbf {x} cdot mathbf {y} )={frac {4pi }{2ell +1}}sum _{m=-ell }^ {ell }Y_{ell m}(mathbf {y}),Y_{ell m}^{*}(mathbf {x} )quad forall ,ell in mathbb {N } _{0};forall ,mathbf {x} ,mathbf {y} in mathbb {R} ^{3}colon ;|mathbf {x} |_{2} =|mathbf {y} |_{2}=1,,}$

( 1 )

که در آن P چند جمله ای لژاندر درجه است . این عبارت برای هر دو هارمونیک حقیقی و مختلط معتبر است. [18] نتیجه را می توان به صورت تحلیلی، با استفاده از خواص هسته پواسون در توپ واحد، یا به صورت هندسی با اعمال چرخش بر روی بردار y به طوری که در امتداد محور z قرار گیرد ، و سپس محاسبه مستقیم سمت راست اثبات کرد. سمت. [19]

به ویژه، زمانی که x = y ، قضیه آنسلد را به دست میدهد [20]

${displaystyle sum _{m=-ell }^{ell }Y_{ell m}^{*}(mathbf {x} ),Y_{ell m}(mathbf {x}) ={frac {2ell +1}{4pi }}}$

که اتحاد cos 2 θ + sin 2 θ = 1 را به دو بعد تعمیم می دهد.

در بسط ( 1 )، سمت چپ ${displaystyle P_{ell }(mathbf {x} cdot mathbf {y} )}$ مضرب ثابت درجه هارمونیک کروی ناحیه ای است . از این منظر، تعمیم زیر به ابعاد بالاتر وجود دارد. فرض کنید Y j یک مبنای متعامد دلخواه فضای H از هارمونیک های کروی درجه روی کره n باشد . سپس $Z_{mathbf {x} }^{(ell )}$ ، درجه هارمونیک ناحیه ای مربوط به بردار واحد x ، به صورت [21] تجزیه می شود.

${displaystyle Z_{mathbf {x} }^{(ell )}({mathbf {y} })=sum _{j=1}^{dim(mathbf {H} _{ell })}{overline {Y_{j}({mathbf {x} })}},Y_{j}({mathbf {y} })}$

( 2 )

علاوه بر این، هارمونیک ناحیه ای $Z_{mathbf {x} }^{(ell )}({mathbf {y} })$ به عنوان مضرب ثابت چند جمله ای جیگنبوئر مناسب داده می شود :

${displaystyle Z_{mathbf {x} }^{(ell )}({mathbf {y} })=C_{ell }^{((n-2)/2)}({mathbf { x} }cdot {mathbf {y} })}$

( 3 )

با ترکیب ( 2 ) و ( 3 ) زمانی که x و y در مختصات کروی نمایش داده می شوند، ( 1 ) در بعد n = 2 به دست می آید. در نهایت، ارزیابی در x = y اتحاد عملکردی را می دهد

${displaystyle {frac {dim mathbf {H} _{ell }}{omega _{n-1}}}=sum _{j=1}^{dim(mathbf {H} _{ell })}|Y_{j}({mathbf {x} })|^{2}}$

که در آن ω n -1 حجم ( n -1) -کره است.

قانون انقباض [ ویرایش ]

اتحاد مفید دیگر حاصل ضرب دو هارمونیک کروی را به صورت مجموع بر هارمونیک های کروی بیان می کند [22]

${displaystyle Y_{a,alpha }left(theta,varphi right)Y_{b,beta }left(theta,varphi right)={sqrt {frac {left( 2a+1right)left(2b+1right)}{4pi }}}sum _{c=0}^{infty }sum _{gamma =-c}^{c} left(-1right)^{gamma }{sqrt {2c+1}}{begin{pmatrix}a&b&calpha &beta &-gamma end{pmatrix}}{begin{ pmatrix}a&b&cx00&0&0end{pmatrix}}Y_{c,gamma }left(theta,varphi right).}$

بسیاری از اصطلاحات در این مجموع به طور پیش پا افتاده صفر هستند. ارزش های $ج$ و $گاما$ که منجر به عبارات غیر صفر در این مجموع می شود توسط قوانین انتخاب برای نمادهای 3j تعیین می شود .

ضرایب کلبش–گوردان [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: ضرایب کلبش–گوردان

ضرایب کلبش-گوردان ضرایبی هستند که در بسط حاصلضرب دو هارمونیک کروی بر حسب خود هارمونیک کروی ظاهر می شوند. تکنیکهای مختلفی برای انجام محاسبات مشابه در دسترس هستند، از جمله نماد وینگر 3-jm ، ضرایب رکا و انتگرالهای اسلاتر . به طور انتزاعی، ضرایب کلبش-گوردان حاصل ضرب تانسور دو نمایش غیرقابل تقلیل گروه چرخش را به عنوان مجموع نمایشهای تقلیلناپذیر بیان میکنند: به طور مناسب نرمال شده، ضرایب پس از آن چند برابر هستند.

تجسم هارمونیک های کروی [ ویرایش ]

نمایش شماتیک از $Y_{ell m}$ روی واحد کره و خطوط گره ای آن. ${displaystyle Re [Y_{ell m}]}$ برابر است با 0 در امتداد دایره های بزرگی که از قطب ها می گذرند و در امتداد دایره های − m با عرض جغرافیایی مساوی. تابع هر بار که از یکی از این خطوط عبور می کند علامت تغییر می دهد.

نمودار رنگی سه بعدی هارمونیک های کروی درجه n = 5 . توجه داشته باشید که n = .

هارمونیک های کروی لاپلاس $Y_{ell }^{m}$ می توان با در نظر گرفتن " خطوط گره " آنها، یعنی مجموعه نقاط روی کره ای که در آن قرار دارد، تجسم کرد ${displaystyle Re [Y_{ell }^{m}]=0}$ ، یا به جای آن که ${displaystyle Im [Y_{ell }^{m}]=0}$ . خطوط گره ای از $Y_{ell }^{m}$ از دایره های تشکیل شده اند: | وجود دارد m | دایره ها در طول طول و −| m | دایره ها در طول عرض های جغرافیایی می توان تعداد خطوط گرهی هر نوع را با شمارش تعداد صفرهای آن تعیین کرد $Y_{ell }^{m}$ در $تتا$ و $varphi$ جهت ها به ترتیب. با توجه به $Y_{ell }^{m}$ به عنوان تابعی از $تتا$ مولفه های حقیقی و خیالی چند جمله ای های لژاندر مرتبط هر کدام دارای −| m | صفرها که هر کدام یک "خط عرض جغرافیایی" گرهی ایجاد می کنند. از سوی دیگر با توجه به $Y_{ell }^{m}$ به عنوان تابعی از $varphi$ ، توابع sin و cos مثلثاتی دارای 2| m | صفرها، که هر کدام یک "خط طول جغرافیایی" گرهی ایجاد می کنند.

وقتی مرتبه هارمونیک کروی m صفر باشد (بالا سمت چپ در شکل)، توابع هارمونیک کروی به طول جغرافیایی بستگی ندارند و به آنها منطقه ای می گویند . چنین هارمونیک های کروی مورد خاصی از توابع کروی ناحیه ای هستند . وقتی = | m | (پایین-راست در شکل)، هیچ تقاطع صفر در عرض جغرافیایی وجود ندارد، و توابع به عنوان بخش نامیده می شوند . برای موارد دیگر، توابع کره را بررسی میکنند و به آنها تسرال میگویند .

هارمونیکهای کروی عمومیتر درجه لزوماً آنهایی نیستند که بر اساس لاپلاس هستند $Y_{ell }^{m}$ ، و مجموعه گره های آنها می تواند از نوع نسبتاً کلی باشد. [23]

فهرست هارمونیک های کروی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: جدول هارمونیک های کروی

عبارات تحلیلی برای اولین هارمونیک های کروی لاپلاس متعارف: ${displaystyle Y_{ell }^{m}:S^{2}to mathbb {C} }$ که از قرارداد فاز کاندون-شورتلی استفاده می کنند:

${displaystyle Y_{0}^{0}(theta ,varphi )={frac {1}{2}}{sqrt {frac {1}{pi }}}}$

${displaystyle {begin{aligned}Y_{1}^{-1}(theta ,varphi )&={frac {1}{2}}{sqrt {frac {3}{2pi }}},sin theta ,e^{-ivarphi }Y_{1}^{0}(theta ,varphi )&={frac {1}{2}}{ sqrt {frac {3}{pi }}},cos theta Y_{1}^{1}(theta ,varphi )&={frac {-1}{2}}{ sqrt {frac {3}{2pi }}},sin theta ,e^{ivarphi }end{تراز شده}}}$

${displaystyle {begin{aligned}Y_{2}^{-2}(theta ,varphi )&={frac {1}{4}}{sqrt {frac {15}{2pi }}},sin ^{2}theta ,e^{-2ivarphi }Y_{2}^{-1}(theta ,varphi )&={frac {1}{ 2}}{sqrt {frac {15}{2pi }}},sin theta ,cos theta ,e^{-ivarphi }Y_{2}^{0 }(theta ,varphi )&={frac {1}{4}}{sqrt {frac {5}{pi }}},(3cos ^{2}theta -1) Y_{2}^{1}(theta ,varphi )&={frac {-1}{2}}{sqrt {frac {15}{2pi }}},sin theta ,cos theta ,e^{ivarphi }Y_{2}^{2}(theta ,varphi )&={frac {1}{4}}{sqrt { frac {15}{2pi }}},sin ^{2}theta ,e^{2ivarphi }end{تراز شده}}}$

ابعاد بالاتر [ ویرایش ]

هارمونیک های کروی کلاسیک به عنوان توابع با مقادیر مختلط در کره واحد تعریف می شونداس2 $S^{2}$ در فضای سه بعدی اقلیدسی $mathbb{R} ^{3}$ . هارمونیک های کروی را می توان به فضای اقلیدسی با ابعاد بالاتر تعمیم دادآر $mathbb {R} ^{n}$ به شرح زیر منجر به توابع می شود ${displaystyle S^{n-1}to mathbb {C} }$ . [24] اجازه دهید P فضای چندجملهای همگن با مقدار مختلط درجه را در n متغیر حقیقی نشان دهد که در اینجا به عنوان تابع در نظر گرفته میشود. ${displaystyle mathbb {R} ^{n}to mathbb {C} }$ . یعنی یک p چند جمله ای در P است به شرطی که برای هر حقیقی باشد ${displaystyle lambda in mathbb {R} }$ ، یک نفر دارد

${displaystyle p(lambda mathbf {x} )=lambda ^{ell }p(mathbf {x}).}$

فرض کنید A فضای فرعی P متشکل از همه چند جمله ای هارمونیک را نشان می دهد :

${displaystyle mathbf {A} _{ell }:={pin mathbf {P} _{ell },mid ,Delta p=0},.}$

این هارمونیک های کروی جامد (منظم) هستند . اجازه دهید H نشان دهنده فضای توابع در کره واحد باشد

${displaystyle S^{n-1}:={mathbf {x} in mathbb {R} ^{n},mid ,left|xright|=1}}$

با محدودیت از A به دست می آید

${displaystyle mathbf {H} _{ell }:=left{f:S^{n-1}to mathbb {C} ,mid ,{text{ برای برخی }}p in mathbf {A} _{ell },,f(mathbf {x} )=p(mathbf {x} ){text{ برای همه }}mathbf {x} in S^{ n-1}right}.}$

خواص زیر برقرار است:

یک مبنای متعامد هارمونیک های کروی در ابعاد بالاتر را می توان به صورت استقرایی با روش جداسازی متغیرها ، با حل مسئله استورم-لیویل برای لاپلاسین کروی ساخت.

${displaystyle Delta _{S^{n-1}}=sin ^{2-n}varphi {frac {partial }{partial varphi }}sin ^{n-2}varphi {frac {partial }{partial varphi }}+sin ^{-2}varphi Delta _{S^{n-2}}}$

که در آن φ مختصات محوری در یک سیستم مختصات کروی در Sn - 1 است . نتیجه نهایی چنین رویه ای [26] است.

${displaystyle Y_{ell _{1},dots ell _{n-1}}(theta _{1},dots theta _{n-1})={frac {1}{ sqrt {2pi }}}e^{iell _{1}theta _{1}}prod _{j=2}^{n-1}{}_{j}{bar { P}}_{ell _{j}}^{ell _{j-1}}(theta _{j})}$

جایی که شاخص ها راضی کننده | 1 | ≤ 2 ≤ ⋯ ≤ n -1 و مقدار ویژه - n -1 ( n -1 + n -2) است . عملکردهای موجود در ضرب بر حسب تابع لژاندر تعریف می شوند

${displaystyle {}_{j}{bar {P}}_{L}^{ell }(theta )={sqrt {{frac {2L+j-1}{2}}{ frac {(L+ell +j-2)!}{(L-ell )!}}}}sin ^{frac {2-j}{2}}(theta )P_{L+{frac {j-2}{2}}}^{-left(ell +{frac {j-2}{2}}right)}(cos theta ),.}$

ارتباط با نظریه بازنمایی [ ویرایش ]

فضای H هارمونیک های کروی درجه نمایشی از گروه تقارن چرخش ها حول یک نقطه ( SO(3) ) و SU(2) پوشش دوگانه آن است . در واقع، چرخش ها بر روی کره دو بعدی ، و در نتیجه بر روی H نیز با ترکیب تابع عمل می کنند.

${displaystyle psi mapsto psi circ rho ^{-1}}$

برای ψ یک هارمونیک کروی و ρ یک چرخش. نمایش H نمایشی غیر قابل تقلیل از SO(3) است . [27]

عناصر H به عنوان محدودیت های کره عناصر A بوجود می آیند : چند جمله ای هارمونیک همگن درجه در فضای سه بعدی اقلیدسی R 3 . با قطبش ψ ∈ A ، ضرایبی وجود دارد $psi _{i_{1}dots i_{ell }}$ متقارن بر روی شاخص ها، به طور منحصر به فرد توسط نیاز تعیین می شود

${displaystyle psi (x_{1},dots,x_{n})=sum _{i_{1}dots i_{ell }}psi _{i_{1}dots i_{ell }}x_{i_{1}}cdots x_{i_{ell }}.}$

شرطی که ψ هارمونیک باشد معادل این ادعا است که تانسور من1…من $psi _{i_{1}dots i_{ell }}$ در هر جفت شاخص باید بدون ردیابی باشد. بنابراین به عنوان یک نمایش غیرقابل تقلیل SO(3) ، H نسبت به فضای تانسورهای متقارن بی اثر درجه هم شکل است .

به طور کلی تر، گزاره های مشابه در ابعاد بالاتر وجود دارند: فضای H هارمونیک های کروی روی n- کره نمایش غیرقابل تقلیل SO( n +1) مربوط به تانسورهای متقارن بدون ردیابی است . با این حال، در حالی که هر نمایش تانسور تقلیلناپذیر SO(2) و SO(3) از این نوع است، گروههای متعامد ویژه در ابعاد بالاتر دارای نمایشهای غیر قابل تقلیل اضافی هستند که به این شکل ایجاد نمیشوند.

گروههای متعامد خاص دارای نمایشهای اسپین اضافی هستند که نمایشهای تانسوری نیستند و معمولاً هارمونیکهای کروی نیستند. یک استثنا، نمایش اسپین SO(3) است: به طور دقیق، اینها نمایشهایی از پوشش دوتایی SU(2) SO(3) هستند. به نوبه خود، SU(2) با گروه کواترنیون های واحد شناسایی می شود و بنابراین با کره 3 منطبق است . فضاهای هارمونیک های کروی روی 3 کره، با توجه به عمل ضرب چهارتایی، نمایش اسپین خاصی از SO(3) هستند.

ارتباط با هارمونیک های نیمکره [ ویرایش ]

هارمونیک های کروی را می توان به دو مجموعه از توابع تقسیم کرد. [28] یکی توابع نیمکره ای (HSH)، متعامد و کامل روی نیمکره است. دیگری هارمونیک های نیمکره مکمل (CHSH) است.

کلیات [ ویرایش ]

تقارن حفظ زاویه دو کره توسط گروه تبدیل موبیوس PSL (2, C ) توصیف شده است. با توجه به این گروه، کره معادل کره معمولی ریمان است . گروه PSL(2, C ) هم شکل با گروه (مناسب) لورنتس است و عمل آن بر روی دو کره با عمل گروه لورنتس بر روی کره آسمانی در فضای مینکوفسکی مطابقت دارد . آنالوگ هارمونیک های کروی برای گروه لورنتس توسط سری هایپرهندسی داده شده است . علاوه بر این، هارمونیکهای کروی را میتوان بر حسب سری فراهندسی دوباره بیان کرد، زیرا SO(3) = PSU(2) زیرگروهی از PSL(2, C ) است .

به طور کلی تر، سری های فراهندسی را می توان برای توصیف تقارن های هر فضای متقارن تعمیم داد . به طور خاص، سری های فرا هندسی را می توان برای هر گروه Lie توسعه داد . [29] [30] [31] [32]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

در ویکیانبار رسانههای مربوط به هارمونیکهای کروی وجود دارد .

هارمونیک مکعبی (اغلب به جای هارمونیک های کروی در محاسبات استفاده می شود)
هارمونیک های استوانه ای
پایه کروی
هارمونیک های کروی اسپینور
هارمونیک های کروی با وزن اسپین
نظریه استورم-لیوویل
جدول هارمونیک های کروی
هارمونیک های کروی برداری
اوربیتال اتمی

یادداشت ها [ ویرایش ]

گزارشی تاریخی از رویکردهای مختلف به هارمونیک های کروی در سه بعد را می توان در فصل چهارم مک رابرت 1967 یافت. اصطلاح "هارمونیک های کروی لاپلاس" رایج است. به کورانت-هیلبرت 1962 و میچر & بوئر 2004 مراجعه کنید.
^ رویکرد به هارمونیکهای کروی در اینجا در ( کورانت-هیلبرت 1962 , §V.8, §VII.5) یافت میشود.
^ کاربردهای فیزیکی اغلب محلولی را می گیرند که در بی نهایت ناپدید می شود و A = 0 را می سازد . این بر بخش زاویه ای هارمونیک های کروی تأثیر نمی گذارد.
↑ وایستاین، اریک دبلیو. "هارمونیک کروی" . mathworld.wolfram.com . بازیابی 2023-05-10 .
↑ Edmonds 1957 ، §2.5
^ سالن 2013 بخش 17.6
↑ Hall 2013 Lemma 17.16
↑ ویلیامز، ارل جی (1999). آکوستیک فوریه: تشعشعات صوتی و هولوگرافی صوتی نزدیک میدان . سن دیگو، کالیفرنیا: انتشارات آکادمیک. شابک 0080506909. OCLC 181010993 .
↑ مسیح، آلبرت (1999). مکانیک کوانتومی: دو جلد صحافی شده به عنوان یک جلد (دو جلد صحافی شده به عنوان یک، ویرایش مجدد بدون خلاصه). مینولا، نیویورک: دوور. شابک 9780486409245.
↑ کلود کوهن تانوجی؛ برنارد دیو; فرانک لالو (1996). مکانیک کوانتومی . ترجمه سوزان رید هملی; و همکاران Wiley-Interscience: ویلی. شابک 9780471569527.
^ a bپرش به بالا: بلیکلی، ریچارد (1995). نظریه پتانسیل در گرانش و کاربردهای مغناطیسی . کمبریج انگلستان نیویورک: انتشارات دانشگاه کمبریج. پ. 113 . شابک 978-0521415088.
^ هایسکانن و موریتز، ژئودزی فیزیکی، 1967، معادله. 1-62
↑ وایستاین، اریک دبلیو. "فاز کاندون-شورتلی" . mathworld.wolfram.com . بازیابی شده در 02-11-2022 .
↑ Whittaker & Watson 1927 ، ص. 392.
به عنوان مثال، به ضمیمه A از Garg، A.، Electrodynamics Classical in a Nutshell (انتشارات دانشگاه پرینستون، 2012) مراجعه کنید.
^ لی، فیفی؛ براون، کارول؛ Garg, Anupam (2013), " The Weyl-وینگر-Moyal Formalism for Spin", Europhysics Letters , 102 (6): 60006, arXiv : 1210.4075 , بیبکد : 2013EL ....10260006L 10260006L 10260006L . 102/60006 ، S2CID 119610178
↑ Edmonds, AR (1996). تکانه زاویه ای در مکانیک کوانتومی . انتشارات دانشگاه پرینستون پ. 63 .
^ این برای هر مبنای متعارف هارمونیک های کروی درجه معتبر است . برای هارمونیک های توان واحد لازم است ضریب 4 π حذف شود .
↑ Whittaker & Watson 1927 ، ص. 395
↑ Unsöld 1927
^ Stein & Weiss 1971 , §IV.2
^ برینک، دی.م. Satchler، GR حرکت زاویه ای . انتشارات دانشگاه آکسفورد. پ. 146.
↑ ارمنکو، یاکوبسون و نادیراشویلی 2007
^ سولومنتسف 2001 ; Stein & Weiss 1971 §IV.2
^ رجوع کنید به نتیجه 1.8 اکسلر، شلدون؛ رامی، وید (1995)، چند جمله ای هارمونیک و مسائل نوع دیریکله
↑ هیگوچی، آتسوشی (1987). "هارمونیکهای کروی تانسور متقارن بر روی N-کره و کاربرد آنها در گروه دسیتر SO(N,1)" . مجله فیزیک ریاضی . 28 (7): 1553-1566. بیبکد : 1987JMP....28.1553H . doi : 10.1063/1.527513 .
↑ Hall 2013 نتیجه 17.17
↑ ژنگ یی، وی کی، لیانگ بی، لی یی، چو (23-12-2019). "توابع مشابه زرنیک در کلاهک کروی: اصل و کاربردها در اتصالات سطح نوری و رندر گرافیکی" . اپتیک اکسپرس . 27 (26): 37180–37195. بیبکد : 2019OExpr..2737180Z . doi : 10.1364/OE.27.037180 . ISSN 1094-4087 . PMID 31878503 .
↑ N. Vilenkin، توابع ویژه و نظریه بازنمودهای گروهی ، آم. ریاضی. Soc. ترجمه، ج. 22، (1968).
↑ جی دی تالمن، کارکردهای ویژه، رویکرد نظری گروهی ، (بر اساس سخنرانی های ای پی ویگنر)، WA بنجامین، نیویورک (1968).
↑ دبلیو میلر، تقارن و جداسازی متغیرها، ادیسون-وسلی، ریدینگ (1977).
^ A. Wawrzyńczyk، نمایندگی های گروهی و عملکردهای ویژه ، ناشران علمی لهستانی. ورشو (1984).

منابع [ ویرایش ]

مراجع ذکر شده [ ویرایش ]

کورانت، ریچارد ؛ هیلبرت، دیوید (1962)، روشهای فیزیک ریاضی، جلد اول ، وایلی-اینترساینس.
Edmonds، AR (1957)، حرکت زاویه ای در مکانیک کوانتومی ، انتشارات دانشگاه پرینستون، ISBN 0-691-07912-9
ارمنکو، الکساندر؛ یاکوبسون، دیمیتری؛ نادیراشویلی، نیکولای (2007)، "درباره مجموعه های گرهی و حوزه های گرهی در S2 و R2" ، Aales de l'Institut Fourier , 57 (7): 2345-2360، doi : 10.5802/aif.2335 ، ISSN -09 ، 0373 2394544
هال، برایان سی (2013)، نظریه کوانتومی برای ریاضیدانان ، متون فارغ التحصیل در ریاضیات، جلد. 267, Springer, ISBN 978-1461471158
مک رابرت، TM (1967)، هارمونیک های کروی: رساله ابتدایی در مورد توابع هارمونیک، با کاربردها ، چاپ پرگامون.
مایجر، پل هرمان ارنست; بائر، ادموند (2004)، نظریه گروه: کاربرد در مکانیک کوانتومی ، دوور، شابک 978-0-486-43798-9.
سولومنتسف، ED (2001) [1994]، "هارمونیک های کروی" ، دایره المعارف ریاضیات ، چاپ EMS.
استاین، الیاس ؛ ویس، گیدو (1971)، مقدمه ای بر تحلیل فوریه در فضاهای اقلیدسی ، پرینستون، نیوجرسی: انتشارات دانشگاه پرینستون، شابک 978-0-691-08078-9.
Unsöld, Albrecht (1927), "Beiträge zur Quantenmechanik der Atome"، Aalen der Physik , 387 (3): 355–393, بیبکد : 1927AnP...387..355U , doi : 10.1002/1033.1002.
ویتاکر، ای تی Watson, GN (1927), A Course of Modern Analysis , انتشارات دانشگاه کمبریج , ص. 392.

مراجع عمومی [ ویرایش ]

EW Hobson، نظریه هارمونیک های کروی و بیضی ، (1955) انتشارات چلسی. شرکت شابک 978-0-8284-0104-3 .
سی. مولر، هارمونیک های کروی ، (1966) اسپرینگر، یادداشت های سخنرانی در ریاضیات، جلد. 17, ISBN 978-3-540-03600-5 .
EU Condon و GH Shortley، Theory of Atomic Spectra ، (1970) کمبریج در انتشارات دانشگاه، ISBN 0-521-09209-4 ، به فصل 3 مراجعه کنید .
جی دی جکسون، الکترودینامیک کلاسیک ، ISBN 0-471-30932-X
آلبرت مسیحا، مکانیک کوانتومی ، جلد دوم. (2000) دوور. شابک 0-486-40924-4 .
مطبوعات، WH; Teukolsky، SA; Vetterling، WT; Flaery، BP (2007)، "بخش 6.7. هارمونیک های کروی" ، دستورهای عددی: هنر محاسبات علمی (ویرایش سوم)، نیویورک: انتشارات دانشگاه کمبریج، ISBN 978-0-521-88068-8
DA Varshalovich, AN Moskalev, VK Khersonskii Quantum Theory of Angular Momentum , (1988) World Scientific Publishing Co., سنگاپور, ISBN 9971-5-0107-4
وایستاین، اریک دبلیو. "هارمونیک های کروی" . دنیای ریاضی .
مدوک، جان، هارمونیک های کروی در Boost.Math

پیوندهای خارجی [ ویرایش ]

هارمونیک کروی در MathWorld
نمایش سه بعدی کروی هارمونیک

https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_harmonics

برچسب: نویسنده: هستی حیدریان تاريخ: پنجشنبه 14 دی 1402 ساعت: 14:31