مجموعه فشرده

مجموعهای که هر پوشش آن یک زیر پوشش متناهی داشته باشد مجموعهای فشرده (=جمع و جور) خوانده میشود.

مثالهایی از فضاهای فشرده

• مجموعهٔ تهی
• بازهٔ یکهٔ بستهٔ [0, 1] فشرده است (ولی بازهٔ نیمه باز [0, 1) نه)
• تمام مجموعه های متناهی

برخی قضایای مرتبط با فشردگی:

• یک تصویر پیوسته از یک فضای فشرده، فشرده است.
• قضیهٔ مقدار نهایی: یک تابع پیوستهٔ حقیقی روی یک فضای فشرده کراندار است و مقدار ماکزیمم خود را میگیرد.
• یک زیرمجموعهٔ بسته از یک فضای فشرده، فشرده است.
• یک مجموعهٔ فشردهٔ ناتهی از اعداد حقیقی بزرگترین عضو و کوچکترین عضو دارد.
• یک زیرمجموعه از فضای اقلیدسی n-بعدی فشرده است اگر و تنها اگر بسته و کراندار باشد.(قضیهٔ هاینه-بورل)
• هر دنباله در Rⁿ مجموعه دارای یک زیر دنبالهٔ همگراست، نقطه حدیآن که به مجموعه تعلق دارد.
• هر زیر مجموعهٔ نامتناهیRⁿ از مجموعه یک نقطهٔ تجمع در مجموعه دارد.