كامل كنيد(رسته)

1-1رسته‌ها

1-1-1            تعريف:هر رسته رده‌اي است مانند C از اشياء (كه با A,B,C,…نموده مي‌شوند) به انضمام:

     يك) يك رده از مجموعه‌هاي از هم جدا، كه با  نموده مي‌شود، براي هر جفت از اشياء در C(عنصر f  از  يك‌ ريختار از A  به Bناميده و با  نموده مي‌شود).

     دو)   به ازاي هر سه‌تايي ( A ,B ,C) از اشياء در C،تابعي مانند:

(براي ريختارهاي  و  ،اين تابع بصورت  نوشته و  تركيب f  و g خوانده مي‌شود)كه در دو اصل زير صدق مي‌كند:

(دو-1)  شركت‌پذيري: هرگاه   و  و  ريختارهاي در C باشند آنگاه   

(دو-2)  هماني: به ازاي هر شيء B از C ،ريختاري مانند   وجود دارد بطوريكه به ازاي هر       ،        

        ،    

اشياء رسته C  را با  Obj ( C )  و ريختارهاي آنرا با  Mor ( C )   نشان مي‌دهيم.

1-1-2تعريف: نمودار  ( شكل 1):از ريختارها را جابجايي گويند هرگاه   g  f = h  باشد.

در حالتي كه   h = g f  باشد گفته مي‌شود كه hدر ميان B تجزيه مي‌شود يا Bعامل مياني h است.

1-1-3تعريف:رسته  B يك زيررسته C ناميده مي‌شود هرگاه شرايط زير برقرار باشد:

     1)       

     2)       

     3)       براي هر و و  از رسته B كه:

داراي خواص زير باشد:

                     i)         خاصيت انجمني:

                   ii) عضو خنثي:

1-1-4تعريف: زيررسته Bاز رسته C يك زيررستهكاملناميده مي‌شود هرگاه:

1-1-5 مثالها:

     1)       هر رسته يك زيررسته كامل از خودش است.

     2)       رسته مجموعه‌هاي متناهي يك زيررسته  از رسته مجموعه‌ها است.

رستهGrp كه اشياء آن گروهها وريختارها عبارتند از همريختي بين دو گروه وعمل تركيب،

 عمل تركيب‌توابع است. داراي زيررسته كاملA b شامل گروه‌هاي آبلي و همريختي بين‌گروه‌هااست.

1-1-6تعريف:اگر و و…و  رسته باشند آنگاه حاصلضرب كلاسهاي همريختي :

همراه با قانون تركيب:

حاصلضرب رسته و و…و  ناميده مي‌شود وبصورت:

نمايش داده مي‌شود.

1-1-7تعريف:بازاء هر رسته  Cبا عمل تركيب o رسته متقابل C عبارت است از رسته  كه در آن اشياء و ريختارها يكسان با رسته   C اما عمل تركيب بصورت  تعريف مي‌شود.

1-1-8تعريف:فرض كنيد  يك رسته باشد:

  1)    فرض كنيد  يك خانواده از اشياء  باشد. يك زوج يك ضرب از خانواده  ناميده مي‌شود اگروفقط‌اگر :

                i)      

               ii)       يك خانواده از ريختارهاي  K باشد بطوريكه:

      iii)   براي هرخانواده   از ريختارها   و   از  دقيقاً يك ريختار  از  موجود باشد بطوريكه  دراينصورت مي‌نويسيم:

  2)    فرض كنيد:  يك خانواده از اشياء رسته  باشد. يك زوج  يك هم‌ضرب خانواده  ناميده مي‌شود اگروفقط‌اگر :

   (i      

                 ii)    يك خانواده از ريختارهاي رسته  است بطوريكه  و .

        iii)   براي هرخانواده   از ريختارها   و   از  دقيقاً يك ريختار  از  موجود باشد بطوريكه  دراينصورت مي‌نويسيم: