یک نتیجه ریاضی با علاقه و استفاده قابل توجه، قضیه جمع برای هارمونیک های کروی نامیده می شود. دو بردار r و r' با مختصات کروی داده می شودو، به ترتیب، زاویهبین آنها توسط رابطه داده می شود
که در آن نقش توابع مثلثاتی که در سمت راست ظاهر می شوند توسط هارمونیک های کروی و نقش سمت چپ توسط چند جمله ای های لژاندر ایفا می شود .
قضیه جمع بیان می کند [17]
( 1 )
که در آن P چند جمله ای لژاندر درجه است . این عبارت برای هر دو هارمونیک حقیقی و مختلط معتبر است. [18] نتیجه را می توان به صورت تحلیلی، با استفاده از خواص هسته پواسون در توپ واحد، یا به صورت هندسی با اعمال چرخش بر روی بردار y به طوری که در امتداد محور z قرار گیرد ، و سپس محاسبه مستقیم سمت راست اثبات کرد. سمت. [19]
به ویژه، زمانی که x = y ، قضیه آنسلد را به دست میدهد [20]
که اتحاد cos 2 θ + sin 2 θ = 1 را به دو بعد تعمیم می دهد.
در بسط ( 1 )، سمت چپ مضرب ثابت درجه هارمونیک کروی ناحیه ای است . از این منظر، تعمیم زیر به ابعاد بالاتر وجود دارد. فرض کنید Y j یک مبنای متعامد دلخواه فضای H از هارمونیک های کروی درجه روی کره n باشد . سپس ، درجه هارمونیک ناحیه ای مربوط به بردار واحد x ، به صورت [21] تجزیه می شود.
( 2 )
علاوه بر این، هارمونیک ناحیه ایبه عنوان مضرب ثابت چند جمله ای جیگنبوئر مناسب داده می شود :
( 3 )
با ترکیب ( 2 ) و ( 3 ) زمانی که x و y در مختصات کروی نمایش داده می شوند، ( 1 ) در بعد n = 2 به دست می آید. در نهایت، ارزیابی در x = y اتحاد عملکردی را می دهد
که در آن ω n -1 حجم ( n -1) -کره است.
اتحاد مفید دیگر حاصل ضرب دو هارمونیک کروی را به صورت مجموع بر هارمونیک های کروی بیان می کند [22]