T 1 فضا

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

پرش به ناوبریپرش به جستجو

در توپولوژی و شاخه های مربوط به ریاضیات ، یک فضای T 1 یک فضای توپولوژیک است که در آن هر جفت هر نقاط متمایز، هر محله دیگری را ندارد. [1] R 0 فضا است که در آن این برای هر جفت از است توپولوژیکی تشخیص نقطه است. خصوصیات T 1 و R 0 نمونه هایی از اصطلاحات جدایی هستند .

فهرست

• 1تعاریف
• 2خواص
• 3نمونه
• 4تعمیم دادن به انواع دیگر فضاها
• 5منابع

تعاریف [ ویرایش ]

اجازه دهید X یک فضای توپولوژیک باشد و x و y در X نقطه باشند . ما می گوییم که x و y را می توان از هم جدا کرد، اگر هر یک در محله ای قرار دارد که نقطه دیگر آن نیست.

• X است T 1 فضای اگر هر دو متمایز امتیاز در X جدا می شود.
• X یک IS R 0 فضای اگر هر دو توپولوژیکی تشخیص نقاط در X جدا می شود.

فضای AT 1 همچنین فضای قابل دسترس یا فضای Tychonoff یا فضای با توپولوژی Fréchet نامیده می شود و فضای R 0 نیز فضای متقارن نامیده می شود . (اصطلاح فضای فریشههمچنین دارای یک معنای کاملا متفاوتی در تجزیه و تحلیل عملکرد . به همین دلیل، مدت T 1 فضای بهتر است. همچنین تصور از یک وجود دارد فضای فریشه-Urysohn و به عنوان یک نوع فضای متوالی . اصطلاح فضای متقارن است معنای دیگری )

خواص [ ویرایش ]

اجازه دهید X یک فضای توپولوژی باشد. در نتیجه وضعیت های زیر یکسان اند:

• X یک فضای T 1 است.
• X است T 0 فضا و یک R 0 فضا.
• امتیازات در X بسته می شود ؛ یعنی با توجه به هر x در X ، مجموعه تک تک { x } یک مجموعه بسته است .
• هر زیر مجموعه ای از X تقاطع همه مجموعه های باز آن حاوی آن است.
• هر مجموعه محدود بسته است [2]
• هر مجموعه مختلط از X باز است.
• Ultrafilter را ثابت در X تنها به همگرا X .
• برای هر زیر مجموعه S از X و هر نقطه x در X ، x یک نقطه محدود از S است اگر و فقط اگر هر محدوده باز از x حاوی نقاط بی نهایت از S باشد.

اجازه دهید X یک فضای توپولوژی باشد. در نتیجه وضعیت های زیر یکسان اند:

• X یک R است 0 فضا.
• با توجه به هر x در X ، بسته شدن { x } شامل تنها نقاطی است که از لحاظ توپولوژیکی از x غیر قابل تشخیص است .
• برای هر دو نقطه x و y در فضای، x در بستن { y } است اگر و فقط اگر y در بسته شدن { x } باشد.
• پیش فروش تخصص در X است متقارن (و بنابراین یک رابطه هم ارزی ).
• اولترافیلتر ثابت در x تنها به نقاطی که از لحاظ توپولوژی از x غیر قابل تشخیص هستند، همگرایی می کند .
• هر مجموعه باز ، اتحاد مجموعه های بسته است .

در هر فضای توپولوژیک، به عنوان خواص هر دو نقطه، معانی زیر را داریم

⇒ جداگانه ⇒ قابل تشخیص topologically ⇒ مجزا

اگر فلش اول را می توان معکوس کرد، فضای R 0 است . اگر فلش دوم را می توان معکوس کرد، فضای T 0 است . اگر فلش ترکیبی را می توان معکوس کرد، فضای T 1 است . واضح است که یک فضای T است 1 اگر و تنها اگر آن را هر دو R است 0 و T 0 .

توجه داشته باشید که یک فضای محدود T 1 لزوما گسسته (از آنجا که هر مجموعه بسته است).

مثالها [ ویرایش ]

• فضای Sierpinski یک نمونه ساده از توپولوژی است که T 0 است اما T 1 نیست .
• توپولوژی فاصله با هم تداخل دارند یک مثال ساده از یک توپولوژی است که T است 0 اما T نمی 1 .
• توپولوژی cofinite در مجموعه نامتناهی یک مثال ساده از یک توپولوژی است که T است 1 اما نمی هاسدورف (T 2 ). از آنجایی که هیچ دو مجموعه باز از توپولوژی مختلط وجود ندارد، پیوند وجود دارد. به طور خاص، اجازه دهید X شود مجموعه ای از اعداد صحیح ، و تعریف باز مجموعه ای به زیر مجموعه های آن از X که شامل تمام اما محدود زیر مجموعه از X . سپس اعداد صحیح متمایز x و y داده می شود :

• مجموعه باز O { x } حاوی y اما نه x و مجموعه باز O { y } حاوی x و نه y است .
• معادل هر مجموعه تک تک { x } مکمل از مجموعه باز O { x } است ، بنابراین یک مجموعه بسته است؛

بنابراین فضای نتیجه T 1 توسط هر یک از تعاریف بالا است. این فضا T نمی 2 ، به دلیل تقاطع از هر دو مجموعه باز O و O B است O ∪ B ، است که هرگز خالی است. در عوض، مجموعه ای از اعداد صحیح حتی جمع و جور است اما بسته نیست ، که در فضای هوسدورف غیرممکن است.

• در مثال بالا، می توان کمی تغییر برای ایجاد دو اشاره کرد توپولوژی cofinite است که نمونه ای از R 0 فضا است که نه T 1 و نه R 1 . اجازه دهیم X مجموعه ای از اعداد صحیح باشد و با استفاده از تعریف O A از مثال قبلی، زیربنای مجموعه های باز G x را برای هر اعداد صحیح x تعریف کنیم: G x = O { x ، x +1} اگر x یک حتی تعداد و G x =O { x -1، x } اگر x عدد است.سپس بر اساس توپولوژی توسط محدود داده شده تقاطع از مجموعه subbasis است: با توجه به یک مجموعه متناهی ، مجموعه باز از X هستند

فضای نتیجه T 0 (و در نتیجه T 1 نیست )، زیرا نقاط x و x + 1 (برای x حتی) از لحاظ توپولوژی قابل تشخیص نیستند؛ اما در غیر این صورت، اساسا معادل نمونه قبلی است.

• توپولوژی ملاقات Zariski در تنوع جبری (بیش از یک میدان بسته جبری ) T است 1 . برای دیدن این، توجه داشته باشید که یک نقطه با مختصات محلی ( ج 1 ، ...، ج N ) است مجموعه ای صفر از چند جمله ای ایکس 1 - ج 1 ، ...، X N - C N . بنابراین، نقطه بسته است. با این حال، این مثال به عنوان فضایی است که Hausdorff (T 2 ) نام دارد. توپولوژی Zariski اساسا یک نمونه از توپولوژی مختلط است.
• توپولوژی Zariski در حلقه تعاملی (یعنی طیف اول حلقه ) T 0 است، اما به طور کلی T 1 نیست . [3] برای دیدن این مطلب، توجه داشته باشید که بسته شدن یک مجموعه یک مجموعه ای از تمامآرمان های اول است که حاوی نقطه (و در نتیجه توپولوژی T 0 ) است. با این حال، این بسته شدن است ایده آل حداکثر ، و تنها نقاط بسته آرمان حداکثر هستند و در نتیجه در هر یک از مجموعه های باز از توپولوژی موجود نیست، و در نتیجه فضا اصل T راضی نیست 1 . در مورد این مثال روشن است: توپولوژی Zariski برای یک حلقه تعاملی Aفضای توپولوژیک مجموعه ای است: به شرح زیر داده است X از همه ایده آل های اول از . پایه توپولوژی توسط مجموعه باز داده ای از ایده آل های اول که نمی حاوی در . ساده است که تأیید کنیم که این در واقع اساس را تشکیل می دهد: بنابراین O a ∩ O b = O ab و O 0 = Ø و O 1 = X است . مجموعه بسته از توپولوژی ملاقات Zariski مجموعه از ایده آل های اول که انجام حاوی. توجه کنید که چگونه این مثال ماهرانه از مثال توپولوژی cofinite متفاوت است، بالا: نقاط در توپولوژی بسته نشده است، به طور کلی، در حالی که در یک تی 1 فضا، نقاط همیشه بسته است
• هر کاملا قطع فضای T است 1 ، از هر نقطه است وصل شده و در نتیجه بسته است.

تعاریف دیگر انواع فضاها [ ویرایش ]

اصطلاحات "T 1 "، "R 0 " و مترادف آنها نیز می توانند به چنین تغییراتی از فضاهای توپولوژی به عنوان فضاهای یکنواخت ، فضاهای کوشی و فضاهای همگرایی استفاده شوند . مشخصه ای که مفهوم را در همۀ این نمونه ها متحد می کند این است که محدودیت های اولترافیلترهای ثابت (یا شبکه های ثابت ) منحصر به فرد (برای فضاهای T 1 ) یا منحصر به فرد به تناقض توپولوژی (برای فضاهای R 0 ) هستند.

همانطور که معلوم می شود، فضاهای یکنواخت و به طور کلی فضاهای کوشی همیشه R 0 هستند ، بنابراین شرایط T 1 در این موارد به حالت T 0 کاهش می یابد . اما R 0 به تنهایی می تواند یک وضعیت جالب در سایر انواع فضاهای همگرایی مانند فضاهای پیش بینی شده باشد.