قضیه اویلر

  قضیه     اویلر   یا قضیه اولر: فرض کنید m عددی طبیعی و a عددی صحیح باشد و داشته باشیم ۱=(a،m). در این صورت:

 

ابتدا باید دستگاه مخفف مانده ها را معرفی کنیم. فرض کنید m عددی طبیعی و A مجموعه‌ای از اعداد صحیح باشد. A را یک دستگاه مخفف مانده‌ها به پیمانه m می نامند به شرطی که تمام اعضای A نسبت به m اول باشند و هر عدد صحیح که نسبت به m اول است دقیقاً با یکی از اعضای A به پیمانه m همنهشت باشد.

 حال فرض کنیددستگاه مخففی از مانده‌ها به پیمانه m باشد

چون ۱ = (a،m) پس مجموعهٔ

 

هم دستگاه مخفف مانده‌ها به پیمانه m است زیرا اگر i و j وجود داشته باشند که

 

چون ۱ = (a،m) داریم     که خلاف فرض است و ضمناً چون هم دستگاه مخفف مانده‌ها به پیمانه m است.بنابرین هر یک از اعداد  دقیقاً با یکی از اعداد   همنهشت است پس

  پس   چون

 1=() پس 

ریاضیات...